CURTOSI: DEFINIZIONE, TIPI, FORMULE, A COSA SERVE, ESEMPIO - DUDAS - 2026

La curtosi o curtosi è un parametro statistico utilizzato per caratterizzare la distribuzione di probabilità di una variabile casuale, indicante il grado di concentrazione dei valori attorno alla misura centrale. Questo è anche noto come "grado di picco".

Il termine deriva dal greco "kurtos" che significa arcuato, quindi la curtosi indica il grado di puntamento o appiattimento della distribuzione, come si vede nella figura seguente:

Figura 1. Diversi tipi di curtosi. Fonte: F. Zapata.

Quasi tutti i valori di una variabile casuale tendono a raggrupparsi attorno a un valore centrale come la media. Ma in alcune distribuzioni i valori sono più dispersi rispetto ad altre, il che si traduce in curve più piatte o più sottili.

Definizione

La curtosi è un valore numerico tipico di ciascuna distribuzione di frequenza, che, in base alla concentrazione dei valori attorno alla media, vengono classificati in tre gruppi:

- Leptokurtic: in cui i valori sono molto raggruppati attorno alla media, quindi la distribuzione è abbastanza appuntita e snella (figura 1, a sinistra).

- Mesocúrtic: ha una moderata concentrazione di valori intorno alla media (figura 1 al centro).

- Platicúrtica: questa distribuzione ha una forma più ampia, poiché i valori tendono ad essere più dispersi (figura 1 a destra).

Formule ed equazioni

La curtosi può avere qualsiasi valore, senza limitazioni. Il suo calcolo viene eseguito a seconda del modo in cui i dati vengono forniti. La notazione usata in ogni caso è la seguente:

-Coefficiente di curtosi: g ₂

-Media aritmetica: X o x con barra

-Un valore i-esimo: x _i

-Deviazione standard: σ

-Il numero di dati: N

-La frequenza del valore i-esimo: f _i

-Marca classe: mx _i

Con questa notazione, presentiamo alcune delle formule più utilizzate per trovare la curtosi:

- Curtosi secondo la presentazione dei dati

Dati non raggruppati o raggruppati in frequenze

Dati raggruppati in intervalli

Curtosi in eccesso

Chiamato anche coefficiente di targeting di Fisher o misura di Fisher, viene utilizzato per confrontare la distribuzione in esame con la distribuzione normale.

Quando la curtosi in eccesso è 0, siamo in presenza di una distribuzione normale o campana gaussiana. In questo modo, ogni volta che viene calcolata la curtosi in eccesso di una distribuzione, la stiamo effettivamente confrontando con la distribuzione normale.

Sia per i dati non raggruppati che per quelli raggruppati, il coefficiente di puntamento di Fisher, indicato con K, è:

K = g ₂ - 3

Ora, si può dimostrare che la curtosi della distribuzione normale è 3, quindi se il coefficiente di puntamento di Fisher è 0 o vicino a 0 e c'è una distribuzione mesocruttica. Se K> 0 la distribuzione è leptokurtic e se K <0 è platicúrtic.

A cosa serve la curtosi?

La curtosi è una misura della variabilità utilizzata per caratterizzare la morfologia di una distribuzione. In questo modo si possono confrontare distribuzioni simmetriche con la stessa media e la stessa dispersione (data dalla deviazione standard).

Disporre di misure di variabilità assicura che le medie siano affidabili e aiuta a controllare le variazioni nella distribuzione. Ad esempio, diamo un'occhiata a queste due situazioni.

Gli stipendi di 3 dipartimenti

Supponiamo che il grafico seguente mostri le distribuzioni salariali di 3 dipartimenti della stessa azienda:

Figura 2. Tre distribuzioni con differenti curtosi illustrano situazioni pratiche. (Preparato da Fanny Zapata)

La curva A è la più sottile di tutte e dalla sua forma si può dedurre che la maggior parte degli stipendi di quel dipartimento sono molto vicini alla media, quindi la maggior parte dei dipendenti riceve un compenso simile.

Da parte sua, nel reparto B, la curva dei salari segue una distribuzione normale, poiché la curva è mesocurtica, in cui assumiamo che i salari siano stati distribuiti casualmente.

E infine abbiamo la curva C che è molto piatta, segno che in questo reparto la fascia salariale è molto più ampia che negli altri.

I risultati di un esame

Supponiamo ora che le tre curve nella Figura 2 rappresentino i risultati di un esame applicato a tre gruppi di studenti della stessa materia.

Il gruppo i cui rating sono rappresentati dalla curva A leptokurtic è abbastanza omogeneo, la maggioranza ha ottenuto un rating medio o vicino.

È anche possibile che il risultato sia dovuto al fatto che le domande del test hanno più o meno lo stesso grado di difficoltà.

D'altra parte, i risultati del gruppo C indicano una maggiore eterogeneità nel gruppo, che probabilmente contiene studenti medi, alcuni studenti più avanzati e sicuramente gli stessi meno attenti.

Oppure potrebbe significare che le domande del test avevano gradi di difficoltà molto diversi.

La curva B è mesocutica, indicativa che i risultati del test hanno seguito una distribuzione normale. Questo di solito è il caso più frequente.

Esempio funzionante di curtosi

Trova il coefficiente di punteggio di Fisher per i seguenti voti, ottenuti in un esame di fisica a un gruppo di studenti, con una scala da 1 a 10:

Soluzione

La seguente espressione verrà utilizzata per i dati non raggruppati, forniti nelle sezioni precedenti:

K = g ₂ - 3

Questo valore ti permette di conoscere il tipo di distribuzione.

Per calcolare g ₂ è conveniente farlo in modo ordinato, passo dopo passo, poiché devono essere risolte diverse operazioni aritmetiche.

Passo 1

Innanzitutto, viene calcolata la media dei voti. Ci sono N = 11 dati.

Passo 2

Viene trovata la deviazione standard, per la quale viene utilizzata questa equazione:

σ = 1,992

Oppure puoi anche costruire una tabella, che è richiesta anche per il passaggio successivo e in cui ogni termine delle somme che sarà necessario è scritto, iniziando con (x _i - X), quindi (x _i - X) ² e poi (x _i - X) ⁴ :

Passaggio 3

Eseguire la somma indicata al numeratore della formula per g ₂ . Per questo, viene utilizzato il risultato della colonna di destra della tabella precedente:

∑ (x _i - X) ⁴ = 290,15

Così:

g ₂ = (1/11) x 290,15 /1,992 ⁴ = 1,675

Il coefficiente di puntamento di Fisher è:

K = g ₂ - 3 = 1,675 - 3 = -1,325

Ciò che interessa è il segno del risultato, che, essendo negativo, corrisponde ad una distribuzione platicurale, che può essere interpretata come si è fatto nell'esempio precedente: forse è un corso eterogeneo con studenti di diverso grado di interesse oppure le domande d'esame sono state di diversi livelli di difficoltà.

L'uso di un foglio di calcolo come Excel facilita notevolmente la risoluzione di questi tipi di problemi e offre anche la possibilità di rappresentare graficamente la distribuzione.

Riferimenti

1. Levin, R. 1988. Statistics for Administrators. 2 °. Edizione. Prentice Hall.
2. Marco, F. Curtosis. Estratto da: economipedia.com.
3. Oliva, J. Asymmetry and kurtosis. Recupero da: statisticaucv.files.wordpress.com.
4. Spurr, W. 1982. Processo decisionale nella gestione. Limusa.
5. Wikipedia. Curtosi. Estratto da: en.wikipedia.org.