- moltiplicazione di un vero α numero per un vettore v : α v dare un altro vettore e appartenente a V .

Visione artistica di uno spazio vettoriale. Fonte: Pixabay

Per indicare un vettore usiamo il grassetto ( v è un vettore) e per scalari o numeri lettere greche (α è un numero).

Assiomi e proprietà

Per fornire uno spazio vettoriale, devono valere i seguenti otto assiomi:

Commutabilità 1: u + v = v + u

2-Transitività: ( u + v ) + w = u + ( v + w )

3-Esistenza del vettore nullo 0 tale che 0 + v = v

4-Esistenza del contrario: l'opposto di v è (- v ), poiché v + (- v ) = 0

5-Distributività del prodotto rispetto alla somma vettoriale: α ( u + v ) = α u + α v

6-Distributività del prodotto rispetto alla somma scalare: (α + β) v = α v + β v

7-Associatività del prodotto scalare: α (β v ) = (α β) v

8-Il numero 1 è l'elemento neutro poiché: 1 v = v

Esempi di spazi vettoriali

Esempio 1

I vettori nel piano (R²) sono un esempio di uno spazio vettoriale. Un vettore nel piano è un oggetto geometrico che ha grandezza e direzione. È rappresentato da un segmento orientato che appartiene a detto piano e di dimensione proporzionale alla sua grandezza.

La somma di due vettori nel piano può essere definita come l'operazione di traslazione geometrica del secondo vettore dopo il primo. Il risultato della somma è il segmento orientato che parte dall'origine del primo e raggiunge la punta del secondo.

Nella figura si può vedere che la somma in R² è commutativa.

Figura 2. I vettori nel piano formano lo spazio vettoriale. Fonte: autocostruito.

Viene anche definito il prodotto di un numero α e un vettore. Se il numero è positivo, la direzione del vettore originale viene mantenuta e la dimensione è α volte il vettore originale. Se il numero è negativo, la direzione è opposta e la dimensione del vettore risultante è il valore assoluto del numero.

Il vettore opposto a qualsiasi vettore v è - v = (- 1) v .

Il vettore nullo è un punto nel piano R² e il numero zero volte un vettore fornisce il vettore nullo.

Tutto ciò che è stato detto è illustrato nella Figura 2.

Esempio 2

L'insieme P di tutti i polinomi di grado minore o uguale a due, compreso il grado zero, forma un insieme che soddisfa tutti gli assiomi di uno spazio vettoriale.

Sia il polinomio P (x) = a x² + bx + cy Q (x) = d x² + ex + f

La somma di due polinomi è definita: P (x) + Q (x) = (a + d) x² + (b + e) ​​x + (c + f)

La somma dei polinomi appartenenti all'insieme P è commutativa e transitiva.

Il polinomio nullo appartenente all'insieme P è quello che ha tutti i suoi coefficienti uguali a zero:

0 (x) = 0 x² + 0 x + 0

La somma di uno scalare α per un polinomio è definita come: α P (x) = α ∙ a x² + α ∙ bx + α ∙ c

Il polinomio opposto di P (x) è -P (x) = (-1) P (x).

Da tutto quanto sopra segue che l'insieme P di tutti i polinomi di grado minore o uguale a due è uno spazio vettoriale.

Esempio 3

L'insieme M di tutte le matrici di m righe xn colonne i cui elementi sono numeri reali forma uno spazio vettoriale reale, rispetto alle operazioni di addizione di matrici e prodotto di un numero per matrice.

Esempio 4

L'insieme F di funzioni continue di variabile reale, forma uno spazio vettoriale, poiché è possibile definire la somma di due funzioni, la moltiplicazione di uno scalare per una funzione, la funzione nulla e la funzione simmetrica. Inoltre soddisfano gli assiomi che caratterizzano uno spazio vettoriale.

Base e dimensione di uno spazio vettoriale

Base

La base di uno spazio vettoriale è definita come un insieme di vettori linearmente indipendenti tali che da una combinazione lineare di essi può essere generato qualsiasi vettore di quello spazio vettoriale.

La combinazione lineare di due o più vettori consiste nel moltiplicare i vettori per alcuni scalari e quindi aggiungerli vettorialmente.

Ad esempio, nello spazio vettoriale dei vettori in tre dimensioni formato da R³, viene utilizzata la base canonica definita dai vettori unitari (di grandezza 1) i , j , k .

Dove i = (1, 0, 0); j = (0, 1, 0); k = (0, 0, 1). Questi sono i vettori cartesiani o canonici.

Ogni vettore V appartenente a R³ è scritto come V = a i + b j + c k , che è una combinazione lineare dei vettori di base i , j , k . Uno scalare o numeri a, b, c sono noti come componenti cartesiane V .

Si dice anche che i vettori di base di uno spazio vettoriale formano un gruppo elettrogeno dello spazio vettoriale.

Dimensione

La dimensione di uno spazio vettoriale è il numero cardinale di una base vettoriale per quello spazio; cioè il numero di vettori che compongono detta base.

Questo cardinale è il numero massimo di vettori linearmente indipendenti di quello spazio vettoriale, e allo stesso tempo il numero minimo di vettori che formano un gruppo elettrogeno di quello spazio.

Le basi di uno spazio vettoriale non sono uniche, ma tutte le basi dello stesso spazio vettoriale hanno la stessa dimensione.

Sottospazio vettoriale

Un sottospazio vettoriale S di uno spazio vettoriale V è un sottoinsieme di V in cui le stesse operazioni sono definite come in V e soddisfa tutti gli assiomi dello spazio vettoriale. Pertanto, anche il sottospazio S sarà uno spazio vettoriale.

Esempio di sottospazio vettoriale sono i vettori che appartengono al piano XY. Questo sottospazio è un sottoinsieme di uno spazio vettoriale di dimensionalità maggiore dell'insieme di vettori appartenenti allo spazio tridimensionale XYZ.

Un altro esempio di sottospazio vettoriale S1 dello spazio vettoriale S formato da tutte le matrici 2 × 2 con elementi reali è definito di seguito:

D'altra parte, S2 definito di seguito, sebbene sia un sottoinsieme di S, non forma un sottospazio vettoriale:

Esercizi risolti

-Esercizio 1

Siano i vettori V1 = (1, 1, 0); V2 = (0, 2, 1) e V3 = (0, 0, 3) in R³.

a) Mostra che sono linearmente indipendenti.

b) Mostra che formano una base in R³, poiché ogni tripla (x, y, z) può essere scritta come una combinazione lineare di V1, V2, V3.

c) Trova le componenti della tripla V = (-3,5,4) nella base V1 , V2 , V3 .

Soluzione

Il criterio per dimostrare l'indipendenza lineare consiste nello stabilire il seguente insieme di equazioni in α, β e γ

α (1, 1, 0) + β (0, 2, 1) + γ (0, 0, 3) = (0, 0, 0)

Nel caso in cui l'unica soluzione a questo sistema sia α = β = γ = 0 allora i vettori sono linearmente indipendenti, altrimenti non lo sono.

Per ottenere i valori di α, β e γ proponiamo il seguente sistema di equazioni:

α ∙ 1 + β ∙ 0 + γ ∙ 0 = 0

α ∙ 1 + β ∙ 2 + γ ∙ 0 = 0

α ∙ 0 + β ∙ 1 + γ ∙ 3 = 0

Il primo porta a α = 0, il secondo α = -2 ∙ β ma poiché α = 0 allora β = 0. La terza equazione implica che γ = (- 1/3) β, ma poiché β = 0 allora γ = 0.

Rispondi a

Si conclude che è un insieme di vettori linearmente indipendenti in R³.

Risposta b

Ora scriviamo la tripla (x, y, z) come combinazione lineare di V1, V2, V3.

(x, y, z) = α V1 + β V2 + γ V3 = α (1, 1, 0) + β (0, 2, 1) + γ (0, 0, 3)

α ∙ 1 + β ∙ 0 + γ ∙ 0 = x

α ∙ 1 + β ∙ 2 + γ ∙ 0 = y

α ∙ 0 + β ∙ 1 + γ ∙ 3 = z

Dove hai:

α = x

α + 2 β = y

β + 3 γ = z

Il primo indica α = x, il secondo β = (yx) / 2 e il terzo γ = (z- y / 2 + x / 2) / 3. In questo modo abbiamo trovato i generatori di α, β e γ di qualsiasi tripletta di R³

Risposta c

Passiamo a trovare le componenti della tripla V = (-3,5,4) in base V1 , V2 , V3 .

Sostituiamo i valori corrispondenti nelle espressioni trovate sopra per i generatori.

In questo caso abbiamo: α = -3; β = (5 - (- 3)) / 2 = 4; γ = (4- 5/2 + (- 3) / 2) / 3 = 0

Questo è:

(-3,5,4) = -3 (1, 1, 0) + 4 (0, 2, 1) + 0 (0, 0, 3)

Per ultimo:

V = -3 V1 + 4 V2 + 0 V3

Concludiamo che V1, V2, V3 formano una base nello spazio vettoriale R³ di dimensione 3.

-Esercizio 2

Esprimi il polinomio P (t) = t² + 4t -3 come combinazione lineare di P1 (t) = t² -2t + 5, P2 (t) = 2t² -3t e P3 (t) = t + 3.

Soluzione

P (t) = x P1 (t) + y P2 (t) + z P3 (t)

dove i numeri x, y, z devono essere determinati.

Moltiplicando e raggruppando i termini con lo stesso grado in t, otteniamo:

t² + 4 t -3 = (x + 2y) t² + (-2x -3y + z) t + (5x + 3z)

Il che ci porta al seguente sistema di equazioni:

x + 2y = 1

-2x -3y + z = 4

5x + 3z = -3

Le soluzioni di questo sistema di equazioni sono:

x = -3, y = 2, z = 4.

Questo è:

P (t) = -3 P1 (t) + 2 P2 (t) + 4 P3 (t)

-Esercizio 3

Mostra che i vettori v1 = (1, 0, -1, 2); v2 = (1, 1, 0, 1) e v3 = (2, 1, -1, 1) di R⁴ sono linearmente indipendenti.

Soluzione

Combiniamo linearmente i tre vettori v1 , v2 , v3 e richiediamo che la combinazione aggiunga l'elemento nullo di R⁴

a v1 + b v2 + c v3 = 0

Vale a dire,

a (1, 0, -1, 2) + b (1, 1, 0, 1) + c (2, 1, -1, 1) = (0, 0, 0, 0)

Questo ci porta al seguente sistema di equazioni:

a + b + 2 c = 0

b + c = 0

-a - c = 0

2 a + b + c = 0

Sottraendo il primo e il quarto abbiamo: -a + c = 0 che implica a = c.

Ma se guardiamo alla terza equazione, abbiamo che a = -c. L'unico modo in cui a = c = (- c) vale è che c sia 0 e quindi anche a sarà 0.

a = c = 0

Se inseriamo questo risultato nella prima equazione, concludiamo che b = 0.

Infine a = b = c = 0, in modo che si possa concludere che i vettori v1, v2 e v3 sono linearmente indipendenti.

Riferimenti

1. Lipschutz, S. 1993. Algebra lineare. Seconda edizione. McGraw-Hill. 167-198.