- caratteristiche
- tipi
- Primo grado
- Secondo grado
- Solvente
- Il voto più alto
- Esercizi risolti
- Primo esercizio
- Soluzione
- Secondo esercizio
- Soluzione
- Riferimenti
Le equazioni polinomiali sono un'affermazione che solleva l'uguaglianza di due espressioni o membri, dove almeno uno dei termini che compongono ciascun lato dell'uguaglianza è polinomi P (x). Queste equazioni sono denominate in base al grado delle loro variabili.
In generale, un'equazione è un'affermazione che stabilisce l'uguaglianza di due espressioni, dove in almeno una di queste ci sono quantità sconosciute, che sono chiamate variabili o incognite. Sebbene ci siano molti tipi di equazioni, sono generalmente classificate in due tipi: algebriche e trascendenti.
Le equazioni polinomiali contengono solo espressioni algebriche, che possono avere una o più incognite coinvolte nell'equazione. In base all'esponente (grado) che hanno, possono essere classificati in: primo grado (lineare), secondo grado (quadratico), terzo grado (cubico), quarto grado (quartico), grado maggiore o uguale a cinque e irrazionale.
caratteristiche
Le equazioni polinomiali sono espressioni formate da un'uguaglianza tra due polinomi; cioè dalle somme finite di moltiplicazioni tra valori sconosciuti (variabili) e numeri fissi (coefficienti), dove le variabili possono avere esponenti e il loro valore può essere un numero intero positivo, compreso lo zero.
Gli esponenti determinano il grado o il tipo di equazione. Il termine nell'espressione con l'esponente più alto rappresenterà il grado assoluto del polinomio.
Le equazioni polinomiali sono anche conosciute come equazioni algebriche, i loro coefficienti possono essere numeri reali o complessi e le variabili sono numeri sconosciuti rappresentati da una lettera, come: "x".
Se sostituendo un valore per la variabile "x" in P (x) il risultato è uguale a zero (0), allora si dice che quel valore soddisfa l'equazione (è una soluzione), ed è generalmente chiamato radice del polinomio.
Quando si sviluppa un'equazione polinomiale, si desidera trovare tutte le radici o le soluzioni.
tipi
Esistono diversi tipi di equazioni polinomiali, che si differenziano in base al numero di variabili e anche in base al grado del loro esponente.
Pertanto, le equazioni polinomiali -dove il suo primo termine è un polinomio che ha una singola incognita, considerando che il suo grado può essere qualsiasi numero naturale (n) e il secondo termine è zero-, possono essere espresse come segue:
a n * x n + a n-1 * x n-1 +… + a 1 * x 1 + a 0 * x 0 = 0
Dove:
- a n, a n-1 e 0 sono coefficienti reali (numeri).
- una n è diversa da zero.
- L'esponente n è un numero intero positivo che rappresenta il grado dell'equazione.
- x è la variabile o lo sconosciuto da cercare.
Il grado assoluto o maggiore di un'equazione polinomiale è l'esponente con il valore più alto tra tutti quelli che formano il polinomio; quindi, le equazioni sono classificate come:
Primo grado
Le equazioni polinomiali di primo grado, note anche come equazioni lineari, sono quelle in cui il grado (il massimo esponente) è uguale a 1, il polinomio è della forma P (x) = 0; y è composto da un termine lineare e da uno indipendente. È scritto come segue:
ax + b = 0.
Dove:
- aeb sono numeri reali e a ≠ 0.
- ax è il termine lineare.
- b è il termine indipendente.
Ad esempio, l'equazione 13x - 18 = 4x.
Per risolvere equazioni lineari, tutti i termini che contengono l'ignoto x devono essere passati da una parte dell'uguaglianza, e quelli che non lo hanno si spostano dall'altra parte, al fine di risolverlo e ottenere una soluzione:
13x - 18 = 4x
13x = 4x + 18
13x - 4x = 18
9x = 18
x = 18 ÷ 9
x = 2.
Pertanto, l'equazione data ha una sola soluzione o radice, che è x = 2.
Secondo grado
Le equazioni polinomiali di secondo grado, note anche come equazioni quadratiche, sono quelle in cui il grado (il massimo esponente) è uguale a 2, il polinomio è della forma P (x) = 0 ed è composto da un termine quadratico , uno lineare e uno indipendente. È espresso come segue:
ax 2 + bx + c = 0.
Dove:
- a, bec sono numeri reali e a ≠ 0.
- ax 2 è il termine quadratico e "a" è il coefficiente del termine quadratico.
- bx è il termine lineare e "b" è il coefficiente del termine lineare.
- c è il termine indipendente.
Solvente
Generalmente, la soluzione a questo tipo di equazioni è data eliminando x dall'equazione, ed è la seguente, che è chiamata risolutiva:
Lì, (b 2 - 4ac) è chiamato discriminante dell'equazione e questa espressione determina il numero di soluzioni che l'equazione può avere:
- Se (b 2 - 4ac) = 0, l'equazione avrà un'unica soluzione doppia; cioè, avrà due soluzioni uguali.
- Se (b 2 - 4ac)> 0, l'equazione avrà due diverse soluzioni reali.
- Se (b 2 - 4ac) <0, l'equazione non ha soluzione (avrà due diverse soluzioni complesse).
Ad esempio, abbiamo l'equazione 4x 2 + 10x - 6 = 0, per risolverlo, prima identifica i termini a, bec, e poi sostituiscilo nella formula:
a = 4
b = 10
c = -6.
Ci sono casi in cui le equazioni polinomiali di secondo grado non hanno tutti e tre i termini, ed è per questo che vengono risolte in modo diverso:
- Nel caso in cui le equazioni quadratiche non abbiano il termine lineare (cioè b = 0), l'equazione sarà espressa come ax 2 + c = 0. Per risolverla, risolvere per x 2 e applicare le radici quadrate in ogni membro , ricordando che vanno considerati i due possibili segni che l'ignoto può avere:
ascia 2 + c = 0.
x 2 = - c ÷ a
Ad esempio, 5 x 2 - 20 = 0.
5 x 2 = 20
x 2 = 20 ÷ 5
x = ± √4
x = ± 2
x 1 = 2.
x 2 = -2.
- Quando l'equazione quadratica non ha un termine indipendente (cioè c = 0), l'equazione sarà espressa come ax 2 + bx = 0. Per risolverla, si dovrà prendere il fattore comune dell'incognita x nel primo membro; Poiché l'equazione è uguale a zero, è vero che almeno uno dei fattori sarà uguale a 0:
ax 2 + bx = 0.
x (ax + b) = 0.
Quindi, devi:
x = 0.
x = -b ÷ a.
Ad esempio: abbiamo l'equazione 5x 2 + 30x = 0. Per prima cosa fattorizziamo:
5x 2 + 30x = 0
x (5x + 30) = 0.
Vengono generati due fattori che sono xy (5x + 30). Si considera che uno di questi sarà uguale a zero e l'altro è risolto:
x 1 = 0.
5x + 30 = 0
5x = -30
x = -30 ÷ 5
x 2 = -6.
Il voto più alto
Le equazioni polinomiali di grado superiore sono quelle che vanno dal terzo grado in poi, che possono essere espresse o risolte con l'equazione polinomiale generale per qualsiasi grado:
a n * x n + a n-1 * x n-1 +… + a 1 * x 1 + a 0 * x 0 = 0
Viene utilizzato perché un'equazione con un grado maggiore di due è il risultato della fattorizzazione di un polinomio; cioè, è espresso come moltiplicazione di polinomi di grado uno o maggiore, ma senza radici reali.
La soluzione di questi tipi di equazioni è diretta, perché la moltiplicazione di due fattori sarà uguale a zero se uno qualsiasi dei fattori è nullo (0); pertanto, ciascuna delle equazioni polinomiali trovate deve essere risolta, ponendo ciascuno dei loro fattori uguale a zero.
Ad esempio, abbiamo l'equazione di terzo grado (cubica) x 3 + x 2 + 4x + 4 = 0. Per risolverlo, è necessario seguire i seguenti passaggi:
- I termini sono raggruppati:
x 3 + x 2 + 4x + 4 = 0
(x 3 + x 2 ) + (4x + 4) = 0.
- I membri vengono scomposti per ottenere il fattore comune dell'ignoto:
x 2 (x + 1) + 4 (x + 1) = 0
(x 2 + 4) * (x + 1) = 0.
- In questo modo si ottengono due fattori, che devono essere uguali a zero:
(x 2 + 4) = 0
(x + 1) = 0.
- Si può vedere che il fattore (x 2 + 4) = 0 non avrà una soluzione reale, mentre il fattore (x + 1) = 0 sì. Quindi la soluzione è:
(x + 1) = 0
x = -1.
Esercizi risolti
Risolvi le seguenti equazioni:
Primo esercizio
(2x 2 + 5) * (x - 3) * (1 + x) = 0.
Soluzione
In questo caso l'equazione è espressa come moltiplicazione di polinomi; cioè, è preso in considerazione. Per risolverlo, ogni fattore deve essere impostato uguale a zero:
- 2x 2 + 5 = 0, non ha soluzione.
- x - 3 = 0
- x = 3.
- 1 + x = 0
- x = - 1.
Pertanto, l'equazione data ha due soluzioni: x = 3 ex = -1.
Secondo esercizio
x 4 - 36 = 0.
Soluzione
È stato fornito un polinomio, che può essere riscritto come differenza di quadrati per arrivare a una soluzione più rapida. Quindi, l'equazione è:
(x 2 + 6) * (x 2 - 6) = 0.
Per trovare la soluzione delle equazioni, entrambi i fattori vengono posti pari a zero:
(x 2 + 6) = 0, non ha soluzione.
(x 2 - 6) = 0
x 2 = 6
x = ± √6.
Pertanto, l'equazione iniziale ha due soluzioni:
x = √6.
x = - √6.
Riferimenti
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- Kreemly Pérez, ML (1984). Algebra superiore I.
- Massara, NC-L. (1995). Matematica 3.