- La derivata come pendenza della linea tangente a una curva
- La derivata come velocità istantanea di un oggetto in movimento
- Funzione algebrica
- Bypassare le regole
- Derivata di una costante
- Derivato di un potere
- Derivata di addizione e sottrazione
- Derivato da un prodotto
- Derivata di un quoziente
- Regola di derivazione
- Riferimenti
Le derivate algebriche consistono nello studio della derivata nel caso di funzioni algebriche. L'origine della nozione di derivato risale all'antica Grecia. Lo sviluppo di questa nozione è stato motivato dalla necessità di risolvere due importanti problemi, uno in fisica e l'altro in matematica.
In fisica, la derivata risolve il problema di determinare la velocità istantanea di un oggetto in movimento. In matematica, puoi trovare la linea tangente a una curva in un dato punto.
Sebbene ci siano davvero molti altri problemi che possono essere risolti usando la derivata, così come le sue generalizzazioni, i risultati che sono arrivati dopo l'introduzione del suo concetto.
I pionieri del calcolo differenziale sono Newton e Leibniz. Prima di dare la definizione formale, svilupperemo l'idea alla base, da un punto di vista matematico e fisico.
La derivata come pendenza della linea tangente a una curva
Supponiamo che il grafico di una funzione y = f (x) sia un grafo continuo (senza picchi o vertici o spazi vuoti) e sia A = (a, f (a)) un punto fisso su di esso. Vogliamo trovare l'equazione della retta tangente al grafico della funzione f nel punto A.
Prendiamo qualsiasi altro punto P = (x, f (x)) sul grafico, vicino al punto A, e disegniamo la linea secante che passa per A e P.Una linea secante è una linea che taglia il grafico di una curva di uno o più punti.
Per ottenere la tangente che vogliamo, dobbiamo solo calcolare la pendenza poiché abbiamo già un punto sulla linea: punto A.
Se spostiamo il punto P lungo il grafico e ci avviciniamo sempre di più al punto A, la linea secante menzionata in precedenza si avvicinerà alla linea tangente che vogliamo trovare. Prendendo il limite quando "P tende ad A", entrambe le linee coincideranno, quindi anche le loro pendenze.
La pendenza della linea secante è data da
Dire che P si avvicina ad A equivale a dire che "x" si avvicina ad "a". Pertanto, la pendenza della linea tangente al grafico di f nel punto A sarà uguale a:
L'espressione di cui sopra è denotata da f '(a), ed è definita come la derivata di una funzione f nel punto “a”. Quindi vediamo che analiticamente, la derivata di una funzione in un punto è un limite, ma geometricamente, è la pendenza della retta tangente al grafico della funzione nel punto.
Ora esamineremo questa nozione dal punto di vista della fisica. Si arriverebbe alla stessa espressione del limite precedente, anche se con un percorso diverso, ottenendo così l'unanimità della definizione.
La derivata come velocità istantanea di un oggetto in movimento
Diamo un'occhiata a un breve esempio di cosa significa velocità istantanea. Quando si dice, ad esempio, che un'auto per raggiungere una destinazione lo ha fatto con una velocità di 100 km orari, il che significa che in un'ora ha percorso 100 km.
Questo non significa necessariamente che durante l'intera ora l'auto sia stata sempre 100 km, il tachimetro dell'auto potrebbe in alcuni momenti segnare meno o più. Se avevi la necessità di fermarti a un semaforo, la tua velocità in quel momento era di 0 km. Tuttavia, dopo un'ora, il viaggio è stato di 100 km.
Questa è la cosiddetta velocità media ed è data dal quoziente tra la distanza percorsa e il tempo trascorso, come abbiamo appena visto. La velocità istantanea, invece, è quella che segna la lancetta del tachimetro di un'auto in un dato istante (tempo).
Vediamolo ora più in generale. Supponiamo che un oggetto si muova lungo una linea e che questo spostamento sia rappresentato dall'equazione s = f (t), dove la variabile t misura il tempo e la variabile s lo spostamento, tenendo conto del suo inizio in l'istante t = 0, in quel momento è anche zero, cioè f (0) = 0.
Questa funzione f (t) è nota come funzione di posizione.
Si cerca un'espressione per la velocità istantanea dell'oggetto in un istante fisso "a". A questa velocità lo indicheremo con V (a).
Sia un istante vicino all'istante "a". Nell'intervallo di tempo tra “a” e “t”, la variazione della posizione dell'oggetto è data da f (t) -f (a).
La velocità media in questo intervallo di tempo è:
Che è un'approssimazione della velocità istantanea V (a). Questa approssimazione sarà migliore quando t si avvicina ad "a". Così,
Notare che questa espressione è la stessa ottenuta nel caso precedente, ma da una prospettiva diversa. Questo è ciò che è noto come derivata di una funzione f in un punto "a" ed è denotato da f '(a), come indicato sopra.
Si noti che apportando la modifica h = xa, abbiamo che quando "x" tende a "a", "h" tende a 0 e il limite precedente viene trasformato (equivalentemente) in:
Entrambe le espressioni sono equivalenti, ma a volte è meglio usarne una invece dell'altra, a seconda dei casi.
La derivata di una funzione f in qualsiasi punto "x" appartenente al suo dominio viene quindi definita in modo più generale come
La notazione più comune per rappresentare la derivata di una funzione y = f (x) è quella che abbiamo appena visto (f 'o y'). Tuttavia, un'altra notazione ampiamente utilizzata è la notazione di Leibniz che è rappresentata come una delle seguenti espressioni:
Poiché la derivata è essenzialmente un limite, può o non può esistere, poiché i limiti non esistono sempre. Se esiste, si dice che la funzione in questione è differenziabile in un dato punto.
Funzione algebrica
Una funzione algebrica è una combinazione di polinomi mediante addizione, sottrazione, prodotti, quozienti, potenze e radicali.
Un polinomio è un'espressione della forma
P n = a n x n + a n-1 x n-1 + a n-2 x n-2 +… + a 2 x 2 + a 1 x + a 0
Dove n è un numero naturale e tutti gli a i , con i = 0,1, …, n, sono numeri razionali e n ≠ 0. In questo caso si dice che il grado di questo polinomio è n.
I seguenti sono esempi di funzioni algebriche:
Le funzioni esponenziali, logaritmiche e trigonometriche non sono incluse qui. Le regole di derivazione che vedremo in seguito sono valide per le funzioni in generale, ma ci limiteremo e le applicheremo nel caso di funzioni algebriche.
Bypassare le regole
Derivata di una costante
Dichiara che la derivata di una costante è zero. Cioè, se f (x) = c, allora f '(x) = 0. Ad esempio, la derivata della funzione costante 2 è uguale a 0.
Derivato di un potere
Se f (x) = x n , allora f '(x) = nx n-1 . Ad esempio, la derivata di x 3 è 3x 2 . Come conseguenza di ciò, otteniamo che la derivata della funzione identità f (x) = x è f '(x) = 1x 1-1 = x 0 = 1.
Un altro esempio è il seguente: sia f (x) = 1 / x 2 , quindi f (x) = x -2 ef '(x) = - 2x -2-1 = -2x -3 .
Questa proprietà è anche radici valide, poiché le radici sono poteri razionali e quanto sopra può essere applicato anche in quel caso. Ad esempio, la derivata di una radice quadrata è data da
Derivata di addizione e sottrazione
Se f e g sono funzioni differenziabili in x, allora anche la somma f + g è differenziabile e si verifica che (f + g) '(x) = f' (x) + g '(x).
Allo stesso modo, abbiamo che (fg) '(x) = f' (x) -g '(x). In altre parole, la derivata di una somma (sottrazione), è la somma (o sottrazione) delle derivate.
Esempio
Se h (x) = x 2 + x-1, allora
h '(x) = (x 2 ) + (x)' - (1) '= 2x + 1-0 = 2x + 1.
Derivato da un prodotto
Se f e g sono funzioni differenziabili in x, allora il prodotto fg è anche derivabile in x ed è vero
(fg) '(x) = f' (x) g (x) + f (x) g '(x).
Di conseguenza, ne consegue che se c è una costante e f è una funzione derivabile in x, allora cf è anche derivabile in x e (cf) '(x) = cf' (X).
Esempio
Se f (x) = 3x (x 2 +1), allora
f '(x) = (3x)' (x 2 +1) + (3x) (x 2 +1) '= 3 (x)' (x 2 +1) + 3x
= 3 (1) (x 2 +1) + 3x = 3 (x 2 +1) + 3x (2x) = 3x 2 + 3 + 6x 2
= 9x 2 +3.
Derivata di un quoziente
Se f e g sono differenziabili in x e g (x) ≠ 0, allora f / g è anche derivabile in x, ed è vero che
Esempio: se h (x) = x 3 / (x 2 -5x), allora
h '(x) = / (x 5 -5x) 2 = / (x 5 -5x) 2 .
Regola di derivazione
Questa regola permette di derivare la composizione delle funzioni. Afferma quanto segue: se y = f (u) è differenziabile in u, yu = g (x) è differenziabile in x, allora la funzione composta f (g (x)) è differenziabile in x, ed è vero che '= f '(g (x)) g' (x).
Cioè, la derivata di una funzione composta è il prodotto della derivata della funzione esterna (derivata esterna) e la derivata della funzione interna (derivata interna).
Esempio
Se f (x) = (x 4 -2x) 3 , allora
f '(x) = 3 (x 4 -2x) 2 (x 4 -2x)' = 3 (x 4 -2x) 2 (4x 3 -2).
Sono disponibili anche risultati per il calcolo della derivata dell'inversa di una funzione, nonché la generalizzazione a derivate di ordine superiore. Le applicazioni sono ampie. Tra questi spiccano la sua utilità nei problemi di ottimizzazione e le funzioni massime e minime.
Riferimenti
- Alarcon, S., González, M. e Quintana, H. (2008). Calcolo diferenziale. ITM.
- Cabrera, VM (1997). Calcolo 4000. Editoriale Progreso.
- Castaño, HF (2005). Matematica prima del calcolo. Università di Medellin.
- Eduardo, NA (2003). Introduzione al calcolo. Edizioni di soglia.
- Fuentes, A. (2016). MATEMATICA DI BASE. Un'introduzione al calcolo. Lulu.com.
- Purcell, EJ, Rigdon, SE e Varberg, DE (2007). Calcolo. Pearson Education.
- Saenz, J. (2005). Calcolo differenziale (seconda ed.). Barquisimeto: ipotenusa.
- Thomas, GB e Weir, MD (2006). Calcolo: diverse variabili. Pearson Education.