DOMINIO E CONTRADDOMINIO DI UNA FUNZIONE (CON ESEMPI) - MATEMATICA - 2024

I concetti di dominio e controdominio di una funzione sono comunemente insegnati nei corsi di calcolo che vengono insegnati all'inizio dei diplomi universitari.

Prima di definire il dominio e il contraddominio, devi sapere cos'è una funzione. Una funzione f è una legge (regola) di corrispondenza fatta tra gli elementi di due insiemi.

L'insieme da cui vengono scelti gli elementi è chiamato dominio della funzione e l'insieme a cui questi elementi vengono inviati tramite f è chiamato contro-dominio.

In matematica una funzione con dominio A e dominio contatore B è denotata dall'espressione f: A → B.

L'espressione precedente dice che gli elementi dell'insieme A vengono inviati all'insieme B seguendo la legge di corrispondenza f.

Una funzione assegna ad ogni elemento dell'insieme A un singolo elemento dell'insieme B.

Dominio e contraddominio

Data una funzione reale di una variabile reale f (x), abbiamo che il dominio della funzione saranno tutti quei numeri reali tali che, se valutati in f, il risultato è un numero reale.

Generalmente, il controdominio di una funzione è l'insieme dei numeri reali R. Il contro-dominio è anche chiamato insieme di arrivo o codominio della funzione f.

Il contraddominio di una funzione è sempre R?

No. Fintanto che la funzione non è studiata in dettaglio, l'insieme dei numeri reali R è solitamente considerato come un controdominio.

Ma una volta che la funzione è stata studiata, un insieme più adatto può essere preso come controdominio, che sarà un sottoinsieme di R.

Il set corretto menzionato nel paragrafo precedente corrisponde all'immagine della funzione.

La definizione dell'immagine o del range di una funzione f si riferisce a tutti i valori che derivano dalla valutazione di un elemento del dominio in f.

Esempi

I seguenti esempi illustrano come calcolare il dominio di una funzione e la sua immagine.

Esempio 1

Sia f una funzione reale definita da f (x) = 2.

Il dominio di f è costituito da tutti i numeri reali tali che, se valutato af, il risultato è un numero reale. Il contraddominio per il momento è uguale a R.

Poiché la funzione data è costante (sempre uguale a 2), non importa quale numero reale viene scelto, poiché quando la si valuta af il risultato sarà sempre uguale a 2, che è un numero reale.

Pertanto, il dominio della funzione data è costituito da tutti i numeri reali; cioè A = R.

Ora che è noto che il risultato della funzione è sempre uguale a 2, abbiamo che l'immagine della funzione è solo il numero 2, quindi il controdominio della funzione può essere ridefinito come B = Img (f) = {Due}.

Pertanto, f: R → {2}.

Esempio 2

Sia g una funzione reale definita da g (x) = √x.

Fintanto che l'immagine di g non è nota, il contraddominio di g è B = R.

Con questa funzione si deve tener conto che le radici quadrate sono definite solo per numeri non negativi; cioè, per numeri maggiori o uguali a zero. Ad esempio, √-1 non è un numero reale.

Pertanto, il dominio della funzione g deve essere tutti i numeri maggiori o uguali a zero; cioè, x ≥ 0.

Pertanto, A = [0, + ∞).

Per calcolare l'intervallo, va notato che qualsiasi risultato di g (x), poiché è una radice quadrata, sarà sempre maggiore o uguale a zero. Cioè, B = [0, + ∞).

In conclusione, g: [0, + ∞) → [0, + ∞).

Esempio 3

Se abbiamo la funzione h (x) = 1 / (x-1), abbiamo che questa funzione non è definita per x = 1, poiché al denominatore otterremmo zero e la divisione per zero non è definita.

D'altra parte, per qualsiasi altro valore reale il risultato sarà un numero reale. Pertanto, il dominio è tutto reale tranne uno; cioè A = R \ {1}.

Allo stesso modo si può osservare che l'unico valore che non può essere ottenuto come risultato è 0, poiché affinché una frazione sia uguale a zero il numeratore deve essere zero.

Pertanto, l'immagine della funzione è l'insieme di tutti i reali eccetto zero, quindi B = R \ {0} è considerato un contraddominio.

In conclusione, h: R \ {1} → R \ {0}.

osservazioni

Il dominio e l'immagine non devono essere lo stesso insieme, come dimostrato negli esempi 1 e 3.

Quando una funzione viene rappresentata graficamente sul piano cartesiano, il dominio è rappresentato dall'asse X e il controdominio o intervallo è rappresentato dall'asse Y.

Riferimenti

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