ENERGIA GRAVITAZIONALE: FORMULE, CARATTERISTICHE, APPLICAZIONI, ESERCIZI - FISICO - 2024

L' energia gravitazionale sta avendo un oggetto massiccio quando è immersa nel campo gravitazionale prodotto da un altro. Alcuni esempi di oggetti con energia gravitazionale sono: la mela sull'albero, la mela che cade, la Luna in orbita attorno alla Terra e la Terra in orbita attorno al Sole.

Isaac Newton (1642-1727) fu il primo a rendersi conto che la gravità è un fenomeno universale e che ogni oggetto con massa nel suo ambiente produce un campo in grado di produrre una forza su un altro.

Figura 1. La Luna in orbita attorno alla Terra ha energia gravitazionale. Fonte: Pixabay

Formule ed equazioni

La forza a cui si riferiva Newton è nota come forza gravitazionale e fornisce energia all'oggetto su cui agisce. Newton ha formulato la legge di gravitazione universale come segue:

"Siano due oggetti puntiformi di massa m1 e m2 rispettivamente, ciascuno esercita sull'altro una forza di attrazione proporzionale al prodotto delle loro masse e inversamente proporzionale al quadrato della distanza che li separa."

L'energia gravitazionale U associata alla forza gravitazionale F è:

Un oggetto immerso in un campo gravitazionale ha energia potenziale gravitazionale U ed energia cinetica K. Se non ci sono altre interazioni, o sono di intensità trascurabile, l'energia totale E di detto oggetto è la somma della sua energia gravitazionale più la sua energia cinetica:

E = K + U

Se un oggetto si trova in un campo gravitazionale e non sono presenti altre forze dissipative, come l'attrito o la resistenza dell'aria, l'energia totale E è una quantità che rimane costante durante il movimento.

Caratteristiche dell'energia gravitazionale

- Un oggetto ha energia potenziale gravitazionale se è solo in presenza del campo gravitazionale prodotto da un altro.

- L'energia gravitazionale tra due oggetti aumenta all'aumentare della distanza di separazione tra di loro.

- Il lavoro svolto dalla forza gravitazionale è uguale e contrario alla variazione dell'energia gravitazionale della posizione finale rispetto a quella della sua posizione iniziale.

- Se un corpo è soggetto solo all'azione della gravità, la variazione della sua energia gravitazionale è uguale e contraria alla variazione della sua energia cinetica.

- L'energia potenziale di un oggetto di massa m che si trova ad un'altezza h rispetto alla superficie terrestre è mgh volte maggiore dell'energia potenziale in superficie, dove g è l'accelerazione di gravità, per altezze h molto inferiori al raggio terrestre .

Campo gravitazionale e potenziale

Il campo gravitazionale g è definito come la forza gravitazionale F per unità di massa. Si determina posizionando una particella di prova m in ogni punto dello spazio e calcolando il quoziente tra la forza che agisce sulla particella di prova diviso per il valore della sua massa:

g = F / m

Il potenziale gravitazionale V di un oggetto di massa m è definito come l'energia potenziale gravitazionale di quell'oggetto divisa per la sua stessa massa.

Il vantaggio di questa definizione è che il potenziale gravitazionale dipende solo dal campo gravitazionale, così che una volta noto il potenziale V, l'energia gravitazionale U di un oggetto di massa m è:

U = mV

Figura 2. Campo gravitazionale (linee continue) ed equipotenziali (linea segmentata) per il sistema Terra - Luna. Fonte: WT Scott, Am. J. Phys.33, (1965).

applicazioni

L'energia potenziale gravitazionale è ciò che i corpi immagazzinano quando si trovano in un campo gravitazionale.

Ad esempio, l'acqua contenuta in un serbatoio ha più energia poiché il serbatoio è più alto.

Maggiore è l'altezza della vasca, maggiore è la velocità dell'acqua in uscita dal rubinetto. Ciò è dovuto al fatto che l'energia potenziale dell'acqua all'altezza della vasca si trasforma in energia cinetica dell'acqua all'uscita del rubinetto.

Quando l'acqua viene arginata in alto su una montagna, l'energia potenziale può essere sfruttata per attivare le turbine di generazione di energia.

L'energia gravitazionale spiega anche le maree. Poiché l'energia e la forza gravitazionale dipendono dalla distanza, l'attrazione gravitazionale della Luna è maggiore sulla faccia della Terra più vicina alla Luna rispetto alla faccia più lontana e opposta.

Questo produce una differenza di forze che deforma la superficie del mare. L'effetto è massimo con la luna nuova, quando il Sole e la Luna sono allineati.

La possibilità di costruire stazioni spaziali e satelliti che rimangano relativamente vicini al nostro pianeta è dovuta all'energia gravitazionale prodotta dalla Terra. Altrimenti, stazioni spaziali e satelliti artificiali vagherebbero nello spazio.

Il potenziale gravitazionale della Terra

Supponiamo che la Terra abbia massa M e che un oggetto che si trova sopra la superficie terrestre a una distanza r dal suo centro abbia massa m.

In questo caso il potenziale gravitazionale è determinato dall'energia gravitazionale dividendosi semplicemente per la massa dell'oggetto risultante:

Energia potenziale vicino alla superficie terrestre

Supponiamo che la Terra abbia raggio R _T e massa M.

Anche se la Terra non è un oggetto puntuale, il campo sulla sua superficie è equivalente a quello che si otterrebbe se tutta la sua massa M fosse concentrata al centro, in modo che l'energia gravitazionale di un oggetto all'altezza h sopra la superficie terrestre sia

U (R _T + h) = -GM m (R _T + h) ^ - 1

Ma poiché h è molto inferiore a R _T , l'espressione sopra può essere approssimata da

U = Uo + mgh

Dove g è l'accelerazione di gravità, il cui valore medio per la Terra è 9,81 m / s ^ 2.

Allora l'energia potenziale Ep di un oggetto di massa m all'altezza h sopra la superficie terrestre è:

Ep (h) = U + Uo = mgh

Sulla superficie terrestre h = 0, quindi un oggetto sulla superficie ha Ep = 0. Calcoli dettagliati possono essere visti nella figura 3.

Figura 3. Energia potenziale gravitazionale ad un'altezza h sopra la superficie. Fonte: preparato da F. Zapata.

esercizi

Esercizio 1: collasso gravitazionale della Terra

Supponiamo che il nostro pianeta subisca un collasso gravitazionale a causa della perdita di energia termica al suo interno e il suo raggio scenda alla metà del suo valore attuale ma la massa del pianeta rimanga costante.

Determina quale sarebbe l'accelerazione di gravità vicino alla superficie della Nuova Terra e quanto peserebbe un sopravvissuto del peso di 50 kg-f prima del collasso. Aumenta o diminuisci l'energia gravitazionale della persona e in base a quale fattore.

Soluzione

L'accelerazione di gravità sulla superficie di un pianeta dipende dalla sua massa e dal suo raggio. La costante di gravitazione è universale e funziona allo stesso modo per pianeti ed esopianeti.

Nel caso presente, se il raggio della Terra fosse ridotto della metà, l'accelerazione di gravità della Nuova Terra sarebbe 4 volte maggiore. I dettagli possono essere visualizzati nella scheda sottostante.

Ciò significa che un superuomo e un sopravvissuto che pesava 50 kg-f sul vecchio pianeta peserà 200 kg-f sul nuovo pianeta.

D'altra parte, l'energia gravitazionale sarà stata dimezzata sulla superficie del nuovo pianeta.

Esercizio 2: collasso gravitazionale e velocità di fuga

In riferimento alla situazione presentata nell'esercizio 1, cosa succederebbe alla velocità di fuga: aumenta, diminuisce, di quale fattore?

Soluzione 2

La velocità di fuga è la velocità minima necessaria per sfuggire all'attrazione gravitazionale di un pianeta.

Per calcolarlo, si presume che un proiettile sparato con questa velocità raggiunga l'infinito a velocità zero. Inoltre, all'infinito l'energia gravitazionale è zero. Pertanto un proiettile sparato con velocità di fuga avrà un'energia totale pari a zero.

Vale a dire che sulla superficie del pianeta al momento dello sparo la somma dell'energia cinetica del proiettile + l'energia gravitazionale deve essere zero:

½ m Ve ^ 2 - (G Mm) / R _T = 0

Si noti che la velocità di fuga non dipende dalla massa del proiettile e il suo valore al quadrato è

Ve ^ 2 = (2G M) / R _T

Se il pianeta collassa a una metà del raggio dell'originale, il quadrato della nuova velocità di fuga diventa doppio.

Pertanto la nuova velocità di fuga cresce e diventa 1,41 volte la vecchia velocità di fuga:

Vai '= 1,41 Vai

Esercizio 3: Energia gravitazionale della mela

Un ragazzo sul balcone di un edificio a 30 metri dal suolo fa cadere una mela da 250 g, che dopo pochi secondi raggiunge il suolo.

Figura 4. Man mano che cade, l'energia potenziale della mela si trasforma in energia cinetica. Fonte: PIxabay.

a) Qual è la differenza di energia gravitazionale della mela in alto rispetto alla mela a livello del suolo?

b) Quanto era veloce la mela appena prima di cadere a terra?

c) Cosa succede all'energia una volta che la mela è appiattita contro il terreno?

Soluzione

a) La differenza di energia gravitazionale è

mgh = 0,250 kg * 9,81 m / s ^ 2 * 30 m = 73,6 J

b) L'energia potenziale che la mela aveva quando era alta 30 m si trasforma in energia cinetica nel momento in cui la mela raggiunge il suolo.

½ mv ^ 2 = mgh

v ^ 2 = 2.gh

Sostituendo i valori e risolvendo, ne consegue che la mela raggiunge il suolo con una velocità di 24,3 m / s = 87,3 km / h.

c) Ovviamente la mela si disperde e tutta l'energia gravitazionale accumulata all'inizio si perde sotto forma di calore, poiché i pezzi di mela e la zona d'urto si riscaldano, inoltre parte dell'energia viene dissipata anche sotto forma di onde sonore " splash ".

Riferimenti

1. Alonso, M. (1970). Fisica Vol. 1, Fondo educativo interamericano.
2. Hewitt, Paul. 2012. Scienze fisiche concettuali. 5 °. Ed. Pearson.
3. Knight, R. 2017. Physics for Scientists and Engineering: a Strategy Approach. Pearson.
4. Sears, F. (2009). University Physics Vol. 1
5. Wikipedia. Energia gravitazionale. Estratto da: es.wikipedia.com
6. Wikipedia. Energia gravitazionale. Estratto da: en.wikipedia.com