SET INFINITO: PROPRIETÀ, ESEMPI - MATEMATICA - 2024

Per insieme infinito si intende quell'insieme in cui il numero dei suoi elementi è innumerevole. Cioè, non importa quanto sia grande il numero dei suoi elementi, è sempre possibile trovarne di più.

L'esempio più comune è l'insieme infinito di numeri naturali N . Non importa quanto sia grande il numero, dal momento che puoi sempre ottenerne uno più grande in un processo che non ha fine:

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ………………, 41, 42, 43, ………………………………………., 100, 101, ………………………, 126, 127, 128, ………………… ……………………}

Figura 1. Simbolo dell'infinito. (Pixabay)

L'insieme delle stelle nell'universo è sicuramente immenso, ma non si sa con certezza se sia finito o infinito. In contrasto con il numero di pianeti nel sistema solare che è noto per essere un insieme finito.

Proprietà dell'insieme infinito

Tra le proprietà degli insiemi infiniti possiamo segnalare quanto segue:

1- L'unione di due insiemi infiniti dà origine a un nuovo insieme infinito.

2- L'unione di un insieme finito con uno infinito dà origine a un nuovo insieme infinito.

3- Se il sottoinsieme di un dato insieme è infinito, anche l'insieme originale è infinito. L'affermazione reciproca non è vera.

Non è possibile trovare un numero naturale in grado di esprimere la cardinalità o il numero di elementi di un insieme infinito. Tuttavia, il matematico tedesco Georg Cantor ha introdotto il concetto di un numero transfinito per fare riferimento a un numero ordinale infinito maggiore di qualsiasi numero naturale.

Esempi

Il naturale N

L'esempio più frequente di un insieme infinito è quello dei numeri naturali. I numeri naturali sono quelli che vengono usati per contare, tuttavia i numeri interi che possono esistere sono innumerevoli.

L'insieme dei numeri naturali non include lo zero ed è comunemente indicato come l'insieme N , che in forma estesa è espresso come segue:

N = {1, 2, 3, 4, 5,….} Ed è chiaramente un insieme infinito.

I puntini di sospensione vengono utilizzati per indicare che dopo un numero, ne segue un altro e poi un altro in un processo infinito o infinito.

L'insieme di numeri naturali unito all'insieme che contiene il numero zero (0) è noto come l'insieme N + .

N + = {0, 1, 2, 3, 4, 5,….} Che è il risultato dell'unione dell'insieme infinito N con l'insieme finito O = {0}, risultante nell'insieme infinito N + .

Gli interi Z

L'insieme degli interi Z è composto da numeri naturali, numeri naturali con segno negativo e zero.

Gli interi Z sono considerati un'evoluzione rispetto ai numeri naturali N usati originariamente e primitivamente nel processo di conteggio.

Nell'insieme numerico Z di numeri interi, zero è incorporato per non contare o non contare nulla e numeri negativi per contare l'estrazione, la perdita o la mancanza di qualcosa.

Per illustrare l'idea, supponiamo che nel conto bancario appaia un saldo negativo. Ciò significa che il conto è inferiore a zero e non è solo che il conto è vuoto ma che ha una differenza mancante o negativa, che in qualche modo deve essere sostituita alla banca.

In forma estesa, l'insieme infinito Z di interi è scritto in questo modo:

Z = {……., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …… ..}

I razionali Q

Nell'evoluzione del processo di conteggio e scambio di cose, beni o servizi compaiono numeri frazionari o razionali.

Ad esempio, nello scambio di mezza pagnotta con due mele, al momento della registrazione della transazione, è venuto in mente a qualcuno che metà doveva essere scritta come una divisa o divisa in due parti: ½. Ma la metà della metà del pane verrebbe registrata nei libri mastri come segue: ½ / ½ = ¼.

È chiaro che questo processo di divisione può essere infinito in teoria, sebbene in pratica lo sia fino a quando non si raggiunge l'ultima particella di pane.

L'insieme dei numeri razionali (o frazionari) è indicato come segue:

Q = {………, -3,…., -2,… .., -1, ……, 0,… .., 1, ……, 2,… .., 3, …… ..}

I puntini di sospensione tra i due numeri interi indicano che tra quei due numeri o valori ci sono infinite partizioni o divisioni. Ecco perché si dice che l'insieme dei numeri razionali è infinitamente denso. Questo perché non importa quanto vicini possano essere due numeri razionali, è possibile trovare valori infiniti.

Per illustrare quanto sopra, supponiamo che ci venga chiesto di trovare un numero razionale compreso tra 2 e 3. Questo numero può essere 2⅓, che è ciò che è noto come numero misto composto da 2 parti intere più un terzo dell'unità, che è equivale a scrivere 4/3.

Tra 2 e 2⅓ è possibile trovare un altro valore, ad esempio 2⅙. E tra 2 e 2⅙ è possibile trovare un altro valore, ad esempio 2⅛. Tra questi due un altro, e tra loro un altro, un altro e un altro.

Figura 2. Divisioni infinite in numeri razionali. (Wikimedia Commons)

Numeri irrazionali I

Ci sono numeri che non possono essere scritti come divisione o frazione di due numeri interi. È questo insieme numerico che è noto come l'insieme I dei numeri irrazionali ed è anche un insieme infinito.

Alcuni elementi o rappresentanti notevoli di questo insieme numerico sono il numero pi (π), il numero di Eulero (e), la sezione aurea o il numero aureo (φ). Questi numeri possono essere scritti solo approssimativamente da un numero razionale:

π = 3,1415926535897932384626433832795 …… (e continua all'infinito e oltre…)

e = 2,7182818284590452353602874713527 ……. (e continua oltre l'infinito…)

φ = 1,61803398874989484820 …… .. (all'infinito… ..e oltre… ..)

Altri numeri irrazionali compaiono quando si cerca di trovare soluzioni ad equazioni molto semplici, ad esempio l'equazione X ^ 2 = 2 non ha una soluzione razionale esatta. La soluzione esatta è espressa dalla seguente simbologia: X = √2, che si legge x uguale alla radice di due. Un'espressione razionale (o decimale) approssimativa per √2 è:

√2 ≈1,4142135623730950488016887242097.

Ci sono innumerevoli numeri irrazionali, √3, √7, √11, 3 ^ (⅓), 5 ^ (⅖) per citarne alcuni.

L'insieme dei reali R

I numeri reali sono l'insieme di numeri più spesso utilizzato nel calcolo matematico, nella fisica e nell'ingegneria. Questo insieme di numeri è l'unione dei numeri razionali Q e dei numeri irrazionali I :

R = Q U I

Infinito maggiore dell'infinito

Tra gli insiemi infiniti alcuni sono maggiori di altri. Ad esempio, l'insieme dei numeri naturali N è infinito ma è un sottoinsieme di interi Z che è infinito, così insieme infinito Z è maggiore dell'insieme infinito N .

Analogamente, l'insieme degli interi Z è un sottoinsieme di numeri reali R , e quindi il gruppo R è "infinito" l'insieme infinito Z .

Riferimenti

1. Celeberrima. Esempi di insiemi infiniti. Estratto da: celeberrima.com
2. Fuentes, A. (2016). MATEMATICA DI BASE. Un'introduzione al calcolo. Lulu.com.
3. Garo, M. (2014). Matematica: equazioni quadratiche: come risolvere un'equazione quadratica. Marilù Garo.
4. Haeussler, EF e Paul, RS (2003). Matematica per la gestione e l'economia. Pearson Education.
5. Jiménez, J., Rodríguez, M., Estrada, R. (2005). Matematica 1 SEP. Soglia.
6. Preciado, CT (2005). Corso di matematica 3 °. Editoriale Progreso.
7. Rock, NM (2006). Algebra I è facile! Così facile. Team Rock Press.
8. Sullivan, J. (2006). Algebra e trigonometria. Pearson Education.
9. Wikipedia. Set infinito. Estratto da: es.wikipedia.com