Per sapere qual è la radice quadrata di 3 , è importante conoscere la definizione della radice quadrata di un numero.
Dato un numero positivo "a", la radice quadrata di "a", indicata con √a, è un numero positivo "b" tale che quando "b" viene moltiplicato per esso, il risultato è "a".
La definizione matematica dice: √a = b se, e solo se, b² = b * b = a.
Pertanto, per sapere qual è la radice quadrata di 3, cioè il valore di √3, è necessario trovare un numero "b" tale che b² = b * b = √3.
Inoltre, √3 è un numero irrazionale, quindi è costituito da un numero infinito non periodico di cifre decimali. Per questo motivo, è difficile calcolare manualmente la radice quadrata di 3.
Radice quadrata di 3
Se usi una calcolatrice puoi vedere che la radice quadrata di 3 è 1,73205080756887 …
Ora, potresti provare manualmente ad approssimare questo numero come segue:
-1 * 1 = 1 e 2 * 2 = 4, questo dice che la radice quadrata di 3 è un numero compreso tra 1 e 2.
-1,7 * 1,7 = 2,89 e 1,8 * 1,8 = 3,24, quindi la prima cifra decimale è 7.
-1,73 * 1,73 = 2,99 e 1,74 * 1,74 = 3,02, quindi la seconda cifra decimale è 3.
-1,732 * 1,732 = 2,99 e 1,733 * 1,733 = 3,003, quindi la terza cifra decimale è 2.
E così via puoi continuare. Questo è un modo manuale per calcolare la radice quadrata di 3.
Esistono anche altre tecniche molto più avanzate, come il metodo Newton-Raphson, che è un metodo numerico per calcolare le approssimazioni.
Dove possiamo trovare il numero √3?
A causa della complessità del numero, si potrebbe pensare che non compaia negli oggetti di uso quotidiano, ma questo è falso. Se abbiamo un cubo (scatola quadrata), tale che la lunghezza dei suoi lati sia 1, allora le diagonali del cubo avranno una misura di √3.
Per verificarlo si usa il Teorema di Pitagora, che dice: dato un triangolo rettangolo, l'ipotenusa al quadrato è uguale alla somma dei quadrati delle gambe (c² = a² + b²).
Avendo un cubo con lato 1, abbiamo che la diagonale del quadrato della sua base è uguale alla somma dei quadrati delle gambe, cioè c² = 1² + 1² = 2, quindi la diagonale della base misura √2.
Ora, per calcolare la diagonale del cubo, si può osservare la figura seguente.
Il nuovo triangolo rettangolo ha gambe di lunghezza 1 e √2, quindi, quando si usa il teorema di Pitagora per calcolare la lunghezza della sua diagonale, si ottiene: C² = 1² + (√2) ² = 1 + 2 = 3, cioè diciamo, C = √3.
Pertanto, la lunghezza della diagonale di un cubo con lato 1 è uguale a √3.
√3 un numero irrazionale
All'inizio si diceva che √3 è un numero irrazionale. Per verificarlo, per assurdità si assume che si tratti di un numero razionale, con il quale esistono due numeri "a" e "b", primi relativi, tali che a / b = √3.
Al quadrato dell'ultima uguaglianza e risolvendo per "a²", si ottiene la seguente equazione: a² = 3 * b². Questo dice che "a²" è un multiplo di 3, il che porta alla conclusione che "a" è un multiplo di 3.
Poiché "a" è un multiplo di 3, esiste un numero intero "k" tale che a = 3 * k. Pertanto, sostituendo nella seconda equazione, otteniamo: (3 * k) ² = 9 * k² = 3 * b², che è uguale a b² = 3 * k².
Come prima, quest'ultima uguaglianza porta alla conclusione che "b" è un multiplo di 3.
In conclusione, "a" e "b" sono entrambi multipli di 3, il che è una contraddizione, poiché originariamente si presumeva che fossero numeri primi relativi.
Pertanto, √3 è un numero irrazionale.
Riferimenti
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