CALCOLO DELLE APPROSSIMAZIONI UTILIZZANDO IL DIFFERENZIALE - MATEMATICA - 2024

Un'approssimazione in matematica è un numero che non è il valore esatto di qualcosa, ma è così vicino ad esso che è considerato utile quanto quel valore esatto.

Quando si fanno approssimazioni in matematica, è perché manualmente è difficile (o talvolta impossibile) conoscere il valore preciso di ciò che si vuole.

Lo strumento principale quando si lavora con le approssimazioni è il differenziale di una funzione.

Il differenziale di una funzione f, indicato con Δf (x), non è altro che la derivata della funzione f per la variazione della variabile indipendente, cioè Δf (x) = f '(x) * Δx.

A volte vengono utilizzati df e dx al posto di Δf e Δx.

Approssimazioni utilizzando il differenziale

La formula che si applica per effettuare un'approssimazione tramite differenziale nasce proprio dalla definizione della derivata di una funzione come limite.

Questa formula è data da:

f (x) ≈ f (x0) + f '(x0) * (x-x0) = f (x0) + f' (x0) * Δx.

Qui si capisce che Δx = x-x0, quindi x = x0 + Δx. Usando questo la formula può essere riscritta come

f (x0 + Δx) ≈ f (x0) + f '(x0) * Δx.

Va notato che "x0" non è un valore arbitrario, ma un valore tale che f (x0) è facilmente noto; inoltre, "f (x)" è solo il valore che vogliamo approssimare.

Esistono approssimazioni migliori?

La risposta è si. Quanto sopra è la più semplice delle approssimazioni chiamate "approssimazione lineare".

Per approssimazioni di migliore qualità (l'errore commesso è minore), vengono utilizzati polinomi con più derivati ​​chiamati "polinomi di Taylor", così come altri metodi numerici come il metodo Newton-Raphson, tra gli altri.

Strategia

La strategia da seguire è:

- Scegliere una funzione f adatta per eseguire l'approssimazione e il valore «x» tale che f (x) sia il valore da approssimare.

- Scegli un valore "x0", vicino a "x", tale che f (x0) sia facile da calcolare.

- Calcola Δx = x-x0.

- Calcola la derivata della funzione y f '(x0).

- Sostituisci i dati nella formula.

Risolti esercizi di approssimazione

In quello che continua ci sono una serie di esercizi in cui vengono fatte approssimazioni usando il differenziale.

Primo esercizio

Circa √3.

Soluzione

Seguendo la strategia, deve essere scelta una funzione adeguata. In questo caso si può vedere che la funzione da scegliere deve essere f (x) = √x e il valore da approssimare è f (3) = √3.

Ora dobbiamo scegliere un valore "x0" vicino a "3" tale che f (x0) sia facile da calcolare. Se si sceglie "x0 = 2", "x0" è vicino a "3" ma f (x0) = f (2) = √2 non è facile da calcolare.

Il valore appropriato di "x0" è "4", poiché "4" è vicino a "3" e anche f (x0) = f (4) = √4 = 2.

Se "x = 3" e "x0 = 4", allora Δx = 3-4 = -1. Ora procediamo a calcolare la derivata di f. Cioè, f '(x) = 1/2 * √x, quindi f' (4) = 1 / 2√4 = 1/2 * 2 = 1/4.

Sostituendo tutti i valori nella formula ottieni:

√3 = f (3) ≈ 2 + (1/4) * (- 1) = 2 - 1/4 = 7/4 = 1,75.

Se usi una calcolatrice ottieni che √3≈1,73205… Questo mostra che il risultato precedente è una buona approssimazione del valore reale.

Secondo esercizio

Circa √10.

Soluzione

Come prima, f (x) = √xy viene scelto come funzione, in questo caso x = 10.

Il valore di x0 da scegliere questa volta è "x0 = 9". Abbiamo quindi che Δx = 10-9 = 1, f (9) = 3 e f '(9) = 1 / 2√9 = 1/2 * 3 = 1/6.

Quando si valuta nella formula si ottiene quello

√10 = f (10) ≈ 3 + 1 * 1/6 = 3 + 1/6 = 19/6 = 3,1666 …

Usando una calcolatrice si ottiene che √10 ≈ 3.1622776… Qui si può anche vedere che prima si era ottenuta una buona approssimazione.

Terzo esercizio

Approssimativo ³√10, dove ³√ denota la radice del cubo.

Soluzione

Chiaramente la funzione da utilizzare in questo esercizio è f (x) = ³√x e il valore di "x" deve essere "10".

Un valore vicino a "10" tale che la sua radice cubica sia nota è "x0 = 8". Allora abbiamo che Δx = 10-8 = 2 e f (x0) = f (8) = 2. Abbiamo anche che f '(x) = 1/3 * ³√x², e di conseguenza f' (8) = 1/3 * ³√8² = 1/3 * ³√64 = 1/3 * 4 = 1/12.

Sostituendo i dati nella formula, si ottiene che:

³√10 = f (10) ≈ 2 + (1/12) * 2 = 2 + 1/6 = 13/6 = 2,166666….

La calcolatrice dice che ³√10 ≈ 2.15443469… Pertanto, l'approssimazione trovata è buona.

Quarto esercizio

Approssimativo ln (1.3), dove "ln" denota la funzione logaritmo naturale.

Soluzione

Per prima cosa scegliamo come funzione f (x) = ln (x) e il valore di "x" è 1.3. Ora, conoscendo un po 'la funzione logaritmo, possiamo sapere che ln (1) = 0, e inoltre "1" è vicino a "1.3". Pertanto, "x0 = 1" viene scelto e quindi Δx = 1,3 - 1 = 0,3.

D'altra parte f '(x) = 1 / x, quindi f' (1) = 1. Quando valutiamo nella formula data abbiamo:

ln (1,3) = f (1,3) ≈ 0 + 1 * 0,3 = 0,3.

Usando una calcolatrice abbiamo che ln (1.3) ≈ 0.262364… Quindi l'approssimazione fatta è buona.

Riferimenti

1. Fleming, W. e Varberg, DE (1989). Precalculus Mathematics. Prentice Hall PTR.
2. Fleming, W. e Varberg, DE (1989). Precalculus matematica: un approccio alla risoluzione dei problemi (2, Illustrated ed.). Michigan: Prentice Hall.
3. Fleming, W. e Varberg, D. (1991). Algebra e trigonometria con geometria analitica. Pearson Education.
4. Larson, R. (2010). Precalculus (8 ed.). Cengage Learning.
5. Leal, JM e Viloria, NG (2005). Geometria analitica piana. Mérida - Venezuela: Editoriale Venezolana CA
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8. Saenz, J. (2005). Calcolo differenziale con le prime funzioni trascendenti per la scienza e l'ingegneria (seconda edizione ed.). Ipotenusa.
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