DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ DISCRETE: CARATTERISTICHE, ESERCIZI - MATEMATICA - 2024

Le distribuzioni di probabilità discrete sono una funzione che assegna a ciascun elemento di X (S) = {x1, x2, …, xi, …}, dove X è una variabile casuale discreta data e S è lo spazio campionario, la probabilità che detto evento si verifica. Questa funzione f di X (S) definita come f (xi) = P (X = xi) è talvolta chiamata funzione di massa di probabilità.

Questa massa di probabilità è generalmente rappresentata in forma tabellare. Poiché X è una variabile casuale discreta, X (S) ha un numero finito di eventi o infinito numerabile. Tra le distribuzioni di probabilità discrete più comuni abbiamo la distribuzione uniforme, la distribuzione binomiale e la distribuzione di Poisson.

caratteristiche

La funzione di distribuzione di probabilità deve soddisfare le seguenti condizioni:

Inoltre, se X accetta solo un numero finito di valori (ad esempio x1, x2,…, xn), allora p (xi) = 0 se i> ny, quindi, la serie infinita di condizione b diventa a serie finite.

Questa funzione soddisfa anche le seguenti proprietà:

Sia B un evento associato alla variabile casuale X. Ciò significa che B è contenuto in X (S). In particolare, supponiamo che B = {xi1, xi2, …}. Così:

In altre parole, la probabilità di un evento B è uguale alla somma delle probabilità dei singoli risultati associati a B.

Da ciò possiamo concludere che se a <b, gli eventi (X ≤ a) e (a <X ≤ b) si escludono a vicenda e, inoltre, la loro unione è l'evento (X ≤ b), quindi abbiamo:

tipi

Distribuzione uniforme su n punti

Si dice che una variabile casuale X segue una distribuzione caratterizzata dall'essere uniforme in n punti se a ciascun valore è assegnata la stessa probabilità. La sua funzione di massa di probabilità è:

Supponiamo di avere un esperimento che ha due possibili esiti, può essere il lancio di una moneta i cui possibili esiti sono testa o croce, oppure la scelta di un intero il cui risultato può essere un numero pari o dispari; questo tipo di esperimento è noto come test di Bernoulli.

In generale, i due possibili risultati sono chiamati successo e fallimento, dove p è la probabilità di successo e 1-p è la probabilità di fallimento. Possiamo determinare la probabilità di x successi in n test di Bernoulli indipendenti l'uno dall'altro con la seguente distribuzione.

Distribuzione binomiale

È la funzione che rappresenta la probabilità di ottenere x successi in n test di Bernoulli indipendenti, la cui probabilità di successo è p. La sua funzione di massa di probabilità è:

Il grafico seguente rappresenta la funzione di massa di probabilità per diversi valori dei parametri della distribuzione binomiale.

La distribuzione seguente deve il suo nome al matematico francese Simeon Poisson (1781-1840), che la ottenne come limite della distribuzione binomiale.

Distribuzione di Poisson

Si dice che una variabile casuale X ha una distribuzione di Poisson del parametro λ quando può assumere valori interi positivi 0,1,2,3, … con la seguente probabilità:

In questa espressione λ è il numero medio corrispondente alle occorrenze dell'evento per ciascuna unità di tempo e x è il numero di volte in cui si verifica l'evento.

La sua funzione di massa di probabilità è:

Ecco un grafico che rappresenta la funzione di massa di probabilità per diversi valori dei parametri della distribuzione di Poisson.

Nota che, finché il numero di successi è basso e il numero di test eseguiti su una distribuzione binomiale è alto, possiamo sempre approssimare queste distribuzioni, poiché la distribuzione di Poisson è il limite della distribuzione binomiale.

La differenza principale tra queste due distribuzioni è che, mentre il binomio dipende da due parametri, vale a dire n e p, il Poisson dipende solo da λ, che a volte è chiamata intensità della distribuzione.

Finora abbiamo parlato solo di distribuzioni di probabilità per casi in cui i diversi esperimenti sono indipendenti l'uno dall'altro; cioè, quando il risultato di uno non è influenzato da qualche altro risultato.

Quando si verifica il caso di avere esperimenti non indipendenti, la distribuzione ipergeometrica è molto utile.

Distribuzione ipergeometrica

Sia N il numero totale di oggetti di un insieme finito, di cui possiamo in qualche modo identificare k di questi, formando così un sottoinsieme K, il cui complemento è formato dai restanti Nk elementi.

Se scegliamo casualmente n oggetti, la variabile casuale X che rappresenta il numero di oggetti appartenenti a K in detta scelta ha una distribuzione ipergeometrica dei parametri N, n e k. La sua funzione di massa di probabilità è:

Il grafico seguente rappresenta la funzione massa di probabilità per diversi valori dei parametri della distribuzione ipergeometrica.

Esercizi risolti

Primo esercizio

Supponiamo che la probabilità che un tubo radio (posizionato in un certo tipo di apparecchiatura) funzioni per più di 500 ore sia 0,2. Se vengono testati 20 tubi, qual è la probabilità che esattamente k di questi funzionino per più di 500 ore, k = 0, 1,2,…, 20?

Soluzione

Se X è il numero di tubi che lavorano più di 500 ore, assumeremo che X abbia una distribuzione binomiale. Così

E così:

Per k≥11, le probabilità sono inferiori a 0,001

Possiamo così osservare come aumenta la probabilità che k di questi lavori per più di 500 ore, fino a raggiungere il suo valore massimo (con k = 4) e poi inizi a diminuire.

Secondo esercizio

Viene lanciata una moneta 6 volte. Quando il risultato è costoso, diremo che è un successo. Qual è la probabilità che due teste vengano fuori esattamente?

Soluzione

In questo caso abbiamo che n = 6 e sia la probabilità di successo che quella di fallimento sono p = q = 1/2

Pertanto, la probabilità che vengano fornite due teste (ovvero k = 2) è

Terzo esercizio

Qual è la probabilità di trovare almeno quattro teste?

Soluzione

In questo caso abbiamo che k = 4, 5 o 6

Terzo esercizio

Supponiamo che il 2% degli articoli prodotti in una fabbrica siano difettosi. Trova la probabilità P che ci siano tre articoli difettosi in un campione di 100 articoli.

Soluzione

In questo caso potremmo applicare la distribuzione binomiale per n = 100 ep = 0,02 ottenendo come risultato:

Tuttavia, poiché p è piccolo, usiamo l'approssimazione di Poisson con λ = np = 2. Così,

Riferimenti

1. Kai Lai Chung. Teoria elementare della proabilità con processi stocastici. Springer-Verlag New York Inc
2. Kenneth.H. Rosen Matematica discreta e sue applicazioni. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Paul L. Meyer. Probabilità e applicazioni statistiche. SA ALHAMBRA MESSICANA.
4. Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 Problemi risolti di matematica discreta. McGraw-Hill.
5. Seymour Lipschutz Ph.D. Teoria e problemi di probabilità. McGraw-Hill.