GEOMETRIA EUCLIDEA: STORIA, CONCETTI DI BASE ED ESEMPI - MATEMATICA - 2024

La geometria euclidea corrisponde allo studio delle proprietà degli spazi geometrici in cui gli assiomi di Euclide sono soddisfatti. Sebbene questo termine sia talvolta usato per indicare geometrie che hanno dimensioni maggiori con proprietà simili, è generalmente sinonimo di geometria classica o geometria piana.

Nel III secolo a. C. Euclide ei suoi discepoli scrissero gli Elementi, un'opera che racchiudeva la conoscenza matematica del tempo dotata di una struttura logico-deduttiva. Da allora, la geometria è diventata una scienza, inizialmente per risolvere i problemi classici e si è evoluta per essere una scienza formativa che aiuta la ragione.

Storia

Per parlare della storia della geometria euclidea, è essenziale iniziare con Euclide di Alessandria e gli elementi.

Quando l'Egitto fu lasciato nelle mani di Tolomeo I, dopo la morte di Alessandro Magno, iniziò il suo progetto in una scuola ad Alessandria.

Tra i saggi che insegnavano alla scuola c'era Euclide. Si ipotizza che la sua nascita risale al 325 aC circa. C. e la sua morte del 265 a. C. Possiamo sapere con certezza che è andato alla scuola di Platone.

Per più di trent'anni Euclide insegnò ad Alessandria, costruendone i famosi elementi: iniziò a scrivere una descrizione esaustiva della matematica del suo tempo. Gli insegnamenti di Euclide produssero eccellenti discepoli, come Archimede e Apollonio di Perga.

Euclide era incaricato di strutturare le disparate scoperte degli antichi greci negli Elementi, ma a differenza dei suoi predecessori non si limita ad affermare che un teorema è vero; Euclide offre una dimostrazione.

The Elements è un compendio di tredici libri. Dopo la Bibbia, è il libro più pubblicato, con più di mille edizioni.

Elementi di Euclide

The Elements è il capolavoro di Euclide nel campo della geometria e offre un trattamento definitivo della geometria bidimensionale (piana) e tridimensionale (spazio), essendo questa l'origine di quella che ora conosciamo come geometria euclidea. .

Concetti basilari

Gli elementi sono costituiti da definizioni, nozioni comuni e postulati (o assiomi) seguiti da teoremi, costruzioni e dimostrazioni.

- Un punto è ciò che non ha parti.

- Una linea è una lunghezza che non ha larghezza.

- Una linea retta è quella che giace ugualmente in relazione ai punti che si trovano in essa.

- Se due linee vengono tagliate in modo che gli angoli adiacenti siano uguali, gli angoli vengono chiamati linee rette e le linee vengono chiamate perpendicolari.

- Le linee parallele sono quelle che, trovandosi sullo stesso piano, non si intersecano mai.

Dopo queste e altre definizioni, Euclide ci presenta un elenco di cinque postulati e cinque nozioni.

Nozioni comuni

- Due cose che sono uguali a un terzo sono uguali tra loro.

- Se le stesse cose vengono aggiunte alle stesse cose, i risultati sono gli stessi.

- Se si sottraggono cose uguali cose uguali, i risultati sono uguali.

- Le cose che corrispondono tra loro sono uguali tra loro.

- Il totale è maggiore di una parte.

Postulati o assiomi

- Una e una sola linea passa per due punti diversi.

- Le linee rette possono essere estese indefinitamente.

- Puoi disegnare un cerchio con qualsiasi centro e raggio.

- Tutti gli angoli retti sono uguali.

- Se una linea retta incrocia due linee rette in modo che gli angoli interni dello stesso lato si sommino a meno di due angoli retti, le due linee si incroceranno su quel lato.

Quest'ultimo postulato è noto come postulato delle parallele ed è stato riformulato nel modo seguente: "Per un punto al di fuori di una linea, si può tracciare un unico parallelo alla linea data".

Esempi

Successivamente, alcuni teoremi degli Elementi serviranno a mostrare le proprietà degli spazi geometrici in cui sono soddisfatti i cinque postulati di Euclide; Inoltre, illustreranno il ragionamento logico-deduttivo utilizzato da questo matematico.

Primo esempio

Proposizione 1.4. (LAL)

Se due triangoli hanno due lati e l'angolo tra di loro è uguale, gli altri lati e gli altri angoli sono uguali.

Dimostrazione

Siano ABC e A'B'C 'due triangoli con AB = A'B', AC = A'C 'e gli angoli BAC e B'A'C' uguali. Spostiamo il triangolo A'B'C 'in modo che A'B' coincida con AB e che l'angolo B'A'C 'coincida con l'angolo BAC.

Quindi la linea A'C 'coincide con la linea AC, quindi C' coincide con C. Quindi, per il postulato 1, la linea BC deve coincidere con la linea B'C '. Pertanto i due triangoli coincidono e, di conseguenza, i loro angoli ed i loro lati sono uguali.

Secondo esempio

Proposizione 1.5. (

Supponiamo che il triangolo ABC abbia lati uguali AB e AC.

Quindi, i triangoli ABD e ACD hanno due lati uguali e gli angoli tra di loro sono uguali. Quindi, per la Proposizione 1.4, gli angoli ABD e ACD sono uguali.

Terzo esempio

Proposizione 1.31

Puoi costruire una linea parallela a una linea data da un dato punto.

Edificio

Data una linea L e un punto P, una linea M viene tracciata attraverso P e interseca L. Quindi viene tracciata una linea N attraverso P che interseca L. Ora, una linea N viene tracciata attraverso P, che interseca M, formando un angolo uguale a quello che L forma con M.

Affermazione

N è parallelo a L.

Dimostrazione

Supponiamo che L e N non siano paralleli e si intersechino in un punto A. Sia B un punto in L oltre A. Consideriamo la retta O che passa per B e P. Quindi, O interseca M ad angoli che si sommano a meno di due dritti.

Quindi per 1,5 la linea O deve intersecare la linea L sull'altro lato di M, quindi L e O si intersecano in due punti, il che contraddice il postulato 1. Pertanto, L e N devono essere paralleli.

Riferimenti

1. Euclide Elementi di Geometria. Università Nazionale Autonoma del Messico
2. Euclide. I primi sei libri e l'undicesimo e il dodicesimo degli elementi di Euclide
3. Eugenio Filloy Yague. Didattica e storia della geometria euclidea, Grupo Editorial Iberoamericano
4. K. Ribnikov. Storia della matematica. Mir Editorial
5. Viloria, N., & Leal, J. (2005) Plane Analytical Geometry. Editoriale Venezolana CA