GEOMETRIA ANALITICA: COSA STUDIA, STORIA, APPLICAZIONI - MATEMATICA - 2026

La geometria analitica studia linee e forme geometriche applicando tecniche di algebra di base e analisi matematica in un dato sistema di coordinate.

Di conseguenza, la geometria analitica è una branca della matematica che analizza in dettaglio tutti i dati delle figure geometriche, cioè il volume, gli angoli, l'area, i punti di intersezione, le loro distanze, tra gli altri.

La caratteristica fondamentale della geometria analitica è quella di consentire la rappresentazione di figure geometriche tramite formule.

Ad esempio, le circonferenze sono rappresentate da equazioni polinomiali di secondo grado mentre le linee sono espresse da equazioni polinomiali di primo grado.

La geometria analitica nasce nel XVII secolo per la necessità di fornire risposte a problemi che fino ad ora non avevano soluzione. I suoi massimi rappresentanti erano René Descartes e Pierre de Fermat.

Oggi molti autori lo indicano come una creazione rivoluzionaria nella storia della matematica, poiché rappresenta l'inizio della matematica moderna.

Storia della geometria analitica

Il termine geometria analitica è nato in Francia nel diciassettesimo secolo a causa della necessità di fornire risposte a problemi che non potevano essere risolti usando algebra e geometria isolatamente, ma la soluzione stava nell'uso combinato di entrambi.

Principali rappresentanti della geometria analitica

Nel corso del Seicento due francesi per caso in vita effettuarono ricerche che in un modo o nell'altro si conclusero con la creazione della geometria analitica. Queste persone erano Pierre de Fermat e René Descartes.

Attualmente si ritiene che il creatore della geometria analitica fosse René Descartes. Ciò è dovuto al fatto che ha pubblicato il suo libro prima di Fermat e anche in profondità con Descartes sul tema della geometria analitica.

Tuttavia, sia Fermat che Descartes scoprirono che le linee e le figure geometriche potevano essere espresse da equazioni e le equazioni potevano essere espresse come linee o figure geometriche.

Secondo le scoperte fatte dai due, si può dire che entrambi sono i creatori della geometria analitica.

Pierre de Fermat

Pierre de Fermat era un matematico francese nato nel 1601 e morto nel 1665. Durante la sua vita studiò la geometria di Euclide, Apollonio e Pappo, al fine di risolvere i problemi di misurazione che esistevano a quel tempo.

Successivamente questi studi hanno innescato la creazione della geometria. Finirono per essere espressi nel suo libro "Introduzione ai luoghi piatti e solidi" (Ad Locos Planos et Solidos Isagoge), che fu pubblicato 14 anni dopo la sua morte nel 1679.

Pierre de Fermat applicò la geometria analitica ai teoremi di Apollonio sui luoghi geometrici nel 1623. Fu anche il primo ad applicare la geometria analitica allo spazio tridimensionale.

Rene Descartes

Conosciuto anche come Cartesius, era un matematico, fisico e filosofo nato il 31 marzo 1596 in Francia e morto nel 1650.

René Descartes pubblicò nel 1637 il suo libro "Discorso sul metodo per condurre correttamente la ragione e cercare la verità nella scienza" meglio conosciuto come "Il metodo" e da lì fu introdotto nel mondo il termine geometria analitica. Una delle sue appendici era "Geometria".

Elementi fondamentali della geometria analitica

La geometria analitica è composta dai seguenti elementi:

Il sistema di coordinate cartesiane

Questo sistema prende il nome da René Descartes.

Non è stato lui a nominarlo, né quello che ha completato il sistema di coordinate cartesiane, ma è stato lui a parlare di coordinate con numeri positivi che consentiranno ai futuri studiosi di completarlo.

Questo sistema è composto dal sistema di coordinate rettangolari e dal sistema di coordinate polari.

Sistemi di coordinate rettangolari

I sistemi di coordinate rettangolari sono chiamati il ​​piano formato dal tracciamento di due linee numeriche perpendicolari tra loro, dove il punto di interruzione coincide con lo zero comune.

Allora questo sistema sarebbe composto da una linea orizzontale e una verticale.

La linea orizzontale è l'asse X o l'asse delle ascisse. La linea verticale sarebbe l'asse Y o l'asse delle ordinate.

Sistema di coordinate polari

Questo sistema ha il compito di verificare la posizione relativa di un punto rispetto a una linea fissa e ad un punto fisso sulla linea.

Equazione cartesiana della retta

Questa equazione si ottiene da una retta quando sono noti due punti attraverso i quali passa.

Retta

È uno che non devia e quindi non ha né curve né angoli.

Coniche

Sono le curve definite dalle linee che passano per un punto fisso e dai punti di una curva.

L'ellisse, la circonferenza, la parabola e l'iperbole sono curve coniche. Ciascuno di essi è descritto di seguito.

Circonferenza

La circonferenza è detta curva piana chiusa che è formata da tutti i punti del piano che sono equidistanti da un punto interno, cioè dal centro della circonferenza.

Parabola

È il luogo dei punti nel piano che sono equidistanti da un punto fisso (fuoco) e da una linea fissa (direttrice). Quindi la direttrice e il fuoco sono ciò che definisce la parabola.

La parabola può essere ottenuta come sezione di una superficie conica di rivoluzione attraverso un piano parallelo ad una generatrice.

Ellisse

Un'ellisse è la curva chiusa che descrive un punto che si muove su un piano in modo tale che la somma delle sue distanze a due (2) punti fissi (chiamati fuochi) sia costante.

Iperbole

Un'iperbole è chiamata la curva definita come il luogo dei punti nel piano, per cui la differenza tra le distanze di due punti fissi (fuochi) è costante.

L'iperbole ha un asse di simmetria che passa attraverso i fuochi, chiamato asse focale. Ne ha anche un altro, che è la bisettrice del segmento che ha i punti fissi alle sue estremità.

applicazioni

Esistono molte applicazioni della geometria analitica in diverse aree della vita quotidiana. Ad esempio, possiamo trovare la parabola, uno degli elementi fondamentali della geometria analitica, in molti degli strumenti che vengono utilizzati quotidianamente oggi. Alcuni di questi strumenti sono i seguenti:

Antenna parabolica

Le antenne paraboliche hanno un riflettore generato a seguito di una parabola che ruota sull'asse di detta antenna. La superficie generata come risultato di questa azione è chiamata paraboloide.

Questa capacità del paraboloide è chiamata proprietà ottica o proprietà di riflessione di una parabola, e grazie a ciò è possibile che il paraboloide rifletta le onde elettromagnetiche che riceve dal meccanismo di alimentazione che costituisce l'antenna.

Ponti sospesi

Quando una corda sostiene un peso omogeneo ma, allo stesso tempo, notevolmente maggiore del peso della corda stessa, il risultato sarà una parabola.

Questo principio è fondamentale per la costruzione di ponti sospesi, che normalmente sono supportati da ampie strutture in cavo d'acciaio.

Il principio della parabola dei ponti sospesi è stato utilizzato in strutture come il Golden Gate Bridge, situato nella città di San Francisco, negli Stati Uniti, o il Great Bridge dello Stretto di Akashi, che si trova in Giappone e collega l'isola di Awaji con Honshū, l'isola principale di quel paese.

Analisi astronomica

La geometria analitica ha avuto anche usi molto specifici e decisivi nel campo dell'astronomia. In questo caso, l'elemento della geometria analitica che prende il centro della scena è l'ellisse; La legge del moto dei pianeti di Johannes Keplero riflette questo.

Keplero, un matematico e astronomo tedesco, stabilì che l'ellisse era la curva che meglio si adattava al moto di Marte; Aveva precedentemente testato il modello circolare proposto da Copernico, ma nel bel mezzo dei suoi esperimenti, ha dedotto che l'ellisse servisse a disegnare un'orbita perfettamente simile a quella del pianeta che stava studiando.

Grazie all'ellisse, Keplero poté affermare che i pianeti si muovevano su orbite ellittiche; questa considerazione era l'affermazione della cosiddetta seconda legge di Keplero.

Da questa scoperta, poi arricchita dal fisico e matematico inglese Isaac Newton, è stato possibile studiare i movimenti orbitazionali dei pianeti, e aumentare la conoscenza che si aveva sull'universo di cui facciamo parte.

Telescopio Cassegrain

Il telescopio Cassegrain prende il nome dal suo inventore, il fisico francese Laurent Cassegrain. In questo telescopio vengono utilizzati i principi della geometria analitica perché è composto principalmente da due specchi: il primo è concavo e parabolico, e il secondo è caratterizzato dall'essere convesso e iperbolico.

La posizione e la natura di questi specchi consentono al difetto noto come aberrazione sferica di non verificarsi; Questo difetto impedisce ai raggi di luce di essere riflessi nel fuoco di una data lente.

Il telescopio Cassegrain è molto utile per l'osservazione planetaria, oltre ad essere abbastanza versatile e di facile utilizzo.

Riferimenti

1. Geometria analitica. Estratto il 20 ottobre 2017 da britannica.com
2. Geometria analitica. Estratto il 20 ottobre 2017 da enciclopediafmath.org
3. Geometria analitica. Estratto il 20 ottobre 2017 da khancademy.org
4. Geometria analitica. Estratto il 20 ottobre 2017 da wikipedia.org
5. Geometria analitica. Estratto il 20 ottobre 2017 da whitman.edu
6. Geometria analitica. Estratto il 20 ottobre 2017 da stewartcalculus.com
7. Geometria analitica piana Estratto il 20 ottobre 2017