- Formula
- Dimostrazione
- Coefficienti del polinomio di interpolazione
- Calcolo dell'integrale approssimativo in
- Calcolo approssimativo dell'integrale in
- Errore di approssimazione
- Esempi lavorati
- - Esempio 1
- Soluzione
- Riferimenti
La regola di Simpson è un metodo per calcolare, approssimativamente, integrali definiti. Si basa sulla divisione dell'intervallo di integrazione in un numero pari di sottointervalli equidistanti.
I valori estremi di due sottointervalli consecutivi definiscono tre punti, secondo i quali si adatta una parabola, la cui equazione è un polinomio di secondo grado.
Figura 1. Nel metodo di Simpson, l'intervallo di integrazione è suddiviso in un numero pari di intervalli di uguale larghezza. La funzione è approssimata da una parabola ogni 2 sottointervalli e l'integrale è approssimato dalla somma dell'area sotto le parabole. Fonte: upv.es.
Quindi l'area sotto la curva della funzione nei due intervalli consecutivi viene approssimata dall'area del polinomio di interpolazione. Sommando il contributo all'area sotto la parabola di tutti i successivi sottointervalli, si ha il valore approssimativo dell'integrale.
D'altra parte, poiché l'integrale di una parabola può essere calcolato esattamente algebricamente, allora è possibile trovare una formula analitica per il valore approssimativo dell'integrale definito. È noto come la formula Simpson.
L'errore del risultato approssimativo così ottenuto diminuisce al crescere del numero di suddivisioni n (dove n è un numero pari).
Di seguito verrà fornita un'espressione che consente di stimare il limite superiore dell'errore di approssimazione all'integrale I, quando è stata effettuata una partizione di n sottointervalli regolari dell'intervallo totale.
Formula
L'intervallo di integrazione è suddiviso in n sottointervalli dove n è un numero intero pari. La larghezza di ogni suddivisione sarà:
h = (b - a) / n
In questo modo, la partizione viene eseguita nell'intervallo:
{X0, X1, X2,…, Xn-1, Xn}
Dove X0 = a, X1 = X0 + h, X2 = X0 + 2h,…, Xn-1 = X0 + (n-1) h, Xn = X0 + nh = b.
La formula che permette di approssimare l'integrale definito I della funzione continua, e preferibilmente liscia, nell'intervallo è:
Dimostrazione
Per ottenere la formula di Simpson, in ogni sottointervallo la funzione f (X) è approssimata da un polinomio di secondo grado p (X) (parabola) che passa per i tre punti :; e .
Quindi viene calcolato l'integrale del polinomio p (x) in cui approssima l'integrale della funzione f (X) in quell'intervallo.
Figura 2. Grafico per dimostrare la formula di Simpson. Fonte: F. Zapata.
Coefficienti del polinomio di interpolazione
L'equazione della parabola p (X) ha la forma generale: p (X) = AX 2 + BX + C.Poiché la parabola passa per i punti Q indicati in rosso (vedi figura), allora i coefficienti A, B, C sono determinati dal seguente sistema di equazioni:
A (-h) 2 - B h + C = f (Xi)
C = f (Xi + 1)
A (h) 2 + B h + C = f (Xi + 2)
Si può vedere che il coefficiente C è determinato. Per determinare il coefficiente A aggiungiamo la prima e la terza equazione ottenendo:
2 A h 2 + 2 C = f (Xi) + f (Xi + 2).
Quindi il valore di C viene sostituito e A viene cancellato, lasciando:
A = / (2 ore 2 )
Per determinare il coefficiente B, la terza equazione viene sottratta dalla prima e B viene risolta, ottenendo:
B = = 2 h.
In sintesi, il polinomio di secondo grado p (X) che passa per i punti Qi, Qi + 1 e Qi + 2 ha coefficienti:
A = / (2 ore 2 )
B = = 2 h
C = f (Xi + 1)
Calcolo dell'integrale approssimativo in
Calcolo approssimativo dell'integrale in
Come già accennato, una partizione {X0, X1, X2,…, Xn-1, Xn} viene creata sull'intervallo di integrazione totale con passo h = Xi + 1 - Xi = (b - a) / n, dove n è un numero pari.
Errore di approssimazione
Notare che l'errore diminuisce con la quarta potenza del numero di suddivisioni nell'intervallo. Ad esempio, se passi da n suddivisioni a 2n, l'errore diminuisce di un fattore 1/16.
Il limite superiore dell'errore ottenuto mediante l'approssimazione di Simpson può essere ottenuto da questa stessa formula, sostituendo la quarta derivata al valore massimo assoluto della quarta derivata nell'intervallo.
Esempi lavorati
- Esempio 1
Considera la funzione f (X) = 1 / (1 + X 2 ).
Trova l'integrale definito della funzione f (X) sull'intervallo usando il metodo di Simpson con due suddivisioni (n = 2).
Soluzione
Prendiamo n = 2. I limiti di integrazione sono a = -1 eb = -2, quindi la partizione ha questo aspetto:
X0 = -1; X1 = 0 e X2 = +1.
Pertanto, la formula di Simpson assume la seguente forma:
Figura 3. Esempio di integrazione numerica secondo la regola di Simpson utilizzando il software. Fonte: F. Zapata.
Riferimenti
- Casteleiro, JM 2002. Comprehensive Calculus (Illustrated Edition). Madrid: editoriale ESIC.
- UPV. Il metodo di Simpson. Politecnico di Valencia. Estratto da: youtube.com
- Purcell, E. 2007. Calculus Ninth Edition. Prentice Hall.
- Wikipedia. La regola di Simpson. Estratto da: es.wikipedia.com
- Wikipedia. Interpolazione polinomiale di Lagrange. Estratto da: es.wikipedia.com