SHOCK ELASTICI: IN UNA DIMENSIONE, CASI SPECIALI, ESERCIZI - FISICO - 2024

Le collisioni elastiche o collisioni elastiche sono interazioni brevi ma intense tra oggetti, in cui vengono conservate sia la quantità di moto che l'energia cinetica. Gli incidenti sono eventi molto frequenti in natura: dalle particelle subatomiche alle galassie, alle palle da biliardo e agli autoscontri nei parchi di divertimento, sono tutti oggetti in grado di scontrarsi.

Durante una collisione o una collisione, le forze di interazione tra gli oggetti sono molto forti, molto più di quelle che possono agire esternamente. In questo modo si può affermare che durante l'urto le particelle formano un sistema isolato.

Le collisioni con la palla da biliardo possono essere considerate elastiche. Fonte: Pixabay.

In questo caso è vero che:

La quantità di moto P _o prima della collisione è la stessa che dopo la collisione. Questo vale per qualsiasi tipo di collisione, sia elastica che anelastica.

Consideriamo ora quanto segue: durante una collisione, gli oggetti subiscono una certa deformazione. Quando lo shock è elastico, gli oggetti ritornano rapidamente alla loro forma originale.

Conservazione dell'energia cinetica

Normalmente durante un incidente, parte dell'energia degli oggetti viene spesa per il calore, la deformazione, il suono e talvolta anche per la produzione di luce. Quindi l'energia cinetica del sistema dopo la collisione è inferiore all'energia cinetica originale.

Quando l'energia cinetica K è conservata allora:

Ciò significa che le forze che agiscono durante la collisione sono conservative. Durante la collisione, l'energia cinetica viene brevemente trasformata in energia potenziale e quindi di nuovo in energia cinetica. Le rispettive energie cinetiche variano, ma la somma rimane costante.

Le collisioni perfettamente elastiche sono rare, sebbene le palle da biliardo siano un'approssimazione abbastanza buona, così come le collisioni che si verificano tra le molecole di gas ideali.

Ammortizzatori elastici in una dimensione

Esaminiamo una collisione di due particelle di questo in una singola dimensione; cioè, le particelle interagenti si muovono, diciamo, lungo l'asse x. Supponiamo che abbiano masse m ₁ em ₂ . Le velocità iniziali di ciascuna sono rispettivamente u _{1 e} u ₂ . Le velocità finali sono v ₁ e v ₂ .

Possiamo fare a meno della notazione vettoriale, poiché il movimento viene eseguito lungo l'asse x, tuttavia i segni (-) e (+) indicano la direzione del movimento. A sinistra è negativo e a destra positivo, per convenzione.

-Formula per urti elastici

Per la quantità di movimento

Per l'energia cinetica

Finché le masse e le velocità iniziali sono note, le equazioni possono essere raggruppate per trovare le velocità finali.

Il problema è che in linea di principio è necessario eseguire un po 'di algebra abbastanza noiosa, poiché le equazioni per l'energia cinetica contengono i quadrati delle velocità, il che rende il calcolo un po' macchinoso. L'ideale sarebbe trovare espressioni che non le contengano.

Il primo è fare a meno del fattore ½ e riorganizzare entrambe le equazioni in modo tale che appaia un segno negativo e le masse possano essere fattorizzate:

Essendo espresso in questo modo:

Semplificazione per eliminare i quadrati delle velocità

Ora dobbiamo utilizzare la somma del prodotto notevole per la sua differenza nella seconda equazione, con la quale otteniamo un'espressione che non contiene i quadrati, come originariamente voluto:

Il passaggio successivo consiste nel sostituire la prima equazione nella seconda:

E poiché il termine m ₂ (v ₂ - u ₂ ) viene ripetuto su entrambi i lati dell'uguaglianza, detto termine viene annullato e rimane così:

O ancora meglio:

Velocità finali v

Ora hai due equazioni lineari con cui è più facile lavorare. Li rimetteremo uno sotto l'altro:

Moltiplicando la seconda equazione per m ₁ e aggiungendo un termine al termine si ottiene:

Ed è già possibile cancellare la v ₂ . Per esempio:

Casi speciali in urti elastici

Ora che le equazioni sono disponibili per le velocità finali di entrambe le particelle, è il momento di analizzare alcune situazioni speciali.

Due masse identiche

In tal caso m ₁ = m ₂ = mio:

Le particelle semplicemente scambiano le loro velocità dopo la collisione.

Due masse identiche, una delle quali inizialmente a riposo

Di nuovo m ₁ = m ₂ = me assumendo u ₁ = 0:

Dopo la collisione, la particella che era a riposo acquisisce la stessa velocità della particella che si stava muovendo, e questa a sua volta si ferma.

Due messe diverse, una delle quali inizialmente a riposo

In questo caso supponiamo che u ₁ = 0, ma le masse sono diverse:

E se m ₁ fosse molto più grande di m ₂ ?

Succede che m _{1 sia} ancora fermo e m ₂ venga restituito con la stessa velocità con cui ha urtato.

Coefficiente di restituzione o regola di Huygens-Newton

In precedenza, la seguente relazione tra le velocità era derivata per due oggetti in collisione elastica: u ₁ - u ₂ = v ₂ - v ₁ . Queste differenze sono le velocità relative prima e dopo la collisione. In generale, per una collisione è vero che:

Il concetto di velocità relativa si apprezza meglio se il lettore immagina di essere su una delle particelle e da questa posizione osserva la velocità con cui si muove l'altra particella. L'equazione precedente viene riscritta in questo modo:

Esercizi risolti

-Esercizio risolto 1

Una palla da biliardo si muove a sinistra a 30 cm / s, scontrandosi frontalmente con un'altra palla identica che si muove a destra a 20 cm / s. Le due sfere hanno la stessa massa e l'urto è perfettamente elastico. Trova la velocità di ogni palla dopo l'impatto.

Soluzione

u ₁ = -30 cm / s

u ₂ = +20 cm / s

Questo è il caso speciale in cui due masse identiche si scontrano elasticamente in una dimensione, quindi le velocità vengono scambiate.

v ₁ = +20 cm / s

v ₂ = -30 cm / s

-Esercizio risolto 2

Il coefficiente di restituzione di una palla che rimbalza da terra è pari a 0,82. Se cade da fermo, quale frazione della sua altezza originale raggiungerà la palla dopo aver rimbalzato una volta? E dopo 3 rimbalzi?

Una palla rimbalza su una superficie solida e perde altezza ad ogni rimbalzo. Fonte: autocostruito.

Soluzione

Il suolo può essere oggetto 1 nell'equazione per il coefficiente di restituzione. E rimane sempre a riposo, in modo che:

Con questa velocità rimbalza:

Il segno + indica che si tratta di una velocità ascendente. E secondo esso, la palla raggiunge un'altezza massima di:

Ora ritorna di nuovo a terra con una velocità di uguale grandezza, ma di segno opposto:

Questo raggiunge un'altezza massima di:

Torna a terra con:

Rimbalzi successivi

Ogni volta che la palla rimbalza e si alza, moltiplica nuovamente la velocità per 0,82:

A questo punto h ₃ è circa il 30% di h _o . Quale sarebbe l'altezza del 6 ° rimbalzo senza la necessità di fare calcoli così dettagliati come i precedenti?

Sarebbe h ₆ = 0,82 ¹² h _o = 0,092 h _o o solo il 9% di h _o .

-Esercizio risolto 3

Un blocco da 300 g si muove verso nord a 50 cm / se si scontra con un blocco da 200 g che si dirige a sud a 100 cm / s. Supponiamo che l'ammortizzatore sia perfettamente elastico. Trova le velocità dopo l'impatto.

Dati

m ₁ = 300 g; u ₁ = + 50 cm / s

m ₂ = 200 g; u ₂ = -100 cm / s

-Esercizio risolto 4

Una massa di m ₁ = 4 kg viene rilasciata dal punto indicato sulla pista priva di attrito fino a che non entra in collisione con m ₂ = 10 kg a riposo. Quanto si alza m ₁ dopo la collisione?

Soluzione

Non essendoci attrito, l'energia meccanica viene conservata per trovare la velocità u ₁ con cui m ₁ colpisce m _2. Inizialmente l'energia cinetica è 0, poiché m ₁ parte da quiete. Quando si muove sulla superficie orizzontale non ha altezza, quindi l'energia potenziale è 0.

Ora viene calcolata la velocità di m ₁ dopo la collisione:

Il segno negativo significa che è stato restituito. Con questa velocità sale e l'energia meccanica viene nuovamente conservata per trovare h ', l'altezza alla quale riesce a risalire dopo l'urto:

Notare che non ritorna al punto di partenza a 8 m di altezza. Non ha abbastanza energia perché la massa m _{1 ha} ceduto parte della sua energia cinetica _.

Riferimenti

1. Giancoli, D. 2006. Fisica: principi con applicazioni. 6 ^° . Ed Prentice Hall. 175-181
2. Rex, A. 2011. Fondamenti di fisica. Pearson. 135-155.
3. Serway, R., Vulle, C. 2011. Fondamenti di fisica. 9 ^na Cengage Learning. 172-182
4. Tipler, P. (2006) Physics for Science and Technology. 5a Ed. Volume 1. Editoriale Reverté. 217-238
5. Tippens, P. 2011. Fisica: concetti e applicazioni. 7a edizione. MacGraw Hill. 185-195