- Formule ed equazioni
- Variazione della pressione con la profondità
- Soluzione dell'equazione differenziale
- Esempi
- Il principio di Pascal
- Il paradosso idrostatico di Stevin
- esercizi
- Esercizio 1
- Contenitore 1
- Contenitore 2
- Esercizio 2
- Soluzione
- Riferimenti
La pressione relativa P m è quella misurata rispetto ad una pressione di riferimento, che nella maggior parte dei casi viene scelta come pressione atmosferica P atm a livello del mare. È quindi una pressione relativa, un altro termine con il quale è anche noto.
L'altro modo in cui la pressione viene solitamente misurata è confrontandola con il vuoto assoluto, la cui pressione è sempre zero. In questo caso parliamo di pressione assoluta, che indicheremo con P a .
Figura 1. Pressione assoluta e pressione relativa. Fonte: F. Zapata.
La relazione matematica tra queste tre quantità è:
Così:
La figura 1 illustra convenientemente questa relazione. Poiché la pressione del vuoto è 0, la pressione assoluta è sempre positiva, così come la pressione atmosferica P atm .
La pressione relativa è spesso usata per denotare pressioni superiori alla pressione atmosferica, come quella che si trova nei pneumatici o quella sul fondo del mare o di una piscina, che è esercitata dal peso della colonna d'acqua. . In questi casi P m > 0, poiché P a > P atm .
Tuttavia, ci sono pressioni assolute inferiori a P atm . In questi casi, P m <0 e viene chiamato vuoto e non va confuso con il vuoto già descritto, ovvero l'assenza di particelle in grado di esercitare pressione.
Formule ed equazioni
La pressione in un fluido -liquido o gas- è una delle variabili più significative nel suo studio. In un fluido stazionario, la pressione è la stessa in tutti i punti alla stessa profondità indipendentemente dall'orientamento, mentre il movimento dei fluidi nei tubi è causato da variazioni di pressione.
La pressione media è definita come il quoziente tra la forza perpendicolare ad una superficie F ⊥ e l'area di detta superficie A, che si esprime matematicamente come segue:
La pressione è una quantità scalare, le cui dimensioni sono la forza per unità di area. Le unità della sua misura nel Sistema internazionale di unità (SI) sono newton / m 2 , chiamato Pascal e abbreviato in Pa, in onore di Blaise Pascal (1623-1662).
Spesso vengono utilizzati multipli come kilo (10 3 ) e mega (10 6 ), poiché la pressione atmosferica è solitamente compresa tra 90.000 e 102.000 Pa, che è pari a: 90-102 kPa. Le pressioni dell'ordine dei megapascal non sono rare, quindi è importante familiarizzare con i prefissi.
Nelle unità anglosassoni la pressione è misurata in libbre / piedi 2 , tuttavia, è comune farlo in libbre / pollice 2 o psi (libbre forza per pollice quadrato).
Variazione della pressione con la profondità
Più ci immergiamo nell'acqua di una piscina o nel mare, maggiore è la pressione che subiamo. Al contrario, all'aumentare dell'altezza, la pressione atmosferica diminuisce.
La pressione atmosferica media a livello del mare è stabilita a 101.300 Pa o 101,3 kPa, mentre nella Fossa delle Marianne nel Pacifico occidentale - la profondità più profonda conosciuta - è circa 1000 volte maggiore e in cima all'Everest è solo 34 kPa.
È chiaro che pressione e profondità (o altezza) sono correlate. Per scoprirlo, nel caso di un fluido a riposo (equilibrio statico), si considera una porzione di fluido a forma di disco, confinata in un contenitore, (vedi figura 2). Il disco ha una sezione trasversale di area A, peso dW e altezza dy.
Figura 2. Elemento differenziale del fluido in equilibrio statico. Fonte: Fanny Zapata.
Chiameremo P la pressione che esiste alla profondità "y" e P + dP la pressione che esiste alla profondità (y + dy). Poiché la densità ρ del fluido è il rapporto tra la sua massa dm e il suo volume dV, abbiamo:
Pertanto il peso dW dell'elemento è:
E ora si applica la seconda legge di Newton:
Soluzione dell'equazione differenziale
Integrando entrambi i lati e considerando che la densità ρ, così come la gravità g sono costanti, si trova l'espressione ricercata:
Se nell'espressione precedente si sceglie P 1 come pressione atmosferica ey 1 come superficie del liquido, allora y 2 si trova ad una profondità he ΔP = P 2 - P atm è la pressione relativa in funzione della profondità:
Nel caso in cui sia necessario il valore della pressione assoluta, è sufficiente aggiungere la pressione atmosferica al risultato precedente.
Esempi
Un dispositivo chiamato manometro viene utilizzato per misurare la pressione relativa, che generalmente offre differenze di pressione. Alla fine verrà descritto il principio di funzionamento di un manometro a tubo a U, ma ora vediamo alcuni importanti esempi e conseguenze dell'equazione derivata in precedenza.
Il principio di Pascal
L'equazione Δ P = ρ .g. (Y 2 - y 1 ) può essere scritta come P = Po + ρ .gh, dove P è la pressione alla profondità h, mentre P o è la pressione alla superficie del fluido, di solito P atm .
Ovviamente, ogni volta che Po aumenta, P aumenta della stessa quantità, purché sia un fluido la cui densità è costante. Questo è precisamente quanto si è assunto considerando ρ costante e ponendolo al di fuori dell'integrale risolto nella sezione precedente.
Il principio di Pascal afferma che qualsiasi aumento della pressione di un fluido confinato in equilibrio viene trasmesso senza alcuna variazione a tutti i punti di detto fluido. Utilizzando questa proprietà, è possibile moltiplicare la forza F 1 applicata al pistoncino di sinistra, e ottenere F 2 su quello di destra.
Figura 3. Il principio di Pascal è applicato nella pressa idraulica. Fonte: Wikimedia Commons.
I freni delle auto funzionano secondo questo principio: una forza relativamente piccola viene applicata sul pedale, che viene convertita in una forza maggiore sul cilindro del freno su ciascuna ruota, grazie al fluido utilizzato nel sistema.
Il paradosso idrostatico di Stevin
Il paradosso idrostatico afferma che la forza dovuta alla pressione di un fluido sul fondo di un contenitore può essere uguale, maggiore o minore del peso del fluido stesso. Ma quando metti il contenitore in cima alla bilancia, normalmente registrerà il peso del fluido (più il contenitore ovviamente). Come spiegare questo paradosso?
Partiamo dal fatto che la pressione sul fondo del contenitore dipende esclusivamente dalla profondità ed è indipendente dalla forma, come si è dedotto nella sezione precedente.
Figura 4. Il liquido raggiunge la stessa altezza in tutti i contenitori e la pressione sul fondo è la stessa. Fonte: F. Zapata.
Diamo un'occhiata ad alcuni contenitori diversi. Essendo comunicati, quando vengono riempiti di liquido raggiungono tutti la stessa altezza h. I punti salienti sono alla stessa pressione, poiché sono alla stessa profondità. Tuttavia, la forza dovuta alla pressione in ciascun punto può differire dal peso (vedere l'esempio 1 di seguito).
esercizi
Esercizio 1
Confronta la forza esercitata dalla pressione sul fondo di ciascuno dei contenitori con il peso del fluido e spiega perché le differenze, se presenti.
Contenitore 1
Figura 5. La pressione sul fondo è uguale in grandezza al peso del fluido. Fonte: Fanny Zapata.
In questo contenitore l'area della base è A, quindi:
Il peso e la forza dovuta alla pressione sono uguali.
Contenitore 2
Figura 6. La forza dovuta alla pressione in questo contenitore è maggiore del peso. Fonte: F. Zapata.
Il contenitore ha una parte stretta e una parte larga. Nel diagramma a destra è stato diviso in due parti e la geometria verrà utilizzata per trovare il volume totale. L'area A 2 è esterna al contenitore, h 2 è l'altezza della parte stretta, h 1 è l'altezza della parte larga (base).
Il volume pieno è il volume della base + il volume della parte stretta. Con questi dati abbiamo:
Confrontando il peso del fluido con la forza dovuta alla pressione, si è riscontrato che questa è maggiore del peso.
Quello che succede è che il fluido esercita una forza anche sulla parte del gradino nel contenitore (vedi le frecce in rosso in figura) che sono incluse nel calcolo sopra. Questa forza verso l'alto contrasta quelle esercitate verso il basso e il peso registrato dalla bilancia è il risultato di queste. Secondo questo, l'entità del peso è:
W = Forza sul fondo - Forza sulla parte a gradini = ρ. g. A 1 .h - ρ. g. A .. h 2
Esercizio 2
La figura mostra un manometro a tubo aperto. È costituito da un tubo ad U, in cui un'estremità è a pressione atmosferica e l'altra è collegata a S, il sistema di cui si vuole misurare la pressione.
Figura 7. Manometro a tubo aperto. Fonte: F. Zapata.
Il liquido nel tubo (giallo nella figura) può essere acqua, sebbene il mercurio sia preferibilmente utilizzato per ridurre le dimensioni del dispositivo. (Una differenza di 1 atmosfera o 101,3 kPa richiede una colonna d'acqua di 10,3 metri, niente di portatile).
Si richiede di trovare la pressione relativa P m nel sistema S, in funzione dell'altezza H della colonna di liquido.
Soluzione
La pressione sul fondo per entrambi i rami del tubo è la stessa, poiché sono alla stessa profondità. Sia P A la pressione nel punto A, situato in y 1 e P B la pressione nel punto B in y 2 . Poiché il punto B è all'interfaccia tra liquido e aria, la pressione è P o . In questo ramo del manometro, la pressione in basso è:
Da parte sua, la pressione in basso per il ramo a sinistra è:
Dove P è la pressione assoluta del sistema e ρ è la densità del fluido. Equalizzazione di entrambe le pressioni:
Risolvendo per P:
Pertanto la pressione relativa P m è data da P - P o = ρ.g. H e per avere il suo valore è sufficiente misurare l'altezza alla quale sale il liquido manometrico e moltiplicarla per il valore di ge la densità del fluido.
Riferimenti
- Cimbala, C. 2006. Fluid Mechanics, Fundamentals and Applications. Mc. Graw Hill. 66-74.
- Figueroa, D. 2005. Serie: Fisica per le scienze e l'ingegneria. Volume 4. Fluidi e termodinamica. A cura di Douglas Figueroa (USB). 3-25.
- Mott, R. 2006. Fluid Mechanics. 4 °. Edizione. Pearson Education. 53-70.
- Shaugnessy, E. 2005. Introduzione alla meccanica dei fluidi, Oxford University Press. 51 - 60.
- Stylianos, V. 2016. Una semplice spiegazione del classico paradosso idrostatico. Estratto da: haimgaifman.files.wordpress.com