RAPPORTO DI POISSON: COEFFICIENTE, FORMULE, VALORI, ESEMPI - FISICO - 2024

Il rapporto di Poisson è una quantità adimensionale, caratteristica di ogni materiale. È un'indicazione della deformazione di un pezzo di materiale prima dell'applicazione di determinate forze.

Quando un pezzo di materiale sottoposto a trazione, o compressione, subisce una deformazione, il quoziente tra la deformazione trasversale e la deformazione longitudinale è proprio il rapporto di Poisson.

Figura 1. Il rapporto di Poisson misura la relazione tra allungamento longitudinale e restringimento trasversale. (Preparato da Ricardo Pérez)

Ad esempio, un cilindro di gomma che è sottoposto a tensione alle sue estremità si estende in direzione longitudinale, ma si restringe trasversalmente. La figura 1 mostra una barra le cui dimensioni originali sono: lunghezza L e diametro D.

La barra è sottoposta ad una tensione T alle sue estremità, e come conseguenza di questa tensione subisce uno stiramento, in modo che la nuova lunghezza sia L '> L. Ma quando viene tesa, anche il suo diametro si restringe al nuovo valore: D '<D.

Il quoziente tra allungamento (positivo) e restringimento (negativo) moltiplicato per (-1), è un numero positivo compreso tra 0 e 0,5. Questo numero è il cosiddetto rapporto di Poisson ν (lettera greca nu).

Formula del rapporto di Poisson

Per calcolare il rapporto di Poisson, è necessario determinare la deformazione longitudinale e trasversale.

La deformazione longitudinale ε _L è il tratto diviso per la lunghezza originale:

ε _L = (L '- L) / L

Allo stesso modo, la deformazione trasversale ε _T è il restringimento radiale diviso per il diametro originale:

ε _T = (D '- D) / D

Pertanto, il rapporto di Poisson è calcolato dalla seguente formula:

ν = - ε _T / ε _L

Relazione con modulo di elasticità e modulo di rigidità

Il rapporto di Poisson ν è correlato al modulo E di elasticità (o modulo di Young) e al modulo di rigidità G, dalla seguente formula:

Valore del rapporto di Poisson per i materiali

Figura 2. L'acciaio inossidabile ha un rapporto di Poisson compreso tra 0,30 e 0,31. Fonte: Pixabay.

Esempi di calcolo

Esempio 1

Una barra di un certo materiale plastico ha una lunghezza di 150 mm e una sezione circolare di 20 mm di diametro. Sottoposto ad una forza di compressione F di 612,25 kg-f, si osserva un accorciamento di 14 mm e contemporaneamente un aumento di 0,85 mm del diametro della barra.

Calcolare:

a) Deformazione longitudinale.

b) La deformazione trasversale.

c) Il rapporto di Poisson di quel materiale.

d) Modulo di elasticità di Young corrispondente al materiale.

e) Il modulo di rigidità per quella plastica.

Soluzione a

Ricordiamo che la deformazione longitudinale εL è il tratto diviso per la lunghezza originale:

εL = (L '- L) / L

εL = (-14 mm) / 150 mm = -0,0933

Si noti che la deformazione longitudinale è adimensionale, e in questo caso era negativa perché c'era una diminuzione della sua dimensione longitudinale.

Soluzione b

Allo stesso modo, la deformazione trasversale εT è la conicità radiale, divisa per il diametro originale:

εT = (D '- D) / D

εT = (+0,85 mm) / 20 mm = 0,0425

La deformazione trasversale è stata positiva perché c'è stato un aumento del diametro della barra.

Soluzione c

Per il calcolo del coefficiente di Poisson dobbiamo ricordare che è definito come il negativo del quoziente tra la deformazione trasversale e la deformazione longitudinale:

ν = - εT / εL

ν = - 0,0425 / (-0,0933) = 0,4554

Va ricordato che il rapporto di Poisson è un numero adimensionale positivo e per la maggior parte dei materiali è compreso tra 0 e 0,5.

Soluzione d

Il modulo di elasticità di Young, indicato dalla lettera E, è la costante di proporzionalità nella legge di Hooke. Per E, la sollecitazione normale σL è correlata alla deformazione εL, come segue:

σL = E εL

La tensione normale è definita come il quoziente tra la forza normale (in questo caso parallela all'asse della barra) e l'area della sezione trasversale:

σL = F / A = F / (π / 4 * D ^ 2)

In questo esercizio, la forza F è 612,25 kg-f, che deve essere convertita in newton, che è l'unità SI della forza:

F = 612,25 kg-f = 612,25 * 9,8 N = 6000 N = 6 kN

Da parte sua, la sezione trasversale dell'area A è:

A = (π / 4 * D ^ 2) = (3,1416 / 4) * (20 * 10 ^ -3 m) ^ 2 = 3,1416 * 10 ^ -4 m ^ 2

Infine la normale sollecitazione applicata alla barra è:

σL = F / A = 6000 N / 3,1416 * 10 ^ -4 m ^ 2 = 19,098,593 Pa = 19,098 MPa

Per calcolare il modulo di elasticità di Young, risolviamo E dalla legge di Hooke σL = E εL:

E = σL / εL = 19.098.593 Pa / 0,0933 = 204,7 MPa

Soluzione e

Il modulo di rigidità G è correlato al modulo di Young E e al rapporto di Poisson ν da questa formula:

E / (2 G) = 1 + ν

Da lì possiamo risolvere per G:

G = E / (2 (1 + ν)) = 204,7 MPa / (2 (1 + 0,4554)) = 70,33 MPa

Esempio 2

C'è un cavo di rame con un diametro di 4 mm e lungo 1 m. Sapendo che il modulo di Young del rame è 110.000 MPa e che il suo rapporto di Poisson è 0,34, stimare l'allungamento e il restringimento di diametro che il filo subisce quando viene appeso un peso di 100 kg-f.

Soluzione

Per prima cosa è necessario calcolare la normale tensione di trazione che il peso esercita sul filo, seguendo questa formula:

σL = F / A = F / (π / 4 * D ^ 2)

La forza F è 980 N e l'area della sezione trasversale è:

A = (π / 4 * D ^ 2) = (3,1416 / 4) * (4 * 10 ^ -3 m) ^ 2 = 1,2566 * 10 ^ -5 m ^ 2

Quindi la tensione di trazione è:

σL = 980 N / 1,2566 * 10 ^ -5 m ^ 2 = 77.986.000 Pa

Calcolo della deformazione del filo

Il modulo di elasticità di Young, indicato dalla lettera E, è la costante di proporzionalità nella legge di Hooke che mette in relazione la tensione normale σL alla deformazione εL:

σL = E εL

Da lì si risolve la deformazione longitudinale del filo di rame:

εL = σL / E = 77,986 MPa / 110000 MPa = 7,09 * 10 ^ -4

Calcolo della deformazione trasversale

D'altra parte, per conoscere la deformazione trasversale, si applica il rapporto di Poisson:

ν = - εT / εL

Infine, la deformazione trasversale è:

εT = –ν εL = - 0,34 * 7,09 * 10 ^ -4 = -2,41 * 10 ^ -4

Calcolo della tensione assoluta del cavo

Infine, per conoscere il tratto assoluto del cavo, è necessario applicare la seguente relazione:

ΔL = εL * L = 7,09 * 10 ^ -4 * 1 m = 7,09 * 10 ^ -4 m = 0,709 mm

Vale a dire, con quel peso il cavo si allungava appena di 0,709 millimetri.

Calcolo della diminuzione del diametro

Per ottenere il ritiro assoluto in diametro utilizziamo la seguente formula:

ΔD = εT * D = -2,41 * 10 ^ -4 * 4 mm = -9,64 * 10 ^ -4 mm = -0,000964 millimetri.

Questo restringimento di diametro è così piccolo che è difficile vederlo ad occhio nudo, anche la sua misurazione richiede uno strumento di alta precisione.

Riferimenti

1. Beer F .. Meccanica dei materiali. 5 °. Edizione. 2010. Mc Graw Hill. 1-130.
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4. Giancoli, D. 2006. Fisica: principi con applicazioni. 6a Ed. Prentice Hall. 238-242.
5. Valera Negrete, J. 2005. Note sulla fisica generale. UNAM. 87-98.