BASI ORTONORMALI: PROPRIETÀ, ESEMPI ED ESERCIZI - FISICO - 2026

Una base ortonormale è formata con vettori perpendicolari tra loro e il cui modulo è anche 1 (vettori unitari). Ricordiamo che una base B in uno spazio vettoriale V è definita come un insieme di vettori linearmente indipendenti in grado di generare detto spazio.

A sua volta, uno spazio vettoriale è un'entità matematica astratta tra cui elementi sono vettori, generalmente associati a grandezze fisiche come velocità, forza e spostamento o anche a matrici, polinomi e funzioni.

Figura 1. Base ortonormale nel piano. Fonte: Wikimedia Commons. Quartl.

I vettori hanno tre elementi distintivi: magnitudine o modulo, direzione e senso. Una base ortonormale è particolarmente utile per rappresentarli e operare con essi, poiché qualsiasi vettore che appartiene a un certo spazio vettoriale V può essere scritto come una combinazione lineare dei vettori che formano la base ortonormale.

In questo modo vengono eseguite analiticamente operazioni tra vettori, quali addizione, sottrazione e le diverse tipologie di prodotti definiti in detto spazio.

Tra le basi più utilizzate in fisica c'è la base formata dai vettori unitari i , j e k che rappresentano le tre direzioni distintive dello spazio tridimensionale: altezza, larghezza e profondità. Questi vettori sono noti anche come vettori canonici unitari.

Se invece i vettori venissero lavorati su un piano, due di queste tre componenti sarebbero sufficienti, mentre per i vettori unidimensionali ne basta uno solo.

Proprietà delle basi

1- Una base B è l'insieme più piccolo possibile di vettori che generano lo spazio vettoriale V.

2- Gli elementi di B sono linearmente indipendenti.

3- Qualsiasi base B di uno spazio vettoriale V, permette di esprimere tutti i vettori di V come una combinazione lineare di esso e questa forma è unica per ogni vettore. Per questo motivo, B è anche noto come sistema di generazione.

4- Lo stesso spazio vettoriale V può avere basi diverse.

Esempi di basi

Di seguito sono riportati alcuni esempi di basi ortonormali e basi in generale:

La base canonica in ℜ

Chiamato anche base naturale o base standard di ℜ ⁿ , dove ℜ ⁿ è lo spazio n-dimensionale, ad esempio lo spazio tridimensionale è ℜ ³ . Il valore di n è chiamato dimensione dello spazio vettoriale ed è indicato come dim (V).

Tutti i vettori appartenenti a ℜ ⁿ sono rappresentati da n-annunci ordinati. Per lo spazio ℜ ⁿ , la base canonica è:

e ₁ = <1,0,. . . , 0>; e ₂ = <0,1,. . . , 0>; …… .. e _n = <0,0,. . . , 1>

In questo esempio abbiamo usato la notazione con parentesi o "parentesi" e grassetto per i vettori unitari e ₁ , e ₂ , e ₃ …

La base canonica in ℜ

I vettori familiari i , j e k ammettono questa stessa rappresentazione e tutti e tre sono sufficienti per rappresentare i vettori in ℜ ³ :

i = <1,0,0>; j = <0,1,0>; k = <0,0,1>

Significa che la base può essere espressa così:

B = {<1,0,0>; <0,1,0>; <0,0,1>}

Per verificare che siano linearmente indipendenti, il determinante formato con loro è diverso da zero e anch'esso uguale a 1:

Deve anche essere possibile scrivere qualsiasi vettore appartenente a ℜ ³ come combinazione lineare di essi. Ad esempio, una forza le cui componenti rettangolari sono F _x = 4 N, F _y = -7 N e F _z = 0 N verrebbe scritta in forma vettoriale come questa:

F = <4, -7,0> N = 4 i -7 j + 0 k N.

Pertanto i , j e k costituiscono un sistema generatore di ℜ ³ .

Altre basi ortonormali in ℜ

La base standard descritta nella sezione precedente non è l'unica base ortonormale in ℜ ³ . Qui abbiamo ad esempio le basi:

B ₁ = {; <- sin θ, cos θ, 0>; <0,0,1>}

B ₂ = {<3/5, 4 / 5,0>; <- 4/5, 3 / 5.0>; <0,0,1>}

Si può dimostrare che queste basi sono ortonormali, per questo ricordiamo le condizioni che devono essere soddisfatte:

-I vettori che formano la base devono essere ortogonali tra loro.

-Ognuno di loro deve essere unitario.

Possiamo verificarlo sapendo che il determinante formato da loro deve essere diverso da zero e uguale a 1.

La base B ₁ è precisamente quella delle coordinate cilindriche ρ, φ e z, un altro modo di esprimere i vettori nello spazio.

Figura 2. Coordinate cilindriche. Fonte: Wikimedia Commons. Appassionato di matematica.

Esercizi risolti

- Esercizio 1

Mostra che la base B = {<3/5, 4 / 5,0>; <- 4/5, 3 / 5.0>; <0,0,1>} è ortonormale.

Soluzione

Per mostrare che i vettori sono perpendicolari tra loro, useremo il prodotto scalare, chiamato anche prodotto interno o punto di due vettori.

Lasciate ogni due vettori u e v , il loro prodotto scalare è definito da:

u • v = uv cosθ

Per distinguere i vettori dei loro moduli useremo il grassetto per la prima e le lettere normali per la seconda. θ è l'angolo tra u e v, quindi se sono perpendicolari, significa che θ = 90 ° e il prodotto scalare è zero.

In alternativa, se i vettori sono dati in termini di componenti: u =x, u _y , u _z > y v =x, v _y , v _z >, il prodotto scalare di entrambi, che è commutativo, viene calcolato in questo modo:

u • v = u _x .v _x + u _y .v _y + u _z .v _z

In questo modo, i prodotti scalari tra ciascuna coppia di vettori sono, rispettivamente:

i) <3/5, 4 / 5,0> • <- 4/5, 3 / 5,0> = (3/5). (- 4/5) + (4/5). ((3 / 5) + 0,0 = (-12/25) + (12/25) = 0

ii) <3/5, 4 / 5,0> • <0, 0,1> = 0

iii) <- 4/5, 3 / 5,0> • <0, 0,1> = 0

Per la seconda condizione, viene calcolato il modulo di ciascun vettore, ottenuto da:

│u │ = √ (u _x ² + u _y ² + u _z ² )

Pertanto, i moduli di ciascun vettore sono:

│ <3/5, 4 / 5,0> │ = √ = √ = √ (25/25) = 1

│ <-4/5, 3 / 5,0> │ = √ = √ = √ (25/25) = 1

│ <0, 0,1> │ = √ = 1

Quindi tutti e tre sono vettori unitari. Infine, il determinante che formano è diverso da zero e uguale a 1:

- Esercizio 2

Scrivi le coordinate del vettore w = <2, 3,1> in termini di base sopra.

Soluzione

Per fare ciò, viene utilizzato il seguente teorema:

w = < w • v ₁ > v ₁ + < w • v ₂ > v ₂ + < w • v ₃ > v ₃ +… < w • v _n > v _n

Ciò significa che possiamo scrivere il vettore in base B, utilizzando i coefficienti < w • v ₁ >, < w • v ₂ >,… < w • v _n >, per i quali dobbiamo calcolare i prodotti scalari indicati:

<2, 3,1> • <3/5, 4 / 5,0> = (2). (3/5) + (3). (4/5) + 1.0 = (6/5) + (12 / 5) = 18/5

<2, 3,1> • <- 4/5, 3 / 5,0> = (2). (- 4/5) + (3). (3/5) + 1.0 = (-8/5) + (9/5) = 1/5

<2, 3,1> • <0,0,1> = 1

Con i prodotti scalari ottenuti, viene costruita una matrice, chiamata matrice di coordinate w.

Pertanto le coordinate del vettore w nella base B sono espresse da:

_B =

La matrice delle coordinate non è il vettore, poiché un vettore non è uguale alle sue coordinate. Questi sono solo un insieme di numeri che servono per esprimere il vettore in una data base, non il vettore in quanto tale. Dipendono anche dalla base selezionata.

Infine, seguendo il teorema, il vettore w sarebbe espresso come segue :

w = (18/5) v ₁ + (1/5) v ₂ + v ₃

Con: v ₁ = <3/5, 4 / 5,0>; v ₂ = <- 4/5, 3 / 5.0>; v ₃ = <0,0,1>}, cioè i vettori della base B.

Riferimenti

1. Larson, R. Fondamenti di algebra lineare. 6 °. Edizione. Cengage Learning.
2. Larson, R. 2006. Calculus. 7 °. Edizione. Volume 2. McGraw Hill.
3. Salas, J. Algebra lineare. Unità 10. Basi ortonormali. Recupero da: ocw.uc3m.es.
4. Università di Siviglia. Coordinate cilindriche. Base vettoriale. Recupero da: laplace.us.es.
5. Wikipedia. Base ortonormale. Estratto da: es.wikipedia.org.