- Esempi
- Calcolare una differenza di cubi
- Esempio 1
- Esempio 2
- Esempio 3
- Esercizio risolto
- Esercizio 1
- Soluzione a
- Soluzione b
- Esercizio 2
- Soluzione
- Riferimenti
La differenza dei cubi è un'espressione algebrica binomiale della forma a 3 - b 3 , dove i termini aeb possono essere numeri reali o espressioni algebriche di vario tipo. Un esempio di differenza di cubi è: 8 - x 3 , poiché 8 può essere scritto come 2 3 .
Geometricamente possiamo pensare ad un cubo grande, con lato a, da cui viene sottratto il cubo piccolo con lato b, come illustrato in figura 1:
Figura 1. Una differenza di cubi. Fonte: F. Zapata.
Il volume della figura risultante è precisamente una differenza di cubi:
V = a 3 - b 3
Per trovare un'espressione alternativa, si osserva che questa figura può essere scomposta in tre prismi, come mostrato di seguito:
Figura 2. La differenza dei cubi (a sinistra dell'uguaglianza) è uguale alla somma dei volumi parziali (a destra). Fonte: F. Zapata.
Un prisma ha un volume dato dal prodotto delle sue tre dimensioni: larghezza x altezza x profondità. In questo modo, il volume risultante è:
V = a 3 - b 3 = a 2 .b + b 3 + ab 2
Il fattore b è comune a destra. Inoltre, nella figura sopra riportata è particolarmente vero che:
b = (a / 2) ⇒ a = b + b
Quindi si può dire che: b = a - b. Così:
Questo modo di esprimere la differenza dei cubi si rivelerà molto utile in molte applicazioni e sarebbe stato ottenuto allo stesso modo, anche se il lato del cubo mancante nell'angolo fosse diverso da b = a / 2.
Si noti che la seconda parentesi assomiglia molto al prodotto notevole del quadrato della somma, ma il termine incrociato non viene moltiplicato per 2. Il lettore può espandere il lato destro per verificare che si ottenga effettivamente un 3 - b 3 .
Esempi
Esistono diverse differenze di cubi:
1 - m 6
a 6 b 3 - 8z 12 e 6
(1/125) .x 6 - 27.y 9
Analizziamo ognuno di loro. Nel primo esempio, l'1 può essere scritto come 1 = 1 3 e il termine m 6 diventa: (m 2 ) 3 . Entrambi i termini sono cubi perfetti, quindi la loro differenza è:
1 - m 6 = 1 3 - (m 2 ) 3
Nel secondo esempio vengono riscritti i termini:
a 6 b 3 = (a 2 b) 3
8z 12 y 6 = 2 3 (z 4 ) 3 (y 2 ) 3 = (2z 4 y 2 ) 3
La differenza di questi cubi è: (a 2 b) 3 - (2z 4 y 2 ) 3 .
Infine, la frazione (1/125) è (1/5 3 ), x 6 = (x 2 ) 3 , 27 = 3 3 e y 9 = (y 3 ) 3 . Sostituendo tutto questo nell'espressione originale, ottieni:
(1/125) .x 6 - 27y 9 = 3 - (3y 3 ) 3
Calcolare una differenza di cubi
Calcolare la differenza dei cubi semplifica molte operazioni algebriche. Per fare questo basta utilizzare la formula dedotta sopra:
Figura 3. Fattorizzazione della differenza di cubi ed espressione di un quoziente notevole. Fonte: F. Zapata.
Ora, la procedura per applicare questa formula consiste in tre passaggi:
- In primo luogo si ottiene la radice cubica di ciascuno dei termini della differenza.
- Quindi vengono costruiti il binomio e il trinomio che compaiono sul lato destro della formula.
- Infine, il binomio e il trinomio vengono sostituiti per ottenere la fattorizzazione finale.
Illustriamo l'uso di questi passaggi con ciascuno degli esempi di differenza di cubo proposti sopra e otteniamo così il suo equivalente fattorizzato.
Esempio 1
Fattorizzare l'espressione 1 - m 6 seguendo i passaggi descritti. Iniziamo riscrivendo l'espressione come 1 - m 6 = 1 3 - (m 2 ) 3 per estrarre le rispettive radici cubiche di ciascun termine:
Successivamente, vengono costruiti il binomio e il trinomio:
a = 1
b = m 2
Così:
a - b = 1 - m 2
(a 2 + ab + b 2 ) = 1 2 + 1.m 2 + (m 2 ) 2 = 1 + m 2 + m 4
Infine, è sostituito nella formula a 3 - b 3 = (ab) (a 2 + ab + b 2 ):
1 - m 6 = (1 - m 2 ) (1 + m 2 + m 4 )
Esempio 2
factorize:
a 6 b 3 -8z 12 y 6 = (a 2 b) 3 - (2z 4 y 2 ) 3
Trattandosi di cubi perfetti, le radici del cubo sono immediate: a 2 be 2z 4 e 2 , quindi ne segue che:
- Binomiale: a 2 b - 2z 4 e 2
- Trinomiale: (a 2 b) 2 + a 2 b. 2z 4 y 2 + (a 2 b + 2z 4 y 2 ) 2
E ora viene costruita la fattorizzazione desiderata:
a 6 b 3 -8z 12 y 6 = (a 2 b - 2z 4 y 2 ). =
= (a 2 b - 2z 4 y 2 ).
In linea di principio, il factoring è pronto, ma spesso è necessario semplificare ogni termine. Quindi viene sviluppato il prodotto notevole -square di una somma- che appare alla fine e quindi vengono aggiunti termini simili. Ricordando che il quadrato di una somma è:
Il prodotto notevole sulla destra è sviluppato in questo modo:
(a 2 b + 2z 4 e 2 ) 2 = a 4 b 2 + 4a 2 b.z 4 e 2 + 4z 8 e 4
Sostituendo l'espansione ottenuta nella fattorizzazione della differenza dei cubi:
a 6 b 3 -8z 12 y 6 = (a 2 b - 2z 4 y 2 ). =
Infine, raggruppando termini simili e fattorizzando i coefficienti numerici, che sono tutti pari, si ottiene:
(a 2 b - 2z 4 y 2 ). = 2 (a 2 b - 2z 4 y 2 ).
Esempio 3
Il factoring (1/125) x 6 - 27y 9 è molto più semplice del caso precedente. Per prima cosa vengono identificati gli equivalenti di a e di b:
a = (1/5) x 2
b = 3y 3
Quindi vengono sostituiti direttamente nella formula:
(1/125) .x 6 - 27y 9 =.
Esercizio risolto
La differenza dei cubi ha, come abbiamo detto, una varietà di applicazioni in Algebra. Vediamone alcuni:
Esercizio 1
Risolvi le seguenti equazioni:
a) x 5 - 125 x 2 = 0
b) 64-729 x 3 = 0
Soluzione a
Per prima cosa l'equazione viene scomposta in questo modo:
x 2 (x 3 - 125) = 0
Poiché 125 è un cubo perfetto, le parentesi sono scritte come differenza di cubi:
x 2 . (x 3 - 5 3 ) = 0
La prima soluzione è x = 0, ma ne troviamo di più se facciamo x 3 - 5 3 = 0, allora:
x 3 = 5 3 → x = 5
Soluzione b
Il lato sinistro dell'equazione viene riscritto come 64-729 x 3 = 4 3 - (9x) 3 . Così:
4 3 - (9x) 3 = 0
Poiché l'esponente è lo stesso:
9x = 4 → x = 9/4
Esercizio 2
Fattorizza l'espressione:
(x + y) 3 - (x - y) 3
Soluzione
Questa espressione è una differenza di cubi, se nella formula di factoring notiamo che:
a = x + y
b = x- y
Quindi il binomio viene costruito per primo:
a - b = x + y - (x- y) = 2y
E ora il trinomio:
a 2 + ab + b 2 = (x + y) 2 + (x + y) (xy) + (xy) 2
Si sviluppano prodotti notevoli:
Successivamente devi sostituire e ridurre termini simili:
a 2 + ab + b 2 = x 2 + 2xy + y 2 + x 2 - y 2 + x 2 - 2xy + y 2 = 3x 2 + y 2
Il factoring si traduce in:
(x + y) 3 - (x - y) 3 = 2y. (3x 2 + y 2 )
Riferimenti
- Baldor, A. 1974. Algebra. Editoriale Culturale Venezolana SA
- Fondazione CK-12. Somma e differenza di cubi. Estratto da: ck12.org.
- Khan Academy. Factoring delle differenze di cubi. Estratto da: es.khanacademy.org.
- La matematica è divertente avanzata. Differenza di due cubi. Estratto da: mathsisfun.com
- UNAM. Calcolare una differenza di cubi. Recupero da: dcb.fi-c.unam.mx.