CENTRO DI GRAVITÀ: PROPRIETÀ, CALCOLO, ESEMPI - FISICO - 2024

Il centro di gravità di un corpo di dimensioni misurabili è il punto in cui si considera applicato il suo peso. È quindi uno dei concetti principali della Statica.

Il primo approccio nei problemi di Fisica Elementare consiste nell'assumere che qualsiasi oggetto si comporti come una massa puntiforme, cioè non abbia dimensioni e tutta la massa sia concentrata in un unico punto. Questo è valido per una scatola, un'auto, un pianeta o una particella subatomica. Questo modello è noto come modello particellare.

Figura 1. Nel salto in alto l'atleta riesce in modo che il suo centro di gravità sia fuori dal corpo. Fonte: Pixabay

Questa è ovviamente un'approssimazione, che funziona molto bene per molte applicazioni. Non è un compito facile considerare il comportamento individuale delle migliaia e milioni di particelle che ogni oggetto può contenere.

Tuttavia, le dimensioni reali delle cose devono essere prese in considerazione se si vogliono ottenere risultati più vicini alla realtà. Dato che siamo generalmente nelle vicinanze della Terra, la forza sempre presente su qualsiasi corpo è proprio il peso.

Considerazioni per trovare il centro di gravità

Se si deve tener conto delle dimensioni del corpo, dove deve essere applicato specificamente il peso? Quando si dispone di un oggetto continuo di forma arbitraria, il suo peso è una forza distribuita tra ciascuna delle sue particelle costituenti.

Che queste particelle siano m ₁ , m ₂ , m ₃ … Ognuna di esse sperimenta la sua corrispondente forza gravitazionale m ₁ g, m ₂ g, m ₃ g …, tutte parallele. È così, poiché il campo gravitazionale della Terra è considerato costante nella stragrande maggioranza dei casi, poiché gli oggetti sono piccoli rispetto alle dimensioni del pianeta e sono vicini alla sua superficie.

Figura 2. Il peso dell'oggetto è una massa distribuita. Fonte: autocostruito.

La somma vettoriale di queste forze risulta nel peso dell'oggetto, applicato al punto chiamato centro di gravità indicato nella figura come CG, che poi coincide con il centro di massa. Il centro di massa a sua volta è il punto in cui tutta la massa può essere considerata concentrata.

Il peso risultante ha magnitudo Mg dove M è la massa totale dell'oggetto e, naturalmente, è diretto verticalmente verso il centro della Terra. La notazione di sommatoria è utile per esprimere la massa totale del corpo:

Il centro di gravità non sempre coincide con un punto materiale. Ad esempio, il CG di un anello si trova nel suo centro geometrico, dove non c'è massa stessa. Anche così, se vuoi analizzare le forze che agiscono su un cerchio, devi applicare il peso a questo punto preciso.

In quei casi in cui l'oggetto ha una forma arbitraria, se è omogeneo, il suo centro di massa può comunque essere calcolato trovando il baricentro o baricentro della figura.

Come viene calcolato il centro di gravità?

In linea di principio, se il centro di gravità (CG) e il centro di massa (cm) coincidono poiché il campo gravitazionale è uniforme, è possibile calcolare i cm e applicare il peso su di esso.

Consideriamo due casi: il primo è quello in cui la distribuzione di massa è discreta; cioè, ogni massa che compone il sistema può essere contata e assegnata a un numero i, come è stato fatto nell'esempio precedente.

Le coordinate del centro di massa per una distribuzione di massa discreta sono:

Naturalmente la somma di tutte le masse è uguale alla massa totale del sistema M, come indicato sopra.

Le tre equazioni sono ridotte a una forma compatta quando si considera il vettore r _cm o vettore di posizione del centro di massa:

E nel caso di una distribuzione di massa continua, dove le particelle sono di dimensione differenziale e non possono essere distinte per contarle, la somma è sostituita da un integrale che si compone sul volume occupato dall'oggetto in questione:

Dove r è il vettore di posizione di una massa differenziale dm e la definizione di densità di massa è stata utilizzata per esprimere il differenziale di massa dm contenuto in un differenziale di volume dV:

Proprietà

Alcune considerazioni importanti sul centro di massa sono le seguenti:

- Sebbene sia necessario un sistema di riferimento per stabilire le posizioni, il centro di massa non dipende dalla scelta del sistema, poiché è una proprietà dell'oggetto.

- Quando l'oggetto ha un asse o un piano di simmetria, il centro di massa si trova su quell'asse o piano. Approfittando di questa circostanza si risparmia tempo di calcolo.

- Tutte le forze esterne che agiscono sull'oggetto possono essere applicate al centro di massa. Tenere traccia del movimento di questo punto fornisce una panoramica del movimento dell'oggetto e facilita lo studio del suo comportamento.

-Trovare il centro di gravità di un corpo in equilibrio statico

Supponiamo di voler fare in modo che il corpo della figura precedente sia in equilibrio statico, ovvero che non si traduca o ruoti attorno a un asse di rotazione arbitrario che può essere O.

Figura 3. Schema per calcolare la coppia del peso rispetto al punto O.

-Esempio risolto

Una barra sottile di materiale uniforme è lunga 6 me pesa 30 N. Un peso di 50 N è appeso alla sua estremità sinistra e un peso di 20 N è appeso alla sua estremità destra. Trova: a) l'entità della forza verso l'alto necessaria per mantenere l'equilibrio della barra, b) il centro di gravità del gruppo.

Soluzione

Il diagramma delle forze è mostrato nella figura seguente. Il peso della barra viene applicato al suo centro di gravità, che coincide con il suo centro geometrico. L'unica dimensione della barra presa in considerazione è la sua lunghezza, poiché l'istruzione riporta che è sottile.

Figura 4. Diagramma delle forze per la barra.

Affinché il sistema barra + pesi rimanga in equilibrio traslazionale, la somma delle forze deve essere zero. Le forze sono verticali, se consideriamo su con segno + e giù con segno - allora:

F- 50-20-30 N = 0

F = 100 N

Questa forza garantisce l'equilibrio traslazionale. Prendendo i momenti torsionali di tutte le forze rispetto ad un asse che passa per l'estrema sinistra del sistema e applicando la definizione:

t = rx F

I momenti di tutte queste forze attorno al punto selezionato sono perpendicolari al piano della barra:

Così:

Il baricentro del set barra + pesi si trova a 2,10 metri dall'estremità sinistra della barra.

Differenza dal centro di massa

Il centro di gravità coincide con il centro di massa, come indicato, fintanto che il campo gravitazionale terrestre è costante per tutti i punti dell'oggetto da considerare. Il campo gravitazionale della Terra non è altro che il noto e familiare valore di g = 9,8 m / s ² diretto verticalmente verso il basso.

Sebbene il valore di g varia in base alla latitudine e all'altitudine, questi di solito non influiscono sugli oggetti che vengono discussi per la maggior parte del tempo. Sarebbe molto diverso se si considerasse un grande corpo nelle vicinanze della Terra, ad esempio un asteroide molto vicino al pianeta.

L'asteroide ha un proprio centro di massa, ma il suo centro di gravità non dovrebbe più coincidere con questo, poiché g subirebbe probabilmente variazioni sostanziali di magnitudine, date le dimensioni dell'asteroide e che i pesi di ciascuna particella potrebbero non essere paralleli.

Un'altra differenza fondamentale è che il centro di massa viene trovato indipendentemente dal fatto che vi sia o meno una forza chiamata peso applicata all'oggetto. È una proprietà intrinseca dell'oggetto che ci rivela come la sua massa è distribuita in relazione alla sua geometria.

Il centro di massa esiste indipendentemente dal fatto che venga applicato o meno un peso. E si trova nella stessa posizione anche se l'oggetto si sposta su un altro pianeta in cui il campo gravitazionale è diverso.

D'altra parte, il baricentro è chiaramente legato all'applicazione del peso, come abbiamo visto nei paragrafi precedenti.

Esempi di centro di gravità

Centro di gravità di oggetti irregolari

È molto facile scoprire dove si trova il centro di gravità di un oggetto irregolare come una tazza. Innanzitutto, è sospeso da qualsiasi punto e da lì viene tracciata una linea verticale (nella figura 5 è la linea fucsia nell'immagine a sinistra).

Viene quindi sospeso da un altro punto e viene disegnata una nuova verticale (linea turchese nell'immagine a destra). L'intersezione di entrambe le linee è il centro di gravità della tazza.

Figura 5. Posizione CG di una tazza. Fonte: modificato da Pixabay.

Oggetti in equilibrio

Analizziamo la stabilità di un camion che viaggia su strada. Quando il centro di gravità si trova sopra la base del carrello, il carrello non si ribalterà. L'immagine a sinistra è la posizione più stabile.

Figura 6. Bilanciamento del carrello. Fonte: autocostruito.

Anche quando il camion si inclina a destra, potrà tornare in una posizione di equilibrio stabile, come nel disegno centrale, poiché la verticale passa ancora per la base. Tuttavia, quando questa linea esce dall'esterno, il camion si ribalta.

Il diagramma mostra le forze al fulcro: normale in giallo, peso in verde e sfregamento statico a sinistra in fucsia. Normale e attrito vengono applicati all'asse di rotazione, quindi non esercitano coppia. Pertanto non contribuiranno a ribaltare il camion.

Rimane il peso, che esercita una coppia, fortunatamente in senso antiorario e che tende a riportare il carrello in posizione di equilibrio. Notare che la linea verticale passa attraverso la superficie di appoggio, che è il pneumatico.

Quando il carrello è nella posizione più a destra, la coppia del peso cambia in senso orario. Non potendo essere contrastato per un'altra volta, il camion si ribalterà.

Riferimenti

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