- Formula
- Distanza euclidea in due dimensioni
- Superfici non euclidee
- Distanza euclidea in n dimensioni
- Come calcolare la distanza euclidea
- Esempio
- Riferimenti
La distanza euclidea è un numero positivo che indica la separazione tra due punti in uno spazio in cui si adempiono gli assiomi ei teoremi della geometria di Euclide.
La distanza tra due punti A e B in uno spazio euclideo è la lunghezza del vettore AB appartenente all'unica retta che passa per questi punti.
Figura 1 . Spazio euclideo unidimensionale formato dalla linea (OX). Su detto spazio sono mostrati diversi punti, le loro coordinate e distanze. (Preparato da Ricardo Pérez).
Lo spazio che gli esseri umani percepiscono e in cui ci muoviamo è uno spazio tridimensionale (3-D), dove si adempiono gli assiomi e i teoremi della geometria di Euclide. Sottospazi bidimensionali (piani) e sottospazi unidimensionali (linee) sono contenuti in questo spazio.
Gli spazi euclidei possono essere unidimensionali (1-D), bidimensionali (2-D), tridimensionali (3-D) o n-dimensionali (nD).
I punti nello spazio unidimensionale X sono quelli che appartengono alla linea orientata (OX), la direzione da O a X è la direzione positiva. Per localizzare i punti su questa linea si utilizza il sistema cartesiano, che consiste nell'assegnare un numero ad ogni punto della linea.
Formula
La distanza euclidea d (A, B) tra i punti A e B, situati su una linea, è definita come la radice quadrata del quadrato delle differenze nelle loro coordinate X:
d (A, B) = √ ((XB - XA) ^ 2)
Questa definizione garantisce che: la distanza tra due punti è sempre una quantità positiva. E che la distanza tra A e B è uguale alla distanza tra B e A.
La figura 1 mostra lo spazio euclideo unidimensionale formato dalla linea (OX) e da diversi punti su detta linea. Ogni punto ha una coordinata:
Il punto A ha la coordinata XA = 2.5, la coordinata del punto B XB = 4 e la coordinata del punto C XC = -2.5
d (A, B) = √ ((4 - 2,5) 2) = 1,5
d (B, A) = √ ((2,5 - 4) 2) = 1,5
d (LA, DO) = √ ((- 2,5 - 2,5) 2) = 5,0
Distanza euclidea in due dimensioni
Lo spazio euclideo bidimensionale è un piano. I punti di un piano euclideo soddisfano gli assiomi della geometria euclidea, ad esempio:
- Una singola linea passa per due punti.
- Tre punti sul piano formano un triangolo i cui angoli interni si sommano sempre fino a 180º.
- In un triangolo rettangolo, il quadrato dell'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati delle sue gambe.
In due dimensioni, un punto ha coordinate X e Y.
Ad esempio, un punto P ha coordinate (XP, YP) e un punto Q coordinate (XQ, YQ).
La distanza euclidea tra il punto P e Q è definita con la seguente formula:
d (P, Q) = √ ((XQ - XP) ^ 2 + (YQ - YP) ^ 2)
Va notato che questa formula è equivalente al teorema di Pitagora, come mostrato nella Figura 2.
Figura 2. La distanza tra due punti P e Q nel piano soddisfa il teorema di Pitagora. (Preparato da Ricardo Pérez).
Superfici non euclidee
Non tutti gli spazi bidimensionali sono conformi alla geometria euclidea. La superficie di una sfera è uno spazio bidimensionale.
Gli angoli di un triangolo su una superficie sferica non si sommano fino a 180º e con questo il teorema di Pitagora non è soddisfatto, quindi una superficie sferica non soddisfa gli assiomi di Euclide.
Distanza euclidea in n dimensioni
Il concetto di coordinate può essere esteso a dimensioni maggiori:
- Nel punto 2-D P ha coordinate (XP, YP)
- In 3-D un punto Q ha coordinate (XQ, YQ, ZQ)
- In 4-D il punto R avrà coordinate (XR, YR, ZR, WR)
- In nD un punto P avrà coordinate (P1, P2, P3,… .., Pn)
La distanza tra due punti P e Q di uno spazio euclideo n-dimensionale viene calcolata con la seguente formula:
d (P, Q) = √ ((Q1 - P1) ^ 2 + (Q2 - P2) ^ 2 + …… .. + (Qn - Pn) ^ 2)
Il luogo di tutti i punti Q in uno spazio euclideo n-dimensionale equidistante da un altro punto fisso P (il centro) forma un'ipersfera n-dimensionale.
Come calcolare la distanza euclidea
Quanto segue mostra come viene calcolata la distanza tra due punti situati nello spazio tridimensionale euclideo.
Supponiamo il punto A delle coordinate cartesiane x, y, z date da A :( 2, 3, 1) e il punto B delle coordinate B :( -3, 2, 2).
Vogliamo determinare la distanza tra questi punti, per i quali si fa uso della relazione generale:
d (A, B) = √ ((-3 - 2) 2 + (2 - 3) 2 + (2 - 1) 2) = √ ((-5) 2 + (-1) 2 + (1) 2 )
d (A, B) = √ (25 + 1 + 1) = √ (27) = √ (9 * 3) = 3 √ (3) = 5.196
Esempio
Ci sono due punti P e Q. Il punto P delle coordinate cartesiane x, y, z dato da P :( 2, 3, 1) e il punto Q delle coordinate Q :( -3, 2, 1).
Viene chiesto di trovare le coordinate del punto medio M del segmento che collega i due punti.
Si presume che il punto sconosciuto M abbia coordinate (X, Y, Z).
Poiché M è il punto medio di, deve essere vero che d (P, M) = d (Q, M), quindi anche d (P, M) ^ 2 = d (Q, M) ^ 2 deve essere vero:
(X - 2) ^ 2 + (Y - 3) ^ 2 + (Z - 1) ^ 2 = (X - (-3)) ^ 2 + (Y - 2) ^ 2 + (Z - 1) ^ 2
Poiché in questo caso, il terzo termine è uguale in entrambi i membri, l'espressione precedente si semplifica in:
(X - 2) ^ 2 + (Y - 3) ^ 2 = (X + 3) ^ 2 + (Y - 2) ^ 2
Abbiamo quindi un'equazione con due incognite X e Y. Un'altra equazione è necessaria per risolvere il problema.
Il punto M appartiene alla retta che passa per i punti P e Q, che possiamo calcolare come segue:
Per prima cosa troviamo il vettore direttore PQ della retta: PQ = <-3-2, 2-3, 1-1> = <-5, -1, 0>.
Allora PM = OP + a PQ , dove OP è il vettore di posizione del punto P ed è un parametro che appartiene ai numeri reali.
L'equazione di cui sopra è nota come equazione vettoriale della linea, che in coordinate cartesiane assume la seguente forma:
<X-2, Y-3, Z-1> = <2, 3, 1> + a <-5, -1, 0> = <2 - 5a, 3 - a, 0>
Uguagliando i componenti corrispondenti abbiamo:
X - 2 = 2-5 a; Y - 3 = 3 -a; Z - 1 = 0
Cioè, X = 4 - 5a, Y = 6 - a, infine Z = 1.
È sostituito nell'espressione quadratica che collega X a Y:
(4 - 5a - 2) ^ 2 + (6 - a - 3) ^ 2 = (4 - 5a + 3) ^ 2 + (6 - a - 2) ^ 2
È semplificato:
(2 - 5a) ^ 2 + (3 -a) ^ 2 = (7 - 5a) ^ 2 + (4 - a) ^ 2
Ora si svolge:
4 + 25 a ^ 2 - 20a + 9 + a ^ 2 - 6a = 49 + 25 a ^ 2 - 70a + 16 + a ^ 2 - 8a
È semplificato, cancellando termini simili in entrambi i membri:
4 - 20a + 9 - 6a = 49 - 70a + 16 - 8a
Il parametro a viene cancellato:
52 a = 49 + 16 - 4 - 9 = 52 risultante in a = 1.
Cioè, X = 4-5, Y = 6-1, infine Z = 1.
Infine si ottengono le coordinate cartesiane del punto medio M del segmento:
M: (-1, 5, 1).
Riferimenti
- Lehmann C. (1972) Analytical Geometry. UTEHA.
- Superprof. Distanza tra due punti. Recupero da: superprof.es
- UNAM. Distanza tra varietà sublineari affini. Estratto da: prometeo.matem.unam.mx/
- wikipedia. Distanza euclidea. Estratto da: es.wikipedia.com
- wikipedia. Spazio euclideo. Estratto da: es.wikipedia.com