- Soluzioni di un'equazione quadratica
- uno.-
- 2.- In numeri complessi
- Come si trovano le soluzioni di un'equazione quadratica?
- Esempi:
- Riferimenti
Un'equazione quadratica o un'equazione quadratica può avere zero, una o due soluzioni reali, a seconda dei coefficienti che compaiono in detta equazione.
Se lavori su numeri complessi, puoi dire che ogni equazione quadratica ha due soluzioni.
Per cominciare, un'equazione quadratica è un'equazione della forma ax² + bx + c = 0, dove a, bec sono numeri reali e x è una variabile.
Si dice che x1 è una soluzione della precedente equazione quadratica se sostituire x con x1 soddisfa l'equazione, cioè se a (x1) ² + b (x1) + c = 0.
Se, ad esempio, abbiamo l'equazione x²-4x + 4 = 0, allora x1 = 2 è una soluzione poiché (2) ²-4 (2) + 4 = 4-8 + 4 = 0.
Al contrario, se sostituiamo x2 = 0 otteniamo (0) ²-4 (0) + 4 = 4 e poiché 4 ≠ 0 allora x2 = 0 non è una soluzione dell'equazione quadratica.
Soluzioni di un'equazione quadratica
Il numero di soluzioni di un'equazione quadratica può essere separato in due casi che sono:
uno.-
Quando si lavora con numeri reali, le equazioni quadratiche possono avere:
-Soluzioni zero: ovvero, non esiste un numero reale che soddisfi l'equazione quadratica. Ad esempio, l'equazione data l'equazione x² + 1 = 0, non esiste un numero così reale che soddisfi detta equazione, poiché sia x² è maggiore o uguale a zero e 1 è strettamente maggiore di zero, quindi la loro somma sarà maggiore rigoroso di zero.
-Una soluzione ripetuta: esiste un unico valore reale che soddisfa l'equazione quadratica. Ad esempio, l'unica soluzione all'equazione x²-4x + 4 = 0 è x1 = 2.
-Due diverse soluzioni: ci sono due valori che soddisfano l'equazione quadratica. Ad esempio, x² + x-2 = 0 ha due diverse soluzioni che sono x1 = 1 e x2 = -2.
2.- In numeri complessi
Quando si lavora con numeri complessi, le equazioni quadratiche hanno sempre due soluzioni che sono z1 e z2 dove z2 è il coniugato di z1. Possono anche essere classificati in:
-Complessi: le soluzioni sono della forma z = p ± qi, dove peq sono numeri reali. Questo caso corrisponde al primo caso nell'elenco precedente.
-Complessi puri: è quando la parte reale della soluzione è uguale a zero, cioè la soluzione ha la forma z = ± qi, dove q è un numero reale. Questo caso corrisponde al primo caso nell'elenco precedente.
-Complessi con una parte immaginaria uguale a zero: è quando la parte complessa della soluzione è uguale a zero, cioè la soluzione è un numero reale. Questo caso corrisponde agli ultimi due casi nell'elenco precedente.
Come si trovano le soluzioni di un'equazione quadratica?
Per calcolare le soluzioni di un'equazione quadratica, viene utilizzata una formula nota come "il risolvente", che dice che le soluzioni di un'equazione ax² + bx + c = 0 sono date dall'espressione nell'immagine seguente:
La quantità che appare all'interno della radice quadrata è chiamata discriminante dell'equazione quadratica ed è indicata dalla lettera "d".
L'equazione quadratica avrà:
-Due soluzioni reali se, e solo se, d> 0.
-Una soluzione reale ripetuta se, e solo se, d = 0.
-Soluzioni reali zero (o due soluzioni complesse) se, e solo se, d <0.
Esempi:
-Le soluzioni dell'equazione x² + x-2 = 0 sono date da:
-L'equazione x²-4x + 4 = 0 ha una soluzione ripetuta che è data da:
-Le soluzioni dell'equazione x² + 1 = 0 sono date da:
Come si può vedere in questo ultimo esempio, x2 è il coniugato di x1.
Riferimenti
- Fuentes, A. (2016). MATEMATICA DI BASE. Un'introduzione al calcolo. Lulu.com.
- Garo, M. (2014). Matematica: equazioni quadratiche.: Come risolvere un'equazione quadratica. Marilù Garo.
- Haeussler, EF e Paul, RS (2003). Matematica per la gestione e l'economia. Pearson Education.
- Jiménez, J., Rofríguez, M. e Estrada, R. (2005). Matematica 1 SET. Soglia.
- Preciado, CT (2005). Corso di matematica 3 °. Editoriale Progreso.
- Rock, NM (2006). Algebra I è facile! Così facile. Team Rock Press.
- Sullivan, J. (2006). Algebra e trigonometria. Pearson Education.