COORDINATE SFERICHE: ESEMPI ED ESERCIZI RISOLTI - MATEMATICA - 2024

Le coordinate sferiche sono un insieme di punti di localizzazione nello spazio tridimensionale costituito da una coordinata radiale e due coordinate angolari chiamate coordinate polari e coordinate azimutali.

La figura 1, che vediamo di seguito, mostra le coordinate sferiche (r, θ, φ) di un punto M. Queste coordinate sono riferite ad un sistema ortogonale di assi cartesiani X, Y, Z di origine O.

Figura 1. Coordinate sferiche (r, θ, φ) di un punto M. (wikimedia commons)

In questo caso, la coordinata r del punto M è la distanza da quel punto all'origine O. La coordinata polare θ rappresenta l'angolo tra il semiasse positivo Z e il vettore del raggio OM. Mentre la coordinata azimutale φ è l'angolo tra il semiasse positivo X e il vettore del raggio OM ', dove M' è la proiezione ortogonale di M sul piano XY.

La coordinata radiale r accetta solo valori positivi, ma se un punto si trova all'origine allora r = 0. La coordinata polare θ assume come valore minimo 0º per i punti situati sul semiasse positivo Z e un valore massimo 180º per i punti si trova sul semiasse negativo Z. Infine, la coordinata azimutale φ assume come valore minimo 0º e un'altezza massima di 360º.

0 ≤ r <∞

0 ≤ θ ≤ 180º

0 ≤ φ <360º

Cambio di coordinate

Successivamente verranno fornite le formule che permettono di ottenere le coordinate cartesiane (x, y, z) di un punto M assumendo che siano note le coordinate sferiche del punto stesso (r, θ, φ):

x = r Sen (θ) Cos (φ)

y = r Sen (θ) Sen (φ)

z = r Cos (θ)

Allo stesso modo, è utile trovare le relazioni per andare dalle coordinate cartesiane (x, y, z) di un dato punto alle coordinate sferiche di detto punto:

r = √ (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2)

θ = Arctan (√ (x ^ 2 + y ^ 2) / z)

φ = Arctan (y / x)

Base vettoriale in coordinate sferiche

Dalle coordinate sferiche è definita una base ortonormale di vettori di base, che sono indicati con Ur , Uθ , Uφ . Nella Figura 1 sono mostrati questi tre vettori unitari, che hanno le seguenti caratteristiche:

- Ur è il vettore unitario tangente alla linea radiale θ = ctte e φ = ctte;

- Uθ è il vettore unitario tangente all'arco φ = ctte er = ctte;

- Uφ è il vettore unitario tangente all'arco r = ctte e θ = ctte.

Elementi di linea e volume in coordinate sferiche

Il vettore di posizione di un punto nello spazio in coordinate sferiche è scritto in questo modo:

r = r Ur

Ma una variazione o spostamento infinitesimale di un punto nello spazio tridimensionale, in queste coordinate, è espresso dalla seguente relazione vettoriale:

d r = dr Ur + r dθ Uθ + r Sen (θ) d φ Uφ

Infine, un volume infinitesimale dV in coordinate sferiche è scritto così:

dV = r ^ 2 Sen (θ) dr dθ dφ

Queste relazioni sono molto utili per il calcolo degli integrali di linea e di volume in situazioni fisiche che hanno simmetria sferica.

Relazione con coordinate geografiche

Per coordinate geografiche si intendono quelle che servono a localizzare i luoghi sulla superficie terrestre. Questo sistema utilizza le coordinate di latitudine e longitudine per individuare la posizione sulla superficie della Terra.

Nel sistema di coordinate geografiche, si presume che la superficie terrestre sia sferica con raggio Rt, anche se è noto che sia appiattita ai poli, e si considera un insieme di linee immaginarie chiamate paralleli e meridiani.

Figura 2. Longitudine α e latitudine β di un osservatore sulla superficie terrestre.

La latitudine β è un angolo formato da un raggio che parte dal centro della Terra fino al punto che si desidera posizionare. Viene misurata dal piano equatoriale, come mostrato in figura 2. D'altra parte, la longitudine α è l'angolo che il meridiano del punto che si sta localizzando forma rispetto al meridiano zero (noto come meridiano di Greenwich).

La latitudine può essere nord o sud, a seconda che il luogo che stai localizzando si trovi nell'emisfero settentrionale o nell'emisfero meridionale. Allo stesso modo, la longitudine può essere ovest o est a seconda che la posizione sia ovest o est del meridiano zero.

Formule per passare da geografico a sferico

Per ottenere queste formule la prima cosa è stabilire un sistema di coordinate. Il piano XY viene scelto in modo che coincida con il piano equatoriale, essendo il semiasse X positivo quello che va dal centro della Terra e passa per il meridiano zero. A sua volta, l'asse Y passa per il meridiano di 90º E. La superficie terrestre ha un raggio Rt.

Con questo sistema di coordinate le trasformazioni da geografiche a sferiche hanno questo aspetto:

αEβN → (Rt, θ = 90º-β, φ = α)

αOβN → (Rt, θ = 90º-β, φ = 360º-α)

αEβS → (Rt, θ = 90º + β, φ = α)

αOβS → (Rt, θ = 90º + β, φ = 360º-α)

Esempi

Esempio 1

Le coordinate geografiche di Palma di Maiorca (Spagna) sono:

Longitudine Est 38,847º e Latitudine Nord 39,570º. Per determinare le coordinate sferiche corrispondenti a Palma di Maiorca, viene applicata la prima delle formule delle formule nella sezione precedente:

38.847ºE39.570ºN → (r = 6371 km, θ = 90º-39.570º, φ = 38.847º)

Quindi le coordinate sferiche sono:

Palma di Maiorca: (r = 6371 km, θ = 50,43º, φ = 38,85º)

Nella risposta precedente è stato preso r uguale al raggio medio della Terra.

Esempio 2

Sapendo che le isole Malvinas (Falkland) hanno coordinate geografiche di 59º O 51,75º S, determina le coordinate polari corrispondenti. Ricorda che l'asse X va dal centro della Terra al meridiano 0º e sul piano equatoriale; l'asse Y anche nel piano equatoriale e passante per il meridiano 90º Ovest; infine l'asse Z sull'asse di rotazione terrestre in direzione Sud-Nord.

Per trovare quindi le coordinate sferiche corrispondenti utilizziamo le formule presentate nella sezione precedente:

59ºO 51,75ºS → (r = 6371 km, θ = 90º + 51,75º, φ = 360º-59º) cioè

Malvinas: (r = 6371 km, θ = 141,75º, φ = 301º)

esercizi

Esercizio 1

Trova le coordinate cartesiane di Palma di Maiorca nel sistema di riferimento cartesiano XYZ mostrato nella figura 2.

Soluzione: In precedenza, nell'esempio 1, le coordinate sferiche erano ottenute a partire dalle coordinate geografiche di Palma di Maiorca. Quindi le formule presentate sopra possono essere utilizzate per passare da sferiche a cartesiane:

x = 6371 km Sen (50,43º) Cos (38,85º)

y = 6371 km Sen (50,43º) Sen (38,85º)

z = 6371 km Cos (50,43º)

Eseguendo i calcoli corrispondenti abbiamo:

Palma di Maiorca: (x = 3825 km, y = 3081 km, z = 4059)

Esercizio 2

Trova le coordinate cartesiane delle Isole Falkland nel sistema di riferimento cartesiano XYZ mostrato nella figura 2.

Soluzione: In precedenza, nell'esempio 2, le coordinate sferiche erano ottenute a partire dalle coordinate geografiche delle Isole Malvinas. Quindi le formule presentate sopra possono essere utilizzate per passare da sferiche a cartesiane:

x = 6371 km Sen (141,75º) Cos (301º)

y = 6371 km Sen (141,75º) Sen (301º)

z = 6371 km Cos (141,75º)

Eseguendo i calcoli corrispondenti, otteniamo:

Isole Falkland: (x = 2031 km, y = -3381 km, z = -5003)

Riferimenti

1. Arfken G e Weber H. (2012). Metodi matematici per fisici. Una guida completa. 7a edizione. Academic Press. ISBN 978-0-12-384654-9
2. Calcolo cc. Risolti problemi di coordinate cilindriche e sferiche. Estratto da: calculo.cc
3. Laboratorio di astronomia. Latitudine e longitudine. Estratto da: tarifamates.blogspot.com/
4. Weisstein, Eric W. "Coordinate sferiche". Da MathWorld-A Wolfram Web. Estratto da: mathworld.wolfram.com
5. wikipedia. Sistema di coordinate sferiche. Estratto da: en.wikipedia.com
6. wikipedia. Campi vettoriali in coordinate cilindriche e sferiche. Estratto da: en.wikipedia.com