APPROSSIMAZIONE PREDEFINITA ED ECCESSO: COS'È ED ESEMPI - MATEMATICA - 2024

L' approssimazione sotto e sopra è un metodo numerico utilizzato per stabilire il valore di un numero secondo diverse scale di precisione. Ad esempio, il numero 235.623 è vicino a 235,6 per impostazione predefinita e 235,7 in eccesso. Se consideriamo i decimi come un limite di errore.

L'approssimazione consiste nel sostituire una cifra esatta con un'altra, dove tale sostituzione dovrebbe facilitare le operazioni di un problema matematico, preservando la struttura e l'essenza del problema.

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A ≈B

Si legge; A approssimativo B . Dove "A" rappresenta il valore esatto e "B" il valore approssimativo.

Numeri significativi

I valori con i quali viene definito un numero approssimativo sono noti come cifre significative. Nell'approssimazione dell'esempio sono state prese quattro cifre significative. La precisione di un numero è data dal numero di cifre significative che lo definiscono.

Gli zeri infiniti che possono essere posizionati sia a destra che a sinistra del numero non sono considerati cifre significative. La posizione della virgola non ha alcun ruolo nella definizione delle cifre significative di un numero.

750.385

. . . . 00,0075038500. . . .

75,038,5 milioni. . . . .

750.385.000. . . . .

. . . . . 000.007.503.850.000. . . . .

In cosa consiste?

Il metodo è abbastanza semplice; scegli il limite di errore, che non è altro che l'intervallo numerico in cui vuoi eseguire il taglio. Il valore di questo intervallo è direttamente proporzionale al margine di errore del numero approssimativo.

Nell'esempio sopra 235.623 possiede millesimi (623). Quindi è stata effettuata l'approssimazione ai decimi. Il valore in eccesso (235,7) corrisponde al valore più significativo in decimi immediatamente dopo il numero originale.

D'altra parte, il valore predefinito (235,6) corrisponde al valore più vicino e più significativo in decimi che è prima del numero originale.

L'approssimazione numerica è abbastanza comune nella pratica con i numeri. Altri metodi ampiamente utilizzati sono l' arrotondamento e il troncamento ; che rispondono a diversi criteri per l'assegnazione dei valori.

Il margine di errore

Quando si definisce l'intervallo numerico che il numero coprirà dopo essere stato approssimato, si definisce anche il limite di errore che accompagna la figura. Questo sarà indicato con un numero razionale esistente o significativo nell'intervallo assegnato.

Nell'esempio iniziale, i valori definiti da eccesso (235,7) e per impostazione predefinita (235,6) hanno un errore approssimativo di 0,1. Negli studi statistici e probabilistici vengono gestiti 2 tipi di errori rispetto al valore numerico; errore assoluto e errore relativo.

Bilancia

I criteri per stabilire gli intervalli di approssimazione possono essere molto variabili e sono strettamente correlati alle specifiche dell'elemento da approssimare. Nei paesi con un'inflazione elevata, le approssimazioni in eccesso ignorano alcuni intervalli numerici, poiché questi sono inferiori alla scala inflazionistica.

In questo modo, con un'inflazione superiore al 100%, un venditore non aggiusterà un prodotto da $ 50 a $ 55 ma lo approssimerà a $ 100, ignorando così le unità e le decine avvicinandosi direttamente al cento.

Utilizzando la calcolatrice

Le calcolatrici convenzionali portano con sé la modalità FIX, in cui l'utente può configurare il numero di cifre decimali che desidera ricevere nei risultati. Questo genera errori che devono essere considerati quando si effettuano calcoli esatti.

Approssimazione di numeri irrazionali

Alcuni valori ampiamente utilizzati nelle operazioni numeriche appartengono all'insieme dei numeri irrazionali, la cui caratteristica principale è quella di avere un numero indeterminato di cifre decimali.

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Valori come:

• π = 3,141592654….
• e = 2,718281828 …
• √2 = 1,414213562…

Sono comuni nella sperimentazione e i loro valori devono essere definiti in un certo range, tenendo conto dei possibili errori generati.

A cosa servono?

Nel caso di divisione (1 ÷ 3), si osserva attraverso la sperimentazione, la necessità di stabilire un taglio nel numero di operazioni effettuate per definirne il numero.

1 ÷ 3 = 0,333333. . . . . .

1 ÷ 3 3/10 = 0,3

1 ÷ 3 33/100 = 0,33

1 ÷ 3333/1000 = 0,333

1 ÷ 3 3333/10000 = 0,3333

1 ÷ 3 333333. . . . . / 10000. . . . . = 0,333333. . . . .

Viene presentata un'operazione che può essere perpetuata indefinitamente, quindi è necessario approssimare a un certo punto.

In caso di:

1 ÷ 3 333333. . . . . / 10000. . . . . = 0,333333. . . . .

Per ogni punto stabilito come margine di errore si otterrà un numero inferiore al valore esatto di (1 ÷ 3). In questo modo, tutte le approssimazioni fatte in precedenza sono approssimazioni di default di (1 ÷ 3).

Esempi

Esempio 1

1. Quale dei seguenti numeri è un'approssimazione predefinita di 0,0127

• 0,13
• 0.012; È un'approssimazione predefinita di 0,0127
• 0.01; È un'approssimazione predefinita di 0,0127
• 0,0128

Esempio 2

1. Quale dei seguenti numeri è un'approssimazione in eccesso di 23.435

• 24; è un'approssimazione in eccesso di 23.435
• 23.4
• 23.44; è un'approssimazione in eccesso di 23.435
• 23,5; è un'approssimazione in eccesso di 23.435

Esempio 3

1. Definire i seguenti numeri utilizzando un'approssimazione predefinita , con il limite di errore specificato.

• 547.2648 …. Per millesimi, centesimi e decine.

Migliaia: I millesimi corrispondono alle prime 3 cifre dopo la virgola, dove dopo 999 viene l'unità. Procediamo approssimando 547.264.

Centesimi: indicati dalle prime 2 cifre dopo la virgola, i centesimi devono incontrarsi, 99 per raggiungere l'unità. In questo modo, si avvicina di default a 547.26.

Decine: in questo caso il limite di errore è molto più alto, perché l'intervallo di approssimazione è definito all'interno dei numeri interi. Quando approssimati per impostazione predefinita nei dieci, ottieni 540.

Esempio 4

1. Definire i seguenti numeri utilizzando un'approssimazione in eccesso , con il limite di errore specificato.

• 1204,27317 Per decimi, centinaia e uno.

Decimi: si riferisce alla prima cifra dopo la virgola, dove l'unità è composta dopo 0.9. Avvicinarsi ai decimi in eccesso dà 1204,3 .

Centinaia: ancora una volta si osserva un limite di errore il cui intervallo è compreso tra i numeri interi della figura. Approssimando le centinaia per eccesso si ottiene 1300 . Questa cifra è notevolmente diversa da 1204.27317. Per questo motivo, le approssimazioni non vengono solitamente applicate ai valori interi.

Unità: avvicinandosi eccessivamente all'unità, si ottiene 1205.

Esempio 5

1. Una sarta taglia una lunghezza di tessuto lungo 135,3 cm per creare una bandiera di 7855 cm ² . Quanto misurerà l'altro lato se usi un righello convenzionale che segna fino a millimetri.

Approssimare i risultati per eccesso e difetto .

L'area della bandiera è rettangolare ed è definita da:

A = lato x lato

lato = A / lato

lato = 7855 cm ² / 135,3 cm

lato = 58.05617147 cm

Grazie all'apprezzamento della regola possiamo ottenere dati fino a millimetri, che corrisponde alla gamma dei decimali rispetto al centimetro.

Quindi 58 cm è un'approssimazione predefinita.

Mentre 58,1 è un'approssimazione in eccesso.

Esempio 6

1. Definisci 9 valori che possono essere numeri esatti in ciascuna delle approssimazioni:

• 34.071 risultati da millesimi approssimativi per impostazione predefinita

34.07124 34.07108 34.07199

34.0719 34.07157 34.07135

34.0712 34.071001 34.07176

• 0,012 risulta da millesimi approssimativi per impostazione predefinita

0,01291 0,012099 0,01202

0,01233 0,01223 0,01255

0,01201 0,0121457 0,01297

• 23,9 risulta dall'approssimare i decimi per eccesso

23.801 23.85555 23.81

23.89 23.8324 23.82

23,833 23,84 23,80004

• 58.37 è il risultato dell'approssimazione dei centesimi per eccesso

58.3605 58.36001 58.36065

58.3655 58.362 58.363

58.3623 58.361 58.3634

Esempio 7

1. Approssimare ogni numero irrazionale in base al limite di errore indicato:

• π = 3,141592654….

Migliaia di default π = 3,141

Migliaia per eccesso π = 3,142

Centesimi per impostazione predefinita π = 3,14

Centesimi in eccesso π = 3,15

Decimi di default π = 3,1

Decimi per eccesso π = 3,2

• e = 2,718281828 …

Migliaia di default e = 2,718

Migliaia di eccedenza e = 2,719

Centesimi per impostazione predefinita e = 2,71

Centesimi in eccesso e = 2,72

Decimi di default e = 2.7

Decimi in eccesso e = 2.8

• √2 = 1,414213562…

Migliaia di default √2 = 1,414

Migliaia di eccedenza √2 = 1,415

Centesimi per impostazione predefinita √2 = 1,41

Centesimi in eccesso √2 = 1,42

Decimi di default √2 = 1.4

Decimi in eccesso √2 = 1,5

• 1 ÷ 3 = 0,3333333. . . . .

Migliaia di default 1 ÷ 3 = 0,332

Migliaia di eccedenza 1 ÷ 3 = 0,334

Centesimi di default 1 ÷ 3 = 0,33

Centesimi in eccesso 1 ÷ 3 = 0,34

Decimi di default 1 ÷ 3 = 0,3

Decimi in eccesso 1 ÷ 3 = 0,4

Riferimenti

1. Problemi nell'analisi matematica. Piotr Biler, Alfred Witkowski. Università di Wroclaw. Polonia.
2. Introduzione alla logica e alla metodologia delle scienze deduttive. Alfred Tarski, New York Oxford. La stampa dell'università di Oxford.
3. The Arithmetic Teacher, Volume 29. National Council of Teachers of Mathematics, 1981. Università del Michigan.
4. Apprendimento e insegnamento della teoria dei numeri: ricerca in cognizione e istruzione / a cura di Stephen R. Campbell e Rina Zazkis. Pubblicazione di Ablex 88 Post Road West, Westport CT 06881.
5. Bernoulli, J. (1987). Ars Conjectandi- 4ème partie. Rouen: IREM.