BACKGROUND STORICO DELLA GEOMETRIA ANALITICA - MATEMATICA - 2024

Gli antecedenti storici della geometria analitica risalgono al XVII secolo, quando Pierre de Fermat e René Descartes ne definirono l'idea fondamentale. La sua invenzione ha seguito la modernizzazione dell'algebra e della notazione algebrica di François Viète.

Questo campo ha le sue basi nell'antica Grecia, soprattutto nelle opere di Apollonio ed Euclide, che hanno avuto una grande influenza in quest'area della matematica.

L'idea essenziale alla base della geometria analitica è che una relazione tra due variabili, tale che una sia funzione dell'altra, definisce una curva.

Questa idea è stata sviluppata per la prima volta da Pierre de Fermat. Grazie a questo quadro essenziale, Isaac Newton e Gottfried Leibniz sono stati in grado di sviluppare il calcolo.

Il filosofo francese Descartes scoprì anche un approccio algebrico alla geometria, apparentemente da solo. Il lavoro di Descartes sulla geometria appare nel suo famoso libro Discorso sul metodo.

Questo libro sottolinea che le costruzioni geometriche del compasso e del bordo diritto implicano addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni e radici quadrate.

La geometria analitica rappresenta l'unione di due importanti tradizioni in matematica: la geometria come studio della forma, e l'aritmetica e l'algebra, che hanno a che fare con la quantità o i numeri. Pertanto, la geometria analitica è lo studio del campo della geometria utilizzando sistemi di coordinate.

Storia

Sfondo di geometria analitica

La relazione tra geometria e algebra si è evoluta nel corso della storia della matematica, sebbene la geometria abbia raggiunto uno stadio di maturità precedente.

Ad esempio, il matematico greco Euclide è stato in grado di organizzare molti risultati nel suo libro classico The Elements.

Ma fu l'antico greco Apollonio di Perga a predire lo sviluppo della geometria analitica nel suo libro Conics. Ha definito una conica come l'intersezione tra un cono e un piano.

Usando i risultati di Euclide su triangoli e secanti di cerchi simili, ha trovato una relazione data dalle distanze da qualsiasi punto "P" di una conica a due rette perpendicolari, l'asse maggiore di una conica e la tangente a un punto finale dell'asse. Apollonio usò questa relazione per dedurre le proprietà fondamentali delle coniche.

Il successivo sviluppo dei sistemi di coordinate in matematica è emerso solo dopo che l'algebra era maturata grazie ai matematici islamici e indiani.

Fino al Rinascimento, la geometria era usata per giustificare soluzioni a problemi algebrici, ma non c'era molto che l'algebra potesse contribuire alla geometria.

Questa situazione cambierebbe con l'adozione di una comoda notazione per le relazioni algebriche e lo sviluppo del concetto di funzione matematica, ora possibile.

Secolo XVI

Alla fine del XVI secolo, il matematico francese François Viète introdusse la prima notazione algebrica sistematica, utilizzando lettere per rappresentare quantità numeriche, sia note che sconosciute.

Ha inoltre sviluppato potenti metodi generali per lavorare con espressioni algebriche e risolvere equazioni algebriche.

Grazie a ciò, i matematici non erano completamente dipendenti dalle figure geometriche e dall'intuizione geometrica per risolvere i problemi.

Anche alcuni matematici hanno iniziato ad abbandonare il modo di pensare geometrico standard, secondo cui le variabili lineari di lunghezze e quadrati corrispondono alle aree, mentre le variabili cubiche corrispondono ai volumi.

I primi a compiere questo passo furono il filosofo e matematico René Descartes e l'avvocato e matematico Pierre de Fermat.

Fondamenti di geometria analitica

Descartes e Fermat fondarono indipendentemente la geometria analitica durante il 1630, adottando l'algebra di Viète per lo studio del locus.

Questi matematici si resero conto che l'algebra era un potente strumento di geometria e inventarono quella che oggi è conosciuta come geometria analitica.

Una svolta che hanno fatto è stata quella di superare Viète utilizzando lettere per rappresentare distanze variabili piuttosto che fisse.

Descartes ha utilizzato le equazioni per studiare le curve definite geometricamente e ha sottolineato la necessità di considerare le curve algebrico-grafiche generali delle equazioni polinomiali in gradi "x" e "y".

Da parte sua, Fermat ha sottolineato che qualsiasi relazione tra le coordinate "x" e "y" determina una curva.

Usando queste idee, ristrutturò le affermazioni di Apollonio in termini algebrici e restaurò alcune delle sue opere perdute.

Fermat ha indicato che qualsiasi equazione quadratica in "x" e "y" può essere collocata nella forma standard di una delle sezioni coniche. Nonostante ciò, Fermat non ha mai pubblicato il suo lavoro sull'argomento.

Grazie ai loro progressi, ciò che Archimede poteva risolvere solo con grande difficoltà e per casi isolati, Fermat e Descartes potevano risolvere rapidamente e per un gran numero di curve (ora note come curve algebriche).

Ma le sue idee ottennero l'accettazione generale solo attraverso gli sforzi di altri matematici nella seconda metà del XVII secolo.

I matematici Frans van Schooten, Florimond de Beaune e Johan de Witt hanno contribuito a espandere il lavoro di Decartes e hanno aggiunto importante materiale aggiuntivo.

Influenza

In Inghilterra John Wallis rese popolare la geometria analitica. Ha usato le equazioni per definire le coniche e derivarne le proprietà. Sebbene usasse liberamente le coordinate negative, fu Isaac Newton che usò due assi obliqui per dividere il piano in quattro quadranti.

Newton e il tedesco Gottfried Leibniz rivoluzionarono la matematica alla fine del XVII secolo dimostrando in modo indipendente la potenza del calcolo.

Newton ha dimostrato l'importanza dei metodi analitici in geometria e il loro ruolo nel calcolo, quando ha affermato che ogni cubo (o qualsiasi curva algebrica di terzo grado) ha tre o quattro equazioni standard per assi coordinati adatti. Con l'aiuto dello stesso Newton, il matematico scozzese John Stirling lo dimostrò nel 1717.

Geometria analitica di tre e più dimensioni

Sebbene sia Descartes che Fermat suggerissero di utilizzare tre coordinate per studiare curve e superfici nello spazio, la geometria analitica tridimensionale si sviluppò lentamente fino al 1730.

I matematici Eulero, Hermann e Clairaut hanno prodotto equazioni generali per cilindri, coni e superfici di rivoluzione.

Ad esempio, Eulero ha utilizzato le equazioni per le traslazioni nello spazio per trasformare la superficie quadratica generale in modo che i suoi assi principali coincidano con i suoi assi coordinati.

Euler, Joseph-Louis Lagrange e Gaspard Monge resero la geometria analitica indipendente dalla geometria sintetica (non analitica).

Riferimenti

1. Lo sviluppo della geometria analitica (2001). Recuperato da enciclopedia.com
2. Storia della geometria analitica (2015). Recuperato da maa.org
3. Analisi (matematica). Recuperato da britannica.com
4. Geometria analitica. Recuperato da britannica.com
5. Descartes e la nascita della geometria analitica. Recupero da sciencedirect.com