NUMERI RAZIONALI: PROPRIETÀ, ESEMPI E OPERAZIONI - MATEMATICA - 2025

I numeri razionali sono tutti i numeri che possono essere ottenuti come divisione di due numeri interi. Esempi di numeri razionali sono: 3/4, 8/5, -16/3 e quelli che appaiono nella figura seguente. In un numero razionale è indicato il quoziente, potendolo fare successivamente se necessario.

La figura rappresenta qualsiasi oggetto, rotondo per un maggiore comfort. Se vogliamo dividerlo in 2 parti uguali, come a destra, abbiamo due metà a sinistra e ognuna vale 1/2.

Figura 1. I numeri razionali sono usati per dividere il tutto in più parti. Fonte: Freesvg.

Dividendolo in 4 parti uguali, otterremo 4 pezzi e ognuno vale 1/4, come nell'immagine al centro. E se dovesse essere diviso in 6 parti uguali, ogni parte varrebbe 1/6, che vediamo nell'immagine a sinistra.

Naturalmente, potremmo anche dividerlo in due parti disuguali, ad esempio potremmo mantenere 3/4 parti e salvare 1/4 parte. Sono possibili anche altre divisioni, come 4/6 parti e 2/6 parti. L'importante è che la somma di tutte le parti sia 1.

In questo modo, è evidente che con i numeri razionali puoi dividere, contare e distribuire cose come cibo, denaro, terra e tutti i tipi di oggetti in frazioni. E così il numero di operazioni che possono essere fatte con i numeri viene ampliato.

I numeri razionali possono anche essere espressi in forma decimale, come si può vedere nei seguenti esempi:

1/2 = 0,5

1/3 = 0,3333… ..

3/4 = 0,75

1/7 = 0,142857142857142857 ………

Successivamente indicheremo come passare da una forma all'altra con esempi.

Proprietà dei numeri razionali

I numeri razionali, il cui insieme indicheremo con la lettera Q, hanno le seguenti proprietà:

-Q include numeri naturali N e interi Z.

Tenendo conto che qualsiasi numero a può essere espresso come il quoziente tra se stesso e 1, è facile vedere che tra i numeri razionali ci sono anche numeri naturali e interi.

Pertanto, il numero naturale 3 può essere scritto come frazione e anche -5:

3 = 3/1

-5 = -5/1 = 5 / -1 = - (5/1)

In questo modo, Q è un insieme numerico che include un numero maggiore di numeri, cosa molto necessaria, poiché i numeri "tondi" non sono sufficienti per descrivere tutte le operazioni possibili da fare.

-Numeri razionali possono essere sommati, sottratti, moltiplicati e divisi, il risultato dell'operazione essendo un numero razionale: 1/2 + 1/5 = 7/10; 1/2 - 1/5 = 3/10; (1/2) x (1/5) = 1/10; (1/2) ÷ (1/5) = 5/2.

-Tra ogni coppia di numeri razionali, è sempre possibile trovare un altro numero razionale. Infatti tra due numeri razionali ci sono infiniti numeri razionali.

Ad esempio, tra i razionali 1/4 e 1/2 ci sono i razionali 3/10, 7/20, 2/5 (e molti altri), che possono essere verificati esprimendoli come decimali.

-Qualsiasi numero razionale può essere espresso come: i) un numero intero o ii) un decimale limitato (rigoroso) o periodico: 4/2 = 2; 1/4 = 0,25; 1/6 = 0,16666666 ……

-Uno stesso numero può essere rappresentato da infinite frazioni equivalenti e tutte appartengono a Q. Vediamo questo gruppo:

Rappresentano tutti il ​​decimale 0.428571 …

-Di tutte le frazioni equivalenti che rappresentano lo stesso numero, la frazione irriducibile, la più semplice di tutte, è il rappresentante canonico di quel numero. Il rappresentante canonico dell'esempio sopra è 3/7.

Figura 2.- L'insieme Q dei numeri razionali. Fonte: Wikimedia Commons. Uvm Eduardo Artur / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0).

Esempi di numeri razionali

-Frazioni corrette, quelle in cui il numeratore è minore del denominatore:

-Frazioni errate, il cui numeratore è maggiore del denominatore:

-Numeri naturali e numeri interi:

-Frazioni equivalenti:

Rappresentazione decimale di un numero razionale

Quando il numeratore è diviso per il denominatore, si trova la forma decimale del numero razionale. Per esempio:

2/5 = 0,4

3/8 = 0,375

1/9 = 0,11111…

6/11 = 0,545454…

Nei primi due esempi, il numero di cifre decimali è limitato. Ciò significa che quando la divisione è terminata, si ottiene finalmente un resto di 0.

D'altra parte, nei due successivi, il numero di cifre decimali è infinito ed è per questo che vengono posizionati i puntini di sospensione. In quest'ultimo caso è presente uno schema nei decimali. Nel caso della frazione 1/9, il numero 1 si ripete all'infinito, mentre in 6/11 è 54.

Quando ciò accade, si dice che il decimale è periodico ed è indicato da un accento circonflesso come questo:

Trasforma un decimale in una frazione

Se è un numero decimale limitato, la virgola viene semplicemente eliminata e il denominatore diventa l'unità seguita da tanti zeri quante sono le cifre nel decimale. Ad esempio, per trasformare il decimale 1.26 in una frazione, scrivi in ​​questo modo:

1,26 = 126/100

Quindi la frazione risultante viene semplificata al massimo:

126/100 = 63/50

Se il decimale è illimitato, il periodo viene prima identificato. Quindi vengono seguiti questi passaggi per trovare la frazione risultante:

-Il numeratore è la sottrazione tra il numero (senza virgola o caret) e la parte che non ha il caret.

-Il denominatore è un intero con tanti 9 quante sono le cifre sotto il circonflesso, e tanti 0 quante sono le cifre nella parte decimale che non sono sotto il circonflesso.

Seguiamo questa procedura per trasformare il numero decimale 0.428428428… in una frazione.

-Prima si identifica il periodo, che è la sequenza che si ripete: 428.

-Poi viene eseguita l'operazione di sottrazione del numero senza virgola o accento: 0428 dalla parte che non ha accento circonflesso, che è 0. Quindi è 428 - 0 = 428.

-Il denominatore è costruito, sapendo che sotto il circonflesso ci sono 3 cifre e tutte sono sotto il circonflesso. Pertanto il denominatore è 999.

-Infine la frazione è formata e se possibile semplificata:

0,428 = 428/999

Non è possibile semplificare di più.

Operazioni con numeri razionali

- Aggiungi e sottrai

Frazioni con lo stesso denominatore

Quando le frazioni hanno lo stesso denominatore, sommarle e / o sottrarle è molto facile, perché i numeratori vengono semplicemente sommati algebricamente, lasciando come denominatore del risultato lo stesso degli addendi. Infine, se possibile, è semplificato.

Esempio

Esegui la seguente addizione algebrica e semplifica il risultato:

La frazione risultante è già irriducibile.

Frazioni con denominatori diversi

In questo caso gli addendi vengono sostituiti da frazioni equivalenti con lo stesso denominatore e quindi si segue la procedura già descritta.

Esempio

Aggiungi algebricamente i seguenti numeri razionali, semplificando il risultato:

I passaggi sono:

-Determina il minimo comune multiplo (mcm) dei denominatori 5, 8 e 3:

mcm (5,8,3) = 120

Questo sarà il denominatore della frazione risultante senza semplificare.

-Per ogni frazione: dividere il LCM per il denominatore e moltiplicare per il numeratore. Il risultato di questa operazione viene posto, con il rispettivo segno, al numeratore della frazione. In questo modo si ottiene una frazione equivalente all'originale, ma con il LCM come denominatore.

Ad esempio, per la prima frazione, il numeratore è costruito in questo modo: (120/5) x 4 = 96 e otteniamo:

Procedere allo stesso modo per le restanti frazioni:

Infine si sostituiscono le frazioni equivalenti senza dimenticarne il segno e si esegue la somma algebrica dei numeratori:

(4/5) + (14/8) - (11/3) + 2 = (96/120) + (210/120) - (440/120) + (240/120) =

= (96 + 210-440 + 24) / 120 = -110 / 120 = -11/12

- Moltiplicazione e divisione

La moltiplicazione e la divisione vengono eseguite seguendo le regole mostrate di seguito:

Figura 3. Regole per moltiplicare e dividere i numeri razionali. Fonte: F. Zapata.

In ogni caso, è importante ricordare che la moltiplicazione è commutativa, il che significa che l'ordine dei fattori non altera il prodotto. Questo non accade con la divisione, quindi è necessario prestare attenzione a rispettare l'ordine tra dividendo e divisore.

Esempio 1

Eseguire le seguenti operazioni e semplificare il risultato:

a) (5/3) x (8/15)

b) (-4/5) ÷ (2/9)

Rispondi a

(5/3) x (8/15) = (5 x 8) / (3 x 15) = 15/120 = 1/8

Risposta b

(-4/5) ÷ (2/9) = (-4 x 9) / (5 x 2) = -36 / 10 = -18/5

Esempio 2

Luisa aveva $ 45. Ha speso un decimo per acquistare un libro e 2/5 di quello che era rimasto su una t-shirt. Quanti soldi ha lasciato Luisa? Esprimi il risultato come frazione irriducibile.

Soluzione

Il costo del libro (1/10) x $ 45 = 0,1 x $ 45 = $ 4,5

Pertanto, Luisa rimase con:

45-4,5 $ = 40,5 $

Con quei soldi Luisa è andata al negozio di abbigliamento e ha comprato la camicia, il cui prezzo è:

(2/5) x $ 40,5 = $ 16,2

Ora Luisa ha nel suo portfolio:

40,5 - 16,2 $ = 24,3 $

Per esprimerlo come frazione si scrive così:

24,3 = 243/10

Questo è irriducibile.

Riferimenti

1. Baldor, A. 1986. Aritmetica. Edizioni e Distribuzioni Codex.
2. Carena, M. 2019. Manuale di matematica. Università Nazionale del Litorale.
3. Figuera, J. 2000. Matematica 8. Ediciones Co-Bo.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
5. I numeri razionali. Estratto da: Cimanet.uoc.edu.
6. Numeri razionali. Recupero da: webdelprofesor.ula.ve.