- Termini importanti
- metodi
- - Passaggi per applicare l'analisi della mesh
- Passo 1
- Passo 2
- Mesh abcda
- Soluzione di sistema con il metodo di Cramer
- Passaggio 1: calcolare Δ
- Passaggio 3: calcola I.
- Passaggio 4: calcolare Δ
- Soluzione
- Maglia 3
- Tabella delle correnti e delle tensioni in ciascuna resistenza
- La soluzione della regola di Cramer
- Riferimenti
L' analisi della mesh è una tecnica utilizzata per risolvere i piani dei circuiti elettrici. Questa procedura può anche apparire in letteratura come il metodo delle correnti di circuito o il metodo delle correnti di maglia (o loop).
Il fondamento di questo e di altri metodi di analisi dei circuiti elettrici è nelle leggi di Kirchhoff e nella legge di Ohm. Le leggi di Kirchhoff, a loro volta, sono espressioni di due principi di conservazione molto importanti in Fisica per sistemi isolati: sia la carica elettrica che l'energia sono conservate.
Figura 1. I circuiti fanno parte di innumerevoli dispositivi. Fonte: Pixabay.
Da un lato la carica elettrica è correlata alla corrente, che è carica in movimento, mentre in un circuito l'energia è legata alla tensione, che è l'agente incaricato di svolgere il lavoro necessario a mantenere in movimento la carica.
Queste leggi, applicate a un circuito piatto, generano un insieme di equazioni simultanee che devono essere risolte per ottenere i valori di corrente o tensione.
Il sistema di equazioni può essere risolto con tecniche analitiche ben note, come la regola di Cramer, che richiede il calcolo dei determinanti per ottenere la soluzione del sistema.
A seconda del numero di equazioni, vengono risolte utilizzando una calcolatrice scientifica o un software matematico. Ci sono anche molte opzioni disponibili online.
Termini importanti
Prima di spiegare come funziona, inizieremo definendo questi termini:
Ramo : sezione che contiene un elemento del circuito.
Nodo : punto che collega due o più rami.
Loop: è una qualsiasi parte chiusa di un circuito, che inizia e finisce nello stesso nodo.
Mesh : loop che non contiene nessun altro loop all'interno (mesh essenziale).
metodi
L'analisi della mesh è un metodo generale utilizzato per risolvere circuiti i cui elementi sono collegati in serie, in parallelo o in modo misto, cioè quando il tipo di connessione non è chiaramente distinto. Il circuito deve essere piatto, o almeno deve essere possibile ridisegnarlo come tale.
Figura 2. Circuiti piatti e non piatti. Fonte: Alexander, C. 2006. Fondamenti di circuiti elettrici. 3 °. Edizione. Mc Graw Hill.
Un esempio di ogni tipo di circuito è mostrato nella figura sopra. Una volta che il punto è chiaro, per iniziare, applicheremo il metodo a un semplice circuito come esempio nella sezione successiva, ma prima esamineremo brevemente le leggi di Ohm e Kirchhoff.
Legge di Ohm: sia V la tensione, R la resistenza e I la corrente dell'elemento resistivo ohmico, in cui la tensione e la corrente sono direttamente proporzionali, essendo la resistenza la costante di proporzionalità:
Legge della tensione di Kirchhoff (LKV): in qualsiasi percorso chiuso percorso in una sola direzione, la somma algebrica delle tensioni è zero. Ciò include le tensioni dovute a sorgenti, resistori, induttori o condensatori: ∑ E = ∑ R i . io
Legge della corrente di Kirchhoff (LKC): in ogni nodo, la somma algebrica delle correnti è zero, tenendo conto che alle correnti in entrata è assegnato un segno e quelle che ne escono un altro. In questo modo: ∑ I = 0.
Con il metodo della corrente mesh, non è necessario applicare l'attuale legge di Kirchhoff, con il risultato di un minor numero di equazioni da risolvere.
- Passaggi per applicare l'analisi della mesh
Inizieremo spiegando il metodo per un circuito a 2 mesh. La procedura può quindi essere estesa per circuiti più grandi.
Figura 3. Circuito con resistenze e sorgenti disposte su due maglie. Fonte: F. Zapata.
Passo 1
Assegna e disegna correnti indipendenti a ciascuna mesh, in questo esempio sono I 1 e I 2 . Possono essere disegnati in senso orario o antiorario.
Passo 2
Applica la legge delle tensioni di Kirchhoff (LTK) e la legge di Ohm a ciascuna mesh. Alle potenziali cadute viene assegnato un segno (-) mentre alle alzate viene assegnato un segno (+).
Mesh abcda
Partendo dal punto a e seguendo la direzione della corrente, troviamo un potenziale aumento della batteria E1 (+), quindi una caduta in R 1 (-) e poi un'altra caduta in R 3 (-).
Contemporaneamente anche la resistenza R 3 è attraversata dalla corrente I 2 , ma in senso inverso, quindi rappresenta un rialzo (+). La prima equazione ha questo aspetto:
Quindi viene scomposto e i termini vengono raggruppati:
---------
-50 I 1 + 10I 2 = -12
Trattandosi di un sistema di equazioni 2 x 2, può essere facilmente risolto per riduzione, moltiplicando la seconda equazione per 5 per eliminare l'ignoto I 1 :
-50 I 1 + 10 I 2 = -12
Immediatamente la corrente I 1 viene cancellata da una qualsiasi delle equazioni originali:
Il segno negativo nella corrente I 2 significa che la corrente nella maglia 2 circola in direzione opposta a quella tracciata.
Le correnti in ogni resistenza sono le seguenti:
La corrente I 1 = 0,16 A scorre attraverso la resistenza R 1 nel verso disegnato, attraverso la resistenza R 2 la corrente I 2 = 0,41 A scorre in senso opposto a quello disegnato, e attraverso la resistenza R 3 scorre i 3 = 0,16- ( -0,41) LA = 0,57 A in calo.
Soluzione di sistema con il metodo di Cramer
In forma matriciale, il sistema può essere risolto come segue:
Passaggio 1: calcolare Δ
La prima colonna è sostituita dai termini indipendenti del sistema di equazioni, mantenendo l'ordine in cui il sistema è stato originariamente proposto:
Passaggio 3: calcola I.
Passaggio 4: calcolare Δ
Figura 4. Circuito a 3 maglie. Fonte: Boylestad, R. 2011. Introduzione all'analisi dei circuiti.2da. Edizione. Pearson.
Soluzione
Le tre correnti di maglia vengono tracciate, come mostrato nella figura seguente, in direzioni arbitrarie. Ora le mesh vengono attraversate partendo da un punto qualsiasi:
Figura 5. Correnti della maglia per l'esercizio 2. Fonte: F. Zapata, modificato da Boylestad.
Maglia 1
-9100.I 1 + 18-2200.I 1 + 9100.I 2 = 0
Maglia 3
Sistema di equazioni
Sebbene i numeri siano grandi, può essere risolto rapidamente con l'aiuto di una calcolatrice scientifica. Ricorda che le equazioni devono essere ordinate e aggiungi zeri nei punti in cui l'ignoto non appare, come appare qui.
Le correnti di maglia sono:
Le correnti I 2 e I 3 circolano in direzione opposta a quella mostrata in figura, essendo risultate negative.
Tabella delle correnti e delle tensioni in ciascuna resistenza
| Resistenza (Ω) | Corrente (Amp) | Voltaggio = IR (Volt) |
|---|---|---|
| 9100 | I 1 –I 2 = 0,0012 - (- 0,00048) = 0,00168 | 15.3 |
| 3300 | 0,00,062 mila | 2.05 |
| 2200 | 0,0012 | 2.64 |
| 7500 | 0,00,048 mila | 3.60 |
| 6800 | I 2 –I 3 = -0.00048 - (- 0.00062) = 0.00014 | 0.95 |
La soluzione della regola di Cramer
Poiché sono numeri grandi, è conveniente utilizzare la notazione scientifica per lavorarci direttamente.
Calcolo di I 1
Le frecce colorate nel determinante 3 x 3 indicano come trovare i valori numerici, moltiplicando i valori indicati. Cominciamo ottenendo quelli della prima parentesi nel determinante Δ:
(-11300) x (-23400) x (-10100) = -2,67 x 10 12
9100 x 0 x 0 = 0
9100 x 6800 x 0 = 0
Immediatamente otteniamo la seconda parentesi nello stesso determinante, che viene lavorata da sinistra verso destra (per questa parentesi le frecce colorate non sono state disegnate in figura). Invitiamo il lettore a verificarlo:
0 x (-23400) x 0 = 0
9100 x 9100 x (-10100) = -8,364 x 10 11
6800 x 6800 x (-11300) = -5,225 x 10 11
Allo stesso modo, il lettore può anche controllare i valori per il determinante Δ 1 .
Importante: tra entrambe le parentesi c'è sempre un segno negativo.
Infine la corrente I 1 si ottiene tramite I 1 = Δ 1 / Δ
Calcolo di I 2
La procedura può essere ripetuta per calcolare I 2 , in questo caso, per calcolare il determinante Δ 2 , la seconda colonna del determinante Δ viene sostituita dalla colonna dei termini indipendenti e se ne trova il valore, secondo la procedura spiegata.
Tuttavia, essendo ingombrante a causa dei grandi numeri, soprattutto se non si dispone di una calcolatrice scientifica, la cosa più semplice è sostituire il valore di I 1 già calcolato, nella seguente equazione e risolvere:
Calcolo di I3
Una volta con i valori di I 1 e I 2 in mano, quello di I 3 si trova direttamente per sostituzione.
Riferimenti
- Alexander, C. 2006. Fondamenti di circuiti elettrici. 3 °. Edizione. Mc Graw Hill.
- Boylestad, R. 2011. Introduzione alla Circuit Analysis.2da. Edizione. Pearson.
- Figueroa, D. (2005). Serie: Fisica per la scienza e l'ingegneria. Volume 5. Interazione elettrica. A cura di Douglas Figueroa (USB).
- García, L. 2014. Elettromagnetismo. 2 °. Edizione. Università industriale di Santander.
- Sears, Zemansky. 2016. Fisica universitaria con fisica moderna. 14. Ed. Volume 2.