Un insieme finito è inteso come qualsiasi insieme con un numero limitato o numerabile di elementi. Esempi di insiemi finiti sono le biglie contenute in una borsa, l'insieme di case in un quartiere o l'insieme P formato dai primi venti (20) numeri naturali:
P = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}
L'insieme delle stelle nell'universo è sicuramente immenso, ma non si sa con certezza se sia finito o infinito. Tuttavia, l'insieme dei pianeti nel sistema solare è finito.
Figura 1. L'insieme dei poligoni è finito e anche il sottoinsieme di quelli regolari. (Wikimedia Commons)
Il numero di elementi in un insieme finito è chiamato la sua cardinalità e per l'insieme P è indicato come segue: Card ( P ) o # P. L'insieme vuoto ha cardinalità zero ed è considerato un insieme finito.
Proprietà
Tra le proprietà degli insiemi finiti ci sono le seguenti:
1- L'unione di insiemi finiti dà origine a un nuovo insieme finito.
2- Se due insiemi finiti si intersecano, ne risulta un nuovo insieme finito.
3- Un sottoinsieme di un insieme finito è finito e la sua cardinalità è minore o uguale a quella dell'insieme originale.
4- L'insieme vuoto è un insieme finito.
Esempi
Ci sono molti esempi di insiemi finiti. Alcuni esempi includono quanto segue:
L'insieme M dei mesi dell'anno, che in forma estesa può essere scritto così:
M = {gennaio, febbraio, marzo, aprile, maggio, giugno, luglio, agosto, settembre, ottobre, novembre, dicembre}, la cardinalità di M è 12.
L'insieme S dei giorni della settimana: S = {lunedì, martedì, mercoledì, giovedì, venerdì, sabato, domenica}. La cardinalità di S è 7.
L'insieme Ñ delle lettere dell'alfabeto spagnolo è un insieme finito, questo insieme per estensione è scritto così:
Ñ = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, ñ, o, p, q, r, s, t, u, v, w , x, y, z} e la sua cardinalità è 27.
L'insieme V delle vocali in spagnolo è un sottoinsieme dell'insieme Ñ:
V ⊂ Ñ quindi è un insieme finito.
L'insieme finito V in forma estesa è scritto così: V = {a, e, i, o, u} e la sua cardinalità è 5.
Gli insiemi possono essere espressi dalla comprensione. L'insieme F composto dalle lettere della parola "finito" è un esempio:
F = {x / x è una lettera della parola "finito"}
Detto insieme espresso in forma estesa sarà:
F = {f, i, n, t, o} la cui cardinalità è 5 e quindi è un insieme finito.
Altri esempi
I colori dell'arcobaleno sono un altro esempio di un insieme finito, l'insieme C di questi colori è:
C = {rosso, arancione, giallo, verde, ciano, blu, viola} e la sua cardinalità è 7.
L'insieme delle fasi F della Luna è un altro esempio di insieme finito:
F = {Luna nuova, primo quarto, luna piena, ultimo quarto} questo set ha cardinalità 4.
Figura 2. I pianeti del sistema solare formano un insieme finito. (Pixabay)
Un altro insieme finito è quello formato dai pianeti del sistema solare:
P = {Mercurio, Venere, Terra, Marte, Giove, Saturno, Urano, Nettuno, Plutone} di cardinalità 9.
Esercizi risolti
Esercizio 1
Viene fornito il seguente insieme A = {x∊ R / x ^ 3 = 27}. Esprimilo a parole e scrivilo per estensione, indica la sua cardinalità e dì se è finito o meno.
Soluzione: L'insieme A è l'insieme dei numeri reali x tali che x ha un cubo di 27 come risultato.
L'equazione x ^ 3 = 27 ha tre soluzioni: sono x1 = 3, x2 = (-3/2 + 3√3 / 2 i) e x3 = (-3/2 - 3√3 / 2 i). Delle tre soluzioni, solo x1 è reale, mentre le altre due sono numeri complessi.
Poiché la definizione dell'insieme A dice che x appartiene ai numeri reali, le soluzioni ai numeri complessi non fanno parte dell'insieme A.
L'insieme A espresso ampiamente è:
A = {3}, che è un insieme finito di cardinalità 1.
Esercizio 2
Scrivi in forma simbolica (per comprensione) e in forma estesa l'insieme B di numeri reali maggiori di 0 (zero) e minori o uguali a 0 (zero). Indicare la sua cardinalità e se è finita o meno.
Soluzione: B = {x∊ R / 0 <x <= 0}
L'insieme B è vuoto perché un numero reale x non può essere contemporaneamente maggiore e minore di zero, così come non può essere 0 e anche minore di 0.
B = {} e la sua cardinalità è 0. L'insieme vuoto è un insieme finito.
Esercizio 3
Viene fornito l'insieme S delle soluzioni di una certa equazione. L'insieme S per comprensione è scritto così:
S = {x∊ R / (x-3) (x ^ 2 - 9x + 20) = 0}
Scrivi detto insieme in forma estesa, indica la sua cardinalità e indica se si tratta o meno di un insieme finito.
Soluzione: Innanzitutto, analizzando l'espressione che descrive l'insieme S, si ottiene che è un insieme di valori x reali che sono soluzioni dell'equazione:
(x-3) (x ^ 2 - 9x + 20) = 0 (*)
Una soluzione di questa equazione è x = 3, che è un numero reale e quindi appartiene a S. Ma ci sono più soluzioni che si possono ottenere cercando le soluzioni dell'equazione quadratica:
(x ^ 2 - 9x + 20) = 0
L'espressione sopra può essere scomposta come segue:
(x - 4) (x - 5) = 0
Il che ci porta ad altre due soluzioni dell'equazione originale (*) che sono x = 4 e x = 5. In breve, l'equazione (*) ha come soluzioni 3, 4 e 5.
L'insieme S espresso in forma estesa si presenta così:
S = {3, 4, 5}, che ha cardinalità 3 ed è quindi un insieme finito.
Esercizio 4
Ci sono due insiemi A = {1, 5, 7, 9, 11} e B = {x ∊ N / x è pari ^ x <10}.
Scrivi esplicitamente l'insieme B e trova l'unione con l'insieme A. Trova anche l'intercetta di questi due insiemi e concludi.
Soluzione: l'insieme B è composto da numeri naturali tali che siano pari e siano anche inferiori al valore 10, quindi nell'insieme estensivo B si scrive come segue:
B = {2, 4, 6, 8}
L'unione dell'insieme A con l'insieme B è:
AUB = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11}
e l'intercetta dell'insieme A con l'insieme B è scritta così:
A ⋂ B = {} = Ø è l'insieme vuoto.
Va notato che l'unione e l'intercettazione di questi due insiemi finiti portano a nuovi insiemi, che a loro volta sono anche finiti.
Riferimenti
- Fuentes, A. (2016). MATEMATICA DI BASE. Un'introduzione al calcolo. Lulu.com.
- Garo, M. (2014). Matematica: equazioni quadratiche: come risolvere un'equazione quadratica. Marilù Garo.
- Haeussler, EF e Paul, RS (2003). Matematica per la gestione e l'economia. Pearson Education.
- Jiménez, J., Rodríguez, M., Estrada, R. (2005). Matematica 1 SEP. Soglia.
- Preciado, CT (2005). Corso di matematica 3 °. Editoriale Progreso.
- Matematica 10 (2018). "Esempi di insiemi finiti". Estratto da: matematicas10.net
- Rock, NM (2006). Algebra I è facile! Così facile. Team Rock Press.
- Sullivan, J. (2006). Algebra e trigonometria. Pearson Education.
- Wikipedia. Insieme finito. Estratto da: es.wikipedia.com