FATTORE COMUNE PER RAGGRUPPAMENTO DI TERMINI: ESEMPI, ESERCIZI - MATEMATICA - 2024

Il fattore comune per raggruppare i termini è una procedura algebrica che consente di scrivere alcune espressioni algebriche sotto forma di fattori. Per raggiungere questo obiettivo, devi prima raggruppare correttamente l'espressione e osservare che ogni gruppo così formato ha, in effetti, un fattore comune.

Applicare correttamente la tecnica richiede un po 'di pratica, ma in pochissimo tempo la padroneggi. Diamo prima un'occhiata a un esempio illustrativo descritto passo dopo passo. Quindi il lettore può applicare ciò che ha appreso in ciascuno degli esercizi che appariranno in seguito.

Figura 1. Prendere un fattore comune raggruppando i termini semplifica il lavoro con le espressioni algebriche. Fonte: Pixabay.

Ad esempio, supponiamo di dover fattorizzare la seguente espressione:

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy

Questa espressione algebrica consiste di 4 monomi o termini, separati da segni + e -, vale a dire:

2x ² , 2xy, -3zx, -3zy

Guardando da vicino, x è comune ai primi tre, ma non all'ultimo, mentre y è comune al secondo e al quarto e z è comune al terzo e al quarto.

Quindi in linea di principio non esiste un fattore comune ai quattro termini contemporaneamente, ma se sono raggruppati come verrà mostrato nella sezione successiva, è possibile che ne appaia uno che aiuti a scrivere l'espressione come il prodotto di due o più fattori.

Esempi

Fattorizza l'espressione: 2x ² + 2xy - 3zx - 3zy

Passaggio 1 : gruppo

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy = (2x ² + 2xy) + (-3zx - 3zy)

Passaggio 2: trova il fattore comune di ciascun gruppo

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy =

= (2x ² + 2xy) - (3zx + 3zy) =

= 2x (x + y) - 3z (x + y)

I mportante : il segno negativo è anche un fattore comune che deve essere preso in considerazione.

Si noti ora che le parentesi (x + y) vengono ripetute nei due termini ottenuti raggruppando. Questo è il fattore comune ricercato.

Passaggio 3: fattorizza l'intera espressione

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy = (x + y) (2x - 3z)

Con il risultato precedente è stato raggiunto l'obiettivo del factoring, che altro non è che trasformare un'espressione algebrica basata su addizioni e sottrazioni di termini, nel prodotto di due o più fattori, nel nostro esempio, di: (x + y) e (2x - 3z).

Domande importanti sul fattore comune raggruppando

Domanda 1 : come sapere che il risultato è corretto?

Risposta : La proprietà distributiva viene applicata al risultato ottenuto e dopo aver ridotto e semplificato l'espressione così ottenuta deve corrispondere all'originale, in caso contrario c'è un errore.

Nell'esempio precedente, lavoriamo al contrario con il risultato, per verificare che sia corretto:

(x + y) (2x - 3z) = 2x ² -3zx + 2xy - 3zy

Poiché l'ordine degli addendi non altera la somma, dopo aver applicato la proprietà distributiva vengono restituiti tutti i termini originari, segni compresi, quindi la fattorizzazione è corretta.

Domanda 2: Potrebbe essere stato raggruppato in un altro modo?

Risposta: Esistono espressioni algebriche che consentono più di una forma di raggruppamento e altre che non lo consentono. Nell'esempio selezionato, il lettore può provare altre possibilità da solo, ad esempio raggruppando in questo modo:

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy = (2x ² - 3zx) + (2xy - 3zy)

E puoi verificare che il risultato sia lo stesso ottenuto qui. Trovare il raggruppamento ottimale è una questione di pratica.

Domanda 3: Perché è necessario prendere un fattore comune da un'espressione algebrica?

Risposta : perché esistono applicazioni in cui l'espressione fattorizzata semplifica i calcoli. Ad esempio, supponiamo di voler rendere 2x ² + 2xy - 3zx - 3zy uguale a 0. Quali sono le possibilità?

Per rispondere a questa domanda, la versione fattorizzata è molto più utile rispetto allo sviluppo originale in termini. Si afferma così:

(x + y) (2x - 3z) = 0

Una possibilità che l'espressione valga 0 è che x = -y, indipendentemente dal valore di z. E l'altro è che x = (3/2) z, indipendentemente dal valore di y.

esercizi

- Esercizio 1

Estrai il fattore comune della seguente espressione raggruppando i termini:

ax + ay + bx + di

Soluzione

I primi due sono raggruppati, con il fattore comune "a" e gli ultimi due con il fattore comune "b":

ax + ay + bx + by = a (x + y) + b (x + y)

Fatto ciò, viene rivelato un nuovo fattore comune, che è (x + y), in modo che:

ax + ay + bx + by = a (x + y) + b (x + y) = (x + y) (a + b)

Un altro modo per fare gruppo

Questa espressione supporta un altro modo di raggruppare. Vediamo cosa succede se si riorganizzano i termini e si crea un gruppo con quelli che contengono x e un altro con quelli che contengono y:

ax + ay + bx + by = ax + bx + ay + by = x (a + b) + y (a + b)

In questo modo il nuovo fattore comune è (a + b):

ax + ay + bx + by = ax + bx + ay + by = x (a + b) + y (a + b) = (x + y) (a + b)

Il che porta allo stesso risultato dal primo raggruppamento testato.

- Esercizio 2

La seguente espressione algebrica deve essere scritta come il prodotto di due fattori:

3a ³ - 3a ² b + 9ab ² -a ² + ab-3b ²

Soluzione

Questa espressione contiene 6 termini. Proviamo a raggruppare il primo e il quarto, il secondo e il terzo e infine il quinto e il sesto:

3a ³ - 3a ² b + 9ab ² -a ² + ab-3b ² = (3a ³ -a ² ) + (- 3a ² b + 9ab ² ) + (ab-3b ² )

Ora ogni parentesi viene fattorizzata:

= (3a ³ -a ² ) + (- 3a ² b + 9ab ² ) + (ab -3b ² ) = a ² (3a - 1) + 3ab (3b –a) + b (a-3b)

A prima vista sembra che la situazione sia stata complicata, ma il lettore non dovrebbe scoraggiarsi, poiché riscriveremo l'ultimo termine:

a ² (3a - 1) + 3ab (3b –a) + b (a-3b) = a ² (3a - 1) + 3ab (3b-a) - b (3b-a)

Gli ultimi due termini hanno ora un fattore comune, che è (3b-a), quindi possono essere fattorizzati. È molto importante non perdere di vista il primo termine a ² (3a - 1), che deve continuare ad accompagnare il tutto come un'aggiunta, anche se non ci stai lavorando:

a ² (3a - 1) + 3ab (3b-a) - b (3b-a) = a ² (3a - 1) + (3b-a) (3ab-b)

L'espressione è stata ridotta a due termini e nell'ultimo si scopre un nuovo fattore comune, che è "b". Ora resta:

a ² (3a - 1) + (3b-a) (3ab-b) = a ² (3a - 1) + b (3b-a) (3a-1)

Il prossimo fattore comune che appare è 3a - 1:

a ² (3a - 1) + b (3b-a) (3a-1) = (3a - 1)

O se preferisci senza parentesi:

(3a - 1) = (3a - 1) (a ² –ab + 3b ² )

Il lettore può trovare un altro modo di raggruppare che porti a questo stesso risultato?

Figura 2. Esercizi di factoring proposti. Fonte: F. Zapata.

Riferimenti

1. Baldor, A. 1974. Algebra elementare. Culturale Venezolana SA
2. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
3. Principali casi di factoring. Estratto da: julioprofe.net.
4. UNAM. Matematica di base: fattorizzazione per raggruppamento di termini. Facoltà di Contabilità e Amministrazione.
5. Zill, D. 1984. Algebra e trigonometria. MacGraw Hill.