ENEAGON: PROPRIETÀ, COME CREARE UN ENEGONO, ESEMPI - MATEMATICA

Un enegon è un poligono con nove lati e nove vertici, che possono essere regolari o meno. Il nome eneágono deriva dal greco e si compone delle parole greche ennea (nove) e gonon (angolo).

Un nome alternativo per il poligono a nove lati è nonagon, che deriva dalla parola latina nonus (nove) e gonon (vertice). D'altra parte, se i lati o gli angoli dell'enegono sono disuguali tra loro, allora hai un enegono irregolare. Se, d'altra parte, tutti i nove lati e i nove angoli di un enegono sono uguali, allora è un enegono regolare.

Figura 1. Eneagon regolare e enegono irregolare. (Elaborazione propria)

Proprietà dell'encagono

Per un poligono con n lati la somma dei suoi angoli interni è:

(n - 2) * 180º

Nell'enegon sarebbe n = 9, quindi la somma dei suoi angoli interni è:

Sa = (9 - 2) * 180º = 7 * 180º = 1260º

In ogni poligono, il numero di diagonali è:

D = n (n - 3) / 2 e nel caso dell'enegone, poiché n = 9, abbiamo D = 27.

Enegon regolare

Nell'enagono o nonagono regolare ci sono nove (9) angoli interni di uguale misura, quindi ogni angolo misura un nono della somma totale degli angoli interni.

La misura degli angoli interni di un enegon è quindi 1260º / 9 = 140º.

Figura 2. Apotema, raggio, lati, angoli e vertici di un enegono regolare. (Elaborazione propria)

Per ricavare la formula per l'area di un enegon regolare con lato d, è conveniente fare alcune costruzioni ausiliarie, come quelle mostrate in figura 2.

Il centro O si trova tracciando le bisettrici di due lati adiacenti. Il centro O equidistante dai vertici.

Un raggio di lunghezza r è il segmento dal centro O a un vertice dell'enegon. La figura 2 mostra i raggi OD e OE della lunghezza r.

L'apotema è il segmento che va dal centro al punto medio di un lato dell'enegon. Ad esempio OJ è un apotema la cui lunghezza è a.

Area di un enegon noto il lato e l'apotema

Consideriamo il triangolo ODE nella figura 2. L'area di questo triangolo è il prodotto della sua base DE e l'altezza OJ diviso 2:

Zona ODE = (DE * GU) / 2 = (d * a) / 2

Poiché ci sono 9 triangoli di uguale area nell'enegon, si conclude che l'area dello stesso è:

Area di Enegon = (9/2) (d * a)

Area di un noto enegon laterale

Se si conosce solo la lunghezza d dei lati dell'enegon, è necessario trovare la lunghezza dell'apotema per applicare la formula nella sezione precedente.

Consideriamo il triangolo rettangolo OJE in J (vedi figura 2). Se si applica il rapporto trigonometrico tangente, si ottiene:

tan (∡ OEJ) = GU / EJ.

L'angolo ∡OEJ = 140º / 2 = 70º, poiché EO è la bisettrice dell'angolo interno dell'egone.

D'altra parte, OJ è l'apotema della lunghezza a.

Quindi, poiché J è il punto medio di ED, ne segue che EJ = d / 2.

Sostituendo i valori precedenti nella relazione tangente abbiamo:

tan (70º) = a / (d / 2).

Ora cancelliamo la lunghezza dell'apotema:

a = (d / 2) tan (70º).

Il risultato precedente viene sostituito nella formula dell'area per ottenere:

Area dell'enegon = (9/2) (d * a) = (9/2) (d * (d / 2) tan (70º))

Infine troviamo la formula che permette di ottenere l'area dell'enegone regolare se si conosce solo la lunghezza d dei suoi lati:

Area dell'enegon = (9/4) d ² tan (70º) = 6,1818 d ²

Perimetro di enegon regolare noto il suo lato

Il perimetro di un poligono è la somma dei suoi lati. Nel caso dell'enegon, poiché ognuno dei lati misura una lunghezza d, il suo perimetro sarà la somma di nove volte d, ovvero:

Perimetro = 9 d

Il perimetro dell'enegon conosceva il suo raggio

Considerando il triangolo rettangolo OJE in J (vedi figura 2), viene applicato il rapporto coseno trigonometrico:

cos (∡ OEJ) = EJ / OE = (d / 2) / r

Dove si ottiene:

d = 2r cos (70º)

Sostituendo questo risultato, otteniamo la formula per il perimetro in funzione del raggio dell'egone:

Perimetro = 9 d = 18 r cos (70º) = 6.1564 r

Come fare un enegon regolare

1- Per costruire un enegono regolare, con riga e compasso, partire dalla circonferenza c che circoscrive l'encagono. (vedi figura 3)

2- Due linee perpendicolari sono tracciate attraverso il centro O della circonferenza. Quindi le intersezioni A e B di una delle linee sono contrassegnate con la circonferenza.

3- Con il compasso, centrando l'intercetta B e l'apertura uguale al raggio BO, si traccia un arco che intercetta la circonferenza originaria in un punto C.

Figura 3. Passaggi per costruire un enegon regolare. (Elaborazione propria)

4- Si ripete il passaggio precedente ma realizzando un centro in A e raggio AO, si disegna un arco che intercetta la circonferenza c in corrispondenza del punto E.

5- Con apertura AC e centro in A, viene disegnato un arco di circonferenza. Allo stesso modo con l'apertura BE e il centro B viene disegnato un altro arco. L'intersezione di questi due archi è contrassegnata come punto G.

6- Centrando in G e aprendo GA, si traccia un arco che intercetta l'asse secondario (orizzontale in questo caso) nel punto H. L'intersezione dell'asse secondario con la circonferenza originale c è contrassegnata come I.

7- La lunghezza del segmento IH è uguale alla lunghezza d del lato dell'enegon.

8- Con apertura del compasso IH = d, gli archi del centro A raggio AJ, centro J raggio AK, centro K raggio KL e centro L raggio LP vengono disegnati successivamente.

9- Allo stesso modo, partendo da A e dal lato destro, si disegnano archi di raggio IH = d che segnano i punti M, N, C e Q sulla circonferenza originale c.

10- Infine vengono disegnati i segmenti AJ, JK, KL, LP, AM, MN, NC, CQ e infine PB.

Va notato che il metodo di costruzione non è del tutto esatto, poiché si può verificare che l'ultimo lato PB è dello 0,7% più lungo degli altri lati. Ad oggi, non esiste un metodo di costruzione noto con un righello e un compasso accurati al 100%.

Esempi

Ecco alcuni esempi elaborati.

Esempio 1

Vogliamo costruire un enegon regolare i cui lati misurino 2 cm. Quale raggio deve avere la circonferenza che la circoscrive, in modo che applicando la costruzione descritta in precedenza si ottenga il risultato desiderato?

In una sezione precedente è stata dedotta la formula che mette in relazione il raggio r del cerchio circoscritto con il lato d di un enegone regolare:

d = 2r cos (70º)

Risolvendo per r dall'espressione precedente abbiamo:

r = d / (2 cos (70º)) = 1,4619 * d

Sostituendo il valore d = 2 cm nella formula precedente si ottiene un raggio r di 2,92 cm.

Esempio 2

Qual è l'area di un enegon regolare con un lato di 2 cm?

Per rispondere a questa domanda dobbiamo fare riferimento alla formula, precedentemente mostrata, che ci permette di trovare l'area di un enegone noto dalla lunghezza d del suo lato: