FACTORING: METODI ED ESEMPI - MATEMATICA - 2024

La fattorizzazione è un metodo mediante il quale un polinomio viene espresso come fattori di moltiplicazione, che possono essere numeri o lettere o entrambi. Per fattorizzare, i fattori comuni ai termini vengono raggruppati insieme, e in questo modo il polinomio viene scomposto in più polinomi.

Pertanto, quando i fattori vengono moltiplicati insieme, il risultato è il polinomio originale. Il factoring è un metodo molto utile quando si hanno espressioni algebriche, perché può essere convertito nella moltiplicazione di più termini semplici; ad esempio: 2a ² + 2ab = 2a _* (a + b).

Ci sono casi in cui un polinomio non può essere scomposto perché non esiste un fattore comune tra i suoi termini; quindi, queste espressioni algebriche sono divisibili solo per se stesse e per 1. Ad esempio: x + y + z.

In un'espressione algebrica, il fattore comune è il massimo comune divisore dei termini che lo compongono.

Metodi di factoring

Esistono diversi metodi di factoring, che vengono applicati a seconda dei casi. Alcuni di questi sono i seguenti:

Fattorizzazione per fattore comune

In questo metodo vengono identificati quei fattori che sono comuni; cioè quelli che si ripetono nei termini dell'espressione. Quindi si applica la proprietà distributiva, si prende il massimo comune divisore e si completa il factoring.

In altre parole, il fattore comune dell'espressione è identificato e ogni termine è diviso da esso; I termini risultanti saranno moltiplicati per il massimo comune divisore per esprimere la fattorizzazione.

Esempio 1

Fattorizzare (b ² x) + (b ² y).

Soluzione

Per prima cosa trovi il fattore comune di ciascun termine, che in questo caso è b ² , quindi dividi i termini per il fattore comune come segue:

(b ² x) / b ² = x

(b ² y) / b ² = y.

La fattorizzazione viene espressa, moltiplicando il fattore comune per i termini risultanti:

(b ² x) + (b ² y) = b ² (x + y).

Esempio 2

Fattore (2a ² b ³ ) + (3ab ² ).

Soluzione

In questo caso abbiamo due fattori che si ripetono in ogni termine che sono "a" e "b", e che vengono elevati a potenza. Per prenderli in considerazione, i due termini vengono prima scomposti nella loro forma lunga:

2 _* a _* a _* b _* b _* b + 3a _* b _* b

Si può vedere che il fattore "a" è ripetuto solo una volta nel secondo termine, e il fattore "b" è ripetuto due volte in questo; quindi nel primo termine rimane solo 2, un fattore "a" e un fattore "b"; mentre nel secondo mandato ne rimangono solo 3.

Pertanto, i tempi di ripetizione di "a" e "b" vengono scritti e moltiplicati per i fattori che rimangono da ciascun termine, come mostrato nell'immagine:

Factoring di raggruppamento

Poiché non in tutti i casi il massimo comune divisore di un polinomio è chiaramente espresso, è necessario fare altri passaggi per poter riscrivere il polinomio e quindi il fattore.

Uno di questi passaggi consiste nel raggruppare i termini del polinomio in diversi gruppi, quindi utilizzare il metodo dei fattori comuni.

Esempio 1

Fattore ac + bc + ad + bd.

Soluzione

Ci sono 4 fattori in cui due sono comuni: nel primo termine è «c» e nel secondo è «d». In questo modo i due termini vengono raggruppati e separati:

(ac + bc) + (ad + bd).

Ora è possibile applicare il metodo del fattore comune, dividendo ogni termine per il suo fattore comune e quindi moltiplicando quel fattore comune per i termini risultanti, in questo modo:

(ac + bc) / c = a + b

(annuncio + bd) / d = a + b

c (a + b) + d (a + b).

Ora otteniamo un binomio comune a entrambi i termini. Per fattorizzarlo, viene moltiplicato per i restanti fattori; in questo modo devi:

ac + bc + ad + bd = (c + d) _* (a + b).

Factoring di ispezione

Questo metodo viene utilizzato per fattorizzare i polinomi quadratici, chiamati anche trinomi; cioè quelli che sono strutturati come ax ² ± bx + c, dove il valore di "a" è diverso da 1. Questo metodo viene utilizzato anche quando il trinomio ha la forma x ² ± bx + c e il valore di "a" = 1.

Esempio 1

Fattore x ² + 5x + 6.

Soluzione

Abbiamo un trinomio quadratico della forma x ² ± bx + c. Per fattorizzarlo, devi prima trovare due numeri che, moltiplicati, danno come risultato il valore di «c» (cioè 6) e che la loro somma sia uguale al coefficiente «b», che è 5. Questi numeri sono 2 e 3 :

2 _* 3 = 6

2 + 3 = 5.

In questo modo, l'espressione è semplificata in questo modo:

(x ² + 2x) + (3x + 6)

Ogni termine è preso in considerazione:

- Per (x ² + 2x) si prende il termine comune: x (x + 2)

- Per (3x + 6) = 3 (x + 2)

Quindi, l'espressione è:

x (x +2) + 3 (x +2).

Poiché abbiamo un binomio in comune, per ridurre l'espressione lo moltiplichiamo per i termini rimanenti e dobbiamo:

x ² + 5 x + 6 = (x + 2) _* (x + 3).

Esempio 2

Fattore 4a ² + 12a + 9 = 0.

Soluzione

Abbiamo un trinomio quadratico della forma ax ² ± bx + cy per fattorizzarlo, moltiplicare l'intera espressione per il coefficiente di x ² ; in questo caso, 4.

4a ² + 12a +9 = 0

4a ² (4) + 12a (4) + 9 (4) = 0 (4)

16 a ² + 12a (4) + 36 = 0

4 ² a ² + 12a (4) + 36 = 0

Ora dobbiamo trovare due numeri che, moltiplicati l'uno per l'altro, danno come risultato il valore di "c" (che è 36) e che sommati danno come risultato il coefficiente del termine "a", che è 6.

6 _* 6 = 36

6 + 6 = 12.

In questo modo l'espressione viene riscritta tenendo conto che 4 ² a ² = 4a _* 4a. Pertanto, la proprietà distributiva si applica per ogni termine:

(4a + 6) _* (4a + 6).

Infine, l'espressione viene divisa per il coefficiente di a ² ; cioè 4:

(4 ° + 6) _* (4 ° + 6) / 4 = ((4 ° + 6) / 2) _* ((4 ° + 6) / 2).

L'espressione è la seguente:

4a ² + 12a +9 = (2a +3) _* (2a + 3).

Factoring con prodotti di rilievo

Ci sono casi in cui, per fattorizzare completamente i polinomi con i metodi di cui sopra, diventa un processo molto lungo.

Ecco perché un'espressione può essere sviluppata con le formule dei prodotti straordinari e quindi il processo diventa più semplice. Tra i prodotti degni di nota più utilizzati ci sono:

- Differenza di due quadrati: (a ² - b ² ) = (a - b) _* (a + b)

- Quadrato perfetto di una somma: a ² + 2ab + b ² = (a + b) ²

- Quadrato perfetto di una differenza: a ² - 2ab + b ² = (a - b) ²

- Differenza di due cubi: a ³ - b ³ = (ab) _* (a ² + ab + b ² )

- Somma di due cubi: a ³ - b ³ = (a + b) _* (a ² - ab + b ² )

Esempio 1

Fattore (5 ² - x ² )

Soluzione

In questo caso c'è una differenza di due quadrati; quindi si applica la straordinaria formula del prodotto:

(a ² - b ² ) = (a - b) _* (a + b)

(5 ² - x ² ) = (5 - x) _* (5 + x)

Esempio 2

Fattore 16x ² + 40x + 25 ²

Soluzione

In questo caso, hai un quadrato perfetto di una somma, perché puoi identificare due termini al quadrato, e il termine che rimane è il risultato della moltiplicazione di due per la radice quadrata del primo termine, per la radice quadrata del secondo termine.

a ² + 2ab + b ² = (a + b) ²

Per fattorizzare solo le radici quadrate del primo e del terzo termine vengono calcolate:

√ (16x ² ) = 4x

√ (25 ² ) = 5.

Quindi i due termini risultanti sono espressi separati dal segno dell'operazione e l'intero polinomio è quadrato:

16x ² + 40x + 25 ² = (4x + 5) ² .

Esempio 3

Fattore 27a ³ - b ³

Soluzione

L'espressione rappresenta una sottrazione in cui due fattori sono al cubo. Per fattorizzarli, viene applicata la formula per il prodotto notevole della differenza di cubi, che è:

a ³ - b ³ = (ab) _* (a ² + ab + b ² )

Pertanto, per fattorizzare, la radice cubica di ciascun termine del binomio viene presa e moltiplicata per il quadrato del primo termine, più il prodotto del primo per il secondo termine, più il secondo termine al quadrato.

27a ³ - b ³

³√ (27a ³ ) = 3a

³√ (-b ³ ) = -b

27a ³ - b ³ = (3a - b) _*

27a ³ - b ³ = (3a - b) _* (9a ² + 3ab + b ² )

Factoring con la regola di Ruffini

Questo metodo viene utilizzato quando si dispone di un polinomio di grado maggiore di due, al fine di semplificare l'espressione a più polinomi di grado minore.

Esempio 1

Fattore Q (x) = x ⁴ - 9x ² + 4x + 12

Soluzione

Per prima cosa cerchiamo i numeri che sono divisori di 12, che è il termine indipendente; Questi sono ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6 e ± 12.

Quindi la x viene sostituita da questi valori, dal più basso al più alto, e quindi si determina con quale dei valori la divisione sarà esatta; ovvero, il resto deve essere 0:

x = -1

Q (-1) = (-1) ⁴ - 9 (-1) ² + 4 (-1) + 12 = 0.

x = 1

Q (1) = 1 ⁴ - 9 (1) ² + 4 (1) + 12 = 8 ≠ 0.

x = 2

Q (2) = 2 ⁴ - 9 (2) ² + 4 (2) + 12 = 0.

E così via per ogni divisore. In questo caso, i fattori trovati sono per x = -1 e x = 2.

Ora si applica il metodo Ruffini, secondo il quale i coefficienti dell'espressione saranno divisi per i fattori trovati in modo che la divisione sia esatta. I termini polinomiali sono ordinati dall'esponente più alto a quello più basso; nel caso in cui nella sequenza manchi un termine con il grado successivo, al suo posto viene posto uno 0.

I coefficienti si trovano in uno schema come mostrato nell'immagine seguente.

Il primo coefficiente viene abbassato e moltiplicato per il divisore. In questo caso, il primo divisore è -1 e il risultato viene inserito nella colonna successiva. Quindi il valore del coefficiente con quel risultato ottenuto viene sommato verticalmente e il risultato viene posizionato sotto. In questo modo il processo viene ripetuto fino all'ultima colonna.

Quindi la stessa procedura viene ripetuta di nuovo, ma con il secondo divisore (che è 2) perché l'espressione può ancora essere semplificata.

Quindi, per ogni radice ottenuta il polinomio avrà un termine (x - a), dove "a" è il valore della radice:

(x - (-1)) _* (x - 2) = (x + 1) _* (x - 2)

D'altra parte, questi termini devono essere moltiplicati per il resto della regola di Ruffini 1: 1 e -6, che sono fattori che rappresentano un grado. In questo modo l'espressione che si forma è: (x ² + x - 6).

Ottenere il risultato della fattorizzazione del polinomio con il metodo Ruffini è:

x ⁴ - 9 x ² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2) _* (x ² + x - 6)

Infine, il polinomio di grado 2 che appare nell'espressione precedente può essere riscritto come (x + 3) (x-2). Pertanto, la fattorizzazione finale è:

x ⁴ - 9 x ² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2) _* (x + 3) _* (x-2).

Riferimenti

1. Arthur Goodman, LH (1996). Algebra e trigonometria con geometria analitica. Pearson Education.
2. J, V. (2014). Come insegnare ai bambini a fattorizzare un polinomio.
3. Manuel Morillo, AS (sf). Matematica di base con applicazioni.
4. Roelse, PL (1997). Metodi lineari per la fattorizzazione polinomiale su campi finiti: teoria e implementazioni. Universität Essen.
5. Sharpe, D. (1987). Anelli e fattorizzazione.