HOMOTHECY: PROPRIETÀ, TIPI ED ESEMPI - MATEMATICA - 2024

La dilatazione è una variazione geometrica del piano che, da un punto fisso denominato centro (O), si moltiplicano le distanze per un fattore comune. In questo modo ogni punto P corrisponde ad un altro punto P 'prodotto della trasformazione, e questi sono allineati con il punto O.

Quindi, l'omotetia riguarda una corrispondenza tra due figure geometriche, dove i punti trasformati sono chiamati omotetici, e questi sono allineati con un punto fisso e con segmenti paralleli tra loro.

Homothecy

L'omotezia è una trasformazione che non ha un'immagine congruente, perché da una figura si otterranno una o più figure di grandezza maggiore o minore della figura originale; vale a dire che l'omotetia trasforma un poligono in un altro simile.

Affinché l'omotetia sia soddisfatta, punto a punto e linea a linea devono corrispondere, in modo che le coppie di punti omologhi siano allineati con un terzo punto fisso, che è il centro dell'omotezia.

Allo stesso modo, le coppie di linee che le uniscono devono essere parallele. La relazione tra tali segmenti è una costante chiamata rapporto di homothecy (k); in modo tale che l'omotezia possa essere definita come:

Per effettuare questo tipo di trasformazione, iniziamo scegliendo un punto arbitrario, che sarà il centro dell'omotezia.

Da questo punto, vengono tracciati segmenti di linea per ogni vertice della figura da trasformare. La scala in cui è realizzata la riproduzione della nuova figura è data dal rapporto di omotezia (k).

Proprietà

Una delle principali proprietà dell'omotesia è che, per la ragione omotetica (k), tutte le figure omotetiche sono simili. Tra le altre proprietà eccezionali ci sono le seguenti:

- Il centro di omoteci (O) è l'unico punto doppio e questo si trasforma in se stesso; cioè non varia.

- Le linee che passano per il centro si trasformano in se stesse (sono doppie), ma i punti che lo compongono non sono doppi.

- Le linee che non passano per il centro si trasformano in linee parallele; in questo modo, gli angoli di homothecy rimangono gli stessi.

- L'immagine di un segmento per un'omotezia di centro O e rapporto k, è un segmento parallelo a questo e ha k volte la sua lunghezza. Ad esempio, come si può vedere nell'immagine seguente, un segmento AB per homothecy risulterà in un altro segmento A'B ', tale che AB sarà parallelo ad A'B' e la k sarà:

- Gli angoli omotetici sono congruenti; cioè hanno la stessa misura. Pertanto, l'immagine di un angolo è un angolo che ha la stessa ampiezza.

D'altra parte, abbiamo che l'omotezia varia in funzione del valore del suo rapporto (k), e possono verificarsi i seguenti casi:

- Se la costante k = 1, tutti i punti sono fissi perché si trasformano. La figura omotetica coincide quindi con quella originaria e la trasformazione sarà chiamata funzione identità.

- Se k ≠ 1, l'unico punto fisso sarà il centro dell'omotetico (O).

- Se k = -1, l'omotezia diventa una simmetria centrale (C); cioè si verifica una rotazione intorno a C, con un angolo di 180 ^o .

- Se k> 1, la dimensione della figura trasformata sarà maggiore della dimensione dell'originale.

- Se 0 <k <1, la dimensione della figura trasformata sarà minore dell'originale.

- Se -1 <k <0, la dimensione della figura trasformata sarà inferiore e verrà ruotata rispetto all'originale.

- Se k <-1, la dimensione della figura trasformata sarà maggiore e verrà ruotata rispetto all'originale.

tipi

L'omotezia può anche essere classificata in due tipi, a seconda del valore del suo rapporto (k):

Homothecy diretto

Si verifica se la costante k> 0; cioè i punti omotetici sono dalla stessa parte rispetto al centro:

Il fattore di proporzionalità o il rapporto di similarità tra le figure omotetiche dirette sarà sempre positivo.

Homothecy al contrario

Si verifica se la costante k <0; cioè i punti iniziali e le loro omotetiche si trovano alle estremità opposte rispetto al centro dell'omotetico ma allineati ad esso. Il centro sarà tra le due figure:

Il fattore di proporzionalità o il rapporto di similarità tra i dati omotetici inversi sarà sempre negativo.

Composizione

Quando più movimenti vengono eseguiti in successione fino ad ottenere una figura uguale all'originale, si verifica una composizione di movimenti. Anche la composizione di più movimenti è un movimento.

La composizione tra due homothecies si traduce in una nuova homothecy; cioè, c'è un prodotto di omoteità in cui il centro sarà allineato con il centro delle due trasformazioni originali, e il rapporto (k) è il prodotto dei due rapporti.

Pertanto, nella composizione di due omotee H ₁ (O ₁ , k ₁ ) e H ₂ (O ₂ , k ₂ ), la moltiplicazione dei loro rapporti: k ₁ xk ₂ = 1 risulterà in un'omotezia del rapporto k ₃ = k ₁ xk ₂ . Il centro di questa nuova homothecy (O ₃ ) sarà situato sulla linea O ₁ O ₂ .

L'omoteci corrisponde a un cambiamento piatto e irreversibile; Se si applicano due omoté che hanno lo stesso centro e rapporto ma con segno diverso, si otterrà la cifra originale.

Esempi

Primo esempio

Applicare un'omotezia al dato poligono di centro (O), situato a 5 cm dal punto A e il cui rapporto è k = 0,7.

Soluzione

Qualsiasi punto viene scelto come centro dell'omotezia, e da questo punto i raggi vengono disegnati attraverso i vertici della figura:

La distanza dal centro (O) al punto A è OA = 5; Con questo si può determinare la distanza di uno dei punti omotetici (OA '), sapendo anche che k = 0.7:

OA '= kx OA.

OA '= 0,7 x 5 = 3,5.

Il processo può essere fatto per ogni vertice, oppure si può disegnare anche il poligono omotetico ricordando che i due poligoni hanno lati paralleli:

Infine, la trasformazione è simile a questa:

Secondo esempio

Applicare un'omotezia al poligono dato con centro (O), situato a 8,5 cm dal punto C e il cui rapporto y k = -2.

Soluzione

La distanza dal centro (O) al punto C è OC = 8,5; Con questi dati è possibile determinare la distanza di uno dei punti omotetici (OC '), sapendo anche che k = -2:

OC '= kx OC.

OC '= -2 x 8,5 = -17

Dopo aver disegnato i segmenti dei vertici del poligono trasformato, abbiamo che i punti iniziali e la loro omotetica si trovano alle estremità opposte rispetto al centro:

Riferimenti

1. Álvaro Rendón, AR (2004). Disegno tecnico: quaderno delle attività.
2. Antonio Álvarez de la Rosa, JL (2002). Affinità, omologia e homothecy.
3. Baer, ​​R. (2012). Algebra lineare e geometria proiettiva. Courier Corporation.
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