- Proprietà inversa
- L'integrale indefinito
- Altri significati della costante di integrazione
- Come viene calcolata la costante di integrazione?
- Esempi
- Esempio 1
- Esempio 2
- Esempio 3
- Esercizi proposti
- Esercizio 1
- Esercizio 2
- Esercizio 3
- Esercizio 4
- Riferimenti
La costante di integrazione è un valore aggiunto al calcolo di antiderivative o integrali, serve a rappresentare le soluzioni che compongono la primitiva di una funzione. Esprime un'ambiguità intrinseca in cui ogni funzione ha un numero infinito di primitive.
Ad esempio, se prendiamo la funzione: f (x) = 2x + 1 e otteniamo la sua antiderivativa:
∫ (2x + 1) dx = x 2 + x + C ; Dove C è la costante di integrazione e rappresenta graficamente la traslazione verticale tra le infinite possibilità della primitiva. È corretto dire che (x 2 + x) è una delle primitive di f (x).
Fonte: autore
Allo stesso modo possiamo definire (x 2 + x + C ) come la primitiva di f (x).
Proprietà inversa
Si può notare che derivando l'espressione (x 2 + x) si ottiene la funzione f (x) = 2x + 1. Ciò è dovuto alla proprietà inversa esistente tra la derivazione e l'integrazione delle funzioni. Questa proprietà permette di ottenere formule di integrazione a partire dalla differenziazione. Che permette la verifica degli integrali tramite le stesse derivate.
Fonte: autore
Tuttavia (x 2 + x) non è l'unica funzione la cui derivata è uguale a (2x + 1).
- d (x 2 + x) / dx = 2x + 1
- d (x 2 + x + 1) / dx = 2x + 1
- d (x 2 + x + 2) / dx = 2x + 1
- d (x 2 + x + 3) / dx = 2x + 1
- d (x 2 + x + C ) / dx = 2x + 1
Dove 1, 2, 3 e 4 rappresentano particolari primitive di f (x) = 2x + 1. Mentre 5 rappresenta l'integrale indefinito o primitivo di f (x) = 2x + 1.
Fonte: autore
Le primitive di una funzione si ottengono attraverso il processo di antiderivazione o integrale. Dove F sarà una primitiva di f se quanto segue è vero
- y = ∫ f (x) dx = F (x) + C; C = costante di integrazione
- F '(x) = f (x)
Si può vedere che una funzione ha un'unica derivata, a differenza delle sue infinite primitive risultanti dall'integrazione.
L'integrale indefinito
∫ f (x) dx = F (x) + C
Corrisponde a una famiglia di curve con lo stesso modello, che sperimentano incongruenze nel valore delle immagini di ciascun punto (x, y). Ogni funzione che soddisfa questo modello sarà una primitiva individuale e l'insieme di tutte le funzioni è noto come integrale indefinito.
Il valore della costante di integrazione sarà quello che differenzia ogni funzione nella pratica.
La costante di integrazione suggerisce uno spostamento verticale in tutti i grafici che rappresentano le primitive di una funzione. Dove si osserva il parallelismo tra di loro e il fatto che C è il valore dello spostamento.
Secondo le pratiche comuni, la costante di integrazione è indicata dalla lettera "C" dopo un addendo, sebbene in pratica sia indifferente se la costante venga aggiunta o sottratta. Il suo valore reale può essere trovato in vari modi in diverse condizioni iniziali .
Altri significati della costante di integrazione
Si è già discusso di come la costante di integrazione venga applicata nel ramo del calcolo integrale ; Rappresentare una famiglia di curve che definiscono l'integrale indefinito. Ma molte altre scienze e branche hanno assegnato valori molto interessanti e pratici della costante di integrazione, che hanno facilitato lo sviluppo di molteplici studi.
In fisica la costante di integrazione può assumere più valori a seconda della natura dei dati. Un esempio molto comune è conoscere la funzione V (t) che rappresenta la velocità di una particella rispetto al tempo t. È noto che calcolando una primitiva di V ( t) si ottiene la funzione R (t) che rappresenta la posizione della particella rispetto al tempo.
La costante di integrazione rappresenterà il valore della posizione iniziale, cioè al tempo t = 0.
Allo stesso modo, se si conosce la funzione A (t) che rappresenta l' accelerazione della particella rispetto al tempo. La primitiva di A (t) risulterà nella funzione V (t), dove la costante di integrazione sarà il valore della velocità iniziale V 0 .
In economia , ottenendo per integrazione la primitiva di una funzione di costo. La costante di integrazione rappresenterà i costi fissi. E tante altre applicazioni che meritano il calcolo differenziale e integrale.
Come viene calcolata la costante di integrazione?
Per calcolare la costante di integrazione sarà sempre necessario conoscere le condizioni iniziali . Che hanno il compito di definire quale delle possibili primitive è quella corrispondente.
In molte applicazioni viene trattata come una variabile indipendente al tempo (t), dove la costante C assume i valori che definiscono le condizioni iniziali del caso particolare.
Se prendiamo l'esempio iniziale: ∫ (2x + 1) dx = x 2 + x + C
Una condizione iniziale valida può essere quella di condizionare che il grafico passi per una coordinata specifica. Ad esempio, sappiamo che la primitiva (x 2 + x + C) passa per il punto (1, 2)
F (x) = x 2 + x + C; questa è la soluzione generale
F (1) = 2
Sostituiamo la soluzione generale in questa uguaglianza
F (1) = (1) 2 + (1) + C = 2
Da dove segue facilmente che C = 0
In questo modo la primitiva corrispondente per questo caso è F (x) = x 2 + x
Esistono diversi tipi di esercizi numerici che funzionano con costanti di integrazione . In effetti, il calcolo differenziale e integrale non smette di essere applicato nelle indagini attuali. A diversi livelli accademici possono essere trovati; dal calcolo iniziale, attraverso la fisica, la chimica, la biologia, l'economia, tra gli altri.
Viene apprezzato anche nello studio delle equazioni differenziali , dove la costante di integrazione può assumere valori e soluzioni differenti, questo per via delle molteplici derivazioni ed integrazioni che si effettuano in questa materia.
Esempi
Esempio 1
- Un cannone situato a 30 metri di altezza spara un proiettile verticalmente verso l'alto. La velocità iniziale del proiettile è nota essere di 25 m / s. Decidere:
- La funzione che definisce la posizione del proiettile rispetto al tempo.
- Il tempo di volo o istante di tempo in cui la particella colpisce il suolo.
È noto che in un moto rettilineo uniformemente variato l'accelerazione è un valore costante. Questo è il caso del lancio del proiettile, dove l'accelerazione sarà la gravità
g = - 10 m / s 2
È anche noto che l'accelerazione è la derivata seconda della posizione, che indica una doppia integrazione nella risoluzione dell'esercizio, ottenendo così due costanti di integrazione.
A (t) = -10
V (t) = ∫A (t) dt = ∫ (-10t) dt = -10t + C 1
Le condizioni iniziali dell'esercizio indicano che la velocità iniziale è V 0 = 25 m / s. Questa è la velocità nell'istante di tempo t = 0. In questo modo si accerta che:
V (0) = 25 = -10 (0) + C 1 e C 1 = 25
Con la funzione di velocità definita
V (t) = -10t + 25; La somiglianza può essere osservata con la formula MRUV (V f = V 0 + axt)
In maniera omologa si procede ad integrare la funzione velocità per ottenere l'espressione che definisce la posizione:
R (t) = ∫V (t) dt = ∫ (-10t + 25) dt = -5t 2 + 25t + C 2
R (t) = -5t 2 + 25t + C 2 (posizione primitiva)
La posizione iniziale R (0) = 30 m è nota. Quindi viene calcolata la particolare primitiva del proiettile.
R (0) = 30m = -5 (0) 2 + 25 (0) + C 2 . Dove C 2 = 30
Esempio 2
- Trova la primitiva f (x) che soddisfa le condizioni iniziali:
- f '' (x) = 4; f '(2) = 2; f (0) = 7
Con l'informazione della derivata seconda f '' (x) = 4 inizia il processo di antiderivazione
f '(x) = ∫f' '(x) dx
∫4 dx = 4x + C 1
Quindi, conoscendo la condizione f '(2) = 2, procediamo:
4 (2) + C 1 = 2
C 1 = -6 ef '(x) = 4x - 8
Procediamo allo stesso modo per la seconda costante di integrazione
f (x) = ∫f '(x) dx
∫ (4x - 8) dx = 2x 2 - 8x + C 2
La condizione iniziale f (0) = 7 è nota e procediamo:
2 (0) 2 - 8 (0) + C 2 = 7
C 2 = 7 ef (x) = 2x 2 - 8x + 7
- f '' (x) = x 2 ; f '(0) = 6; f (0) = 3
In modo simile al problema precedente, definiamo le derivate prime e la funzione originale dalle condizioni iniziali.
f '(x) = ∫f' '(x) dx
∫ (x 2 ) dx = (x 3 /3) + C 1
Con la condizione f '(0) = 6 procediamo:
(0 3/3 ) + C 1 = 6; Dove C 1 = 6 e f '(x) = (x 3 /3) + 6
Poi la seconda costante di integrazione
f (x) = ∫f '(x) dx
∫ dx = (x 4 /12) + 6x + C 2
La condizione iniziale f (0) = 3 è nota e procediamo:
+ 6 (0) + C 2 = 3; Dove C 2 = 3
Così otteniamo il particolare primitivo
f (x) = (x 4 /12) + 6x + 3
Esempio 3
- Definisci le funzioni primitive date le derivate e un punto sul grafico:
- dy / dx = 2x - 2 che passa per il punto (3, 2)
È importante ricordare che le derivate si riferiscono alla pendenza della retta tangente alla curva in un dato punto. Dove non è corretto supporre che il grafico della derivata tocchi il punto indicato, poiché questo appartiene al grafico della funzione primitiva.
In questo modo esprimiamo l'equazione differenziale come segue:
∫dy = ∫ (2x - 2) dx
Applicare la condizione iniziale:
2 = (3) 2 - 2 (3) + C
C = -1
Si ottiene: f (x) = x 2 - 2x - 1
- dy / dx = 3x 2 - 1 che passa per il punto (0, 2)
Esprimiamo l'equazione differenziale come segue:
Applicare la condizione iniziale:
2 = (0) 2 - 2 (0) + C
C = 2
Otteniamo: f (x) = x 3 - x + 2
Esercizi proposti
Esercizio 1
- Trova la primitiva f (x) che soddisfa le condizioni iniziali:
- f '' (x) = x; f '(3) = 1; f (2) = 5
- f '' (x) = x + 1; f '(2) = 2; f (0) = 1
- f '' (x) = 1; f '(2) = 3; f (1) = 10
- f '' (x) = -x; f '(5) = 1; f (1) = -8
Esercizio 2
- Un pallone che sale a una velocità di 16 piedi / s fa cadere un sacco di sabbia da un'altezza di 64 piedi sopra il livello del suolo.
- Definisci il tempo di volo
- Quale sarà il vettore V f quando toccherà il suolo?
Esercizio 3
- La figura mostra il grafico del tempo di accelerazione di un'auto che si muove nella direzione positiva dell'asse x. L'auto viaggiava a una velocità costante di 54 km / h quando il guidatore ha frenato per 10 secondi. Determinare:
- L'accelerazione iniziale dell'auto
- La velocità dell'auto at = 5s
- La cilindrata dell'auto durante la frenata
Fonte: autore
Esercizio 4
- Definisci le funzioni primitive date le derivate e un punto sul grafico:
- dy / dx = x che passa per il punto (-1, 4)
- dy / dx = -x 2 + 1 che passa per il punto (0, 0)
- dy / dx = -x + 1 che passa per il punto (-2, 2)
Riferimenti
- Calcolo integrale. Integrale indefinito e metodi di integrazione. Wilson, Velásquez Bastidas. Università Magdalena 2014
- Stewart, J. (2001). Calcolo di una variabile. I primi trascendentali. Messico: Thomson Learning.
- Jiménez, R. (2011). Matematica VI. Calcolo integrale. Messico: Pearson Education.
- Fisica I. Mc Graw hill