NUMERI IMMAGINARI: PROPRIETÀ, APPLICAZIONI, ESEMPI - MATEMATICA - 2025

I numeri immaginari sono quelli che risolvono l'equazione in cui l'ignoto, elevato al quadrato, è uguale a un numero reale negativo. L'unità immaginaria è i = √ (-1).

Nell'equazione: z ² = - a, z è un numero immaginario espresso come segue:

z = √ (-a) = i√ (a)

Essere un numero reale positivo. Se a = 1, allora z = i, dove i è l'unità immaginaria.

Figura 1. Piano complesso che mostra alcuni numeri reali, alcuni numeri immaginari e alcuni numeri complessi. Fonte: F. Zapata.

In generale, un numero immaginario puro z è sempre espresso nella forma:

z = y⋅i

Dove y è un numero reale e i è l'unità immaginaria.

Proprio come i numeri reali sono rappresentati su una linea, chiamata linea reale, in modo simile i numeri immaginari sono rappresentati sulla linea immaginaria.

La linea immaginaria è sempre ortogonale (forma a 90º) alla linea reale e le due linee definiscono un piano cartesiano chiamato piano complesso.

Nella figura 1 è mostrato il piano complesso e su di esso sono rappresentati alcuni numeri reali, alcuni numeri immaginari e anche alcuni numeri complessi:

X ₁ , X ₂ , X ₃ sono numeri reali

Y ₁ , Y ₂ , Y ₃ sono numeri immaginari

Z ₂ e Z ₃ sono numeri complessi

Il numero O è lo zero reale ed è anche lo zero immaginario, quindi l'origine O è lo zero complesso espresso da:

0 + 0i

Proprietà

L'insieme dei numeri immaginari è indicato da:

I = {……, -3i,…, -2i,…., - i,…., 0i,…., I,…., 2i,…., 3i, ……}

E puoi definire alcune operazioni su questo insieme numerico. Un numero immaginario non si ottiene sempre da queste operazioni, quindi esaminiamole un po 'più in dettaglio:

Aggiungi e sottrai immaginario

I numeri immaginari possono essere aggiunti e sottratti l'uno dall'altro, ottenendo un nuovo numero immaginario. Per esempio:

3i + 2i = 5i

4i - 7i = -3i

Prodotto dell'immaginario

Quando si crea il prodotto di un numero immaginario con un altro, il risultato è un numero reale. Facciamo la seguente operazione per verificarlo:

2i x 3i = 6 xi ² = 6 x (√ (-1)) ² = 6 x (-1) = -6.

E come possiamo vedere, -6 è un numero reale, sebbene sia stato ottenuto moltiplicando due numeri immaginari puri.

Prodotto di un numero reale da un altro immaginario

Se un numero reale viene moltiplicato per i, il risultato sarà un numero immaginario, che corrisponde a una rotazione in senso antiorario di 90 gradi.

Ed è che i ² corrisponde a due rotazioni consecutive di 90 gradi, che equivale a moltiplicare per -1, cioè i ² = -1. Può essere visto nel diagramma seguente:

Figura 2. La moltiplicazione per l'unità immaginaria i corrisponde a rotazioni di 90º in senso antiorario. Fonte: wikimedia commons.

Per esempio:

-3 x 5i = -15i

-3 xi = -3i.

Empowerment di un immaginario

Puoi definire il potenziamento di un numero immaginario in un esponente intero:

io ¹ = i

io ² = ixi = √ (-1) x √ (-1) = -1

io ³ = ixi ² = -i

io ⁴ = io ² xi ² = -1 x -1 = 1

io ⁵ = ixi ⁴ = i

In generale abbiamo che i ⁿ = i ^ (n mod 4), dove mod è il resto della divisione tra n e 4.

Il potenziamento intero negativo può anche essere fatto:

io ^-1 = 1 / io ¹ = io / (ixi ¹ ) = i / (i ² ) = i / (-1) = -i

io- ² = 1 / io ² = 1 / (-1) = -1

i- ³ = 1 / i ³ = 1 / (- i) = (-1) / i = -1 xi ^-1 = (-1) x (-i) = i

In generale, il numero immaginario b⋅i elevato alla potenza n è:

(b⋅i) io ⁿ = b ⁿ io ⁿ = b ⁿ io ^ (n mod 4)

Alcuni esempi sono i seguenti:

(5 io) ¹² = 5 ¹² io ¹² = 5 ¹² io ⁰ = 5 ¹² x 1 = 244140625

(5 i) ¹¹ = 5 ¹¹ i ¹¹ = 5 ¹¹ i ³ = 5 ¹¹ x (-i) = -48828125 i

(-2 i) ¹⁰ = -2 ¹⁰ i ¹⁰ = 2 ¹⁰ i ² = 1024 x (-1) = -1024

Somma di un numero reale e di un numero immaginario

Quando aggiungi un numero reale a uno immaginario, il risultato non è né reale né immaginario, è un nuovo tipo di numero chiamato numero complesso.

Ad esempio, se X = 3.5 e Y = 3.75i, il risultato è il numero complesso:

Z = X + Y = 3,5 + 3,75 i

Nota che nella somma le parti reale e immaginaria non possono essere raggruppate insieme, quindi un numero complesso avrà sempre una parte reale e una parte immaginaria.

Questa operazione estende l'insieme dei numeri reali al più ampio dei numeri complessi.

applicazioni

Il nome dei numeri immaginari fu proposto dal matematico francese René Descartes (1596-1650) come una beffa o un disaccordo con la proposta degli stessi fatta dal matematico italiano del secolo Raffaelle Bombelli.

Altri grandi matematici, come Eulero e Leibniz, sostenevano Descartes in questo disaccordo e chiamavano i numeri immaginari numeri anfibi, che erano combattuti tra l'essere e il nulla.

Il nome dei numeri immaginari rimane ancora oggi, ma la loro esistenza e importanza è molto reale e palpabile, poiché compaiono naturalmente in molti campi della fisica come:

-La teoria della relatività.

-Nell'elettromagnetismo.

-Meccanica quantistica.

Esercizi con numeri immaginari

- Esercizio 1

Trova le soluzioni della seguente equazione:

z ² + 16 = 0

Soluzione

z ² = -16

Prendendo la radice quadrata in entrambi i membri abbiamo:

√ (z ² ) = √ (-16)

± z = √ (-1 x 16) = √ (-1) √ (16) = ix 4 = 4i

In altre parole, le soluzioni dell'equazione originale sono:

z = + 4i oz = -4i.

- Esercizio 2

Trova il risultato dell'innalzamento dell'unità immaginaria alla potenza 5 meno la sottrazione dell'unità immaginaria elevata alla potenza -5.

Soluzione

io ⁵ - i- ⁵ = io ⁵ - 1 / i ⁵ = i - 1 / i = i - (i) / (ixi) = i - i / (- 1) = i + i = 2i

- Esercizio 3

Trova il risultato della seguente operazione:

(3i) ³ + 9i

Soluzione

3 ³ I ³ - 9 = comunicazione 9 (-i) + 9i = -9i + 9i = 0i

- Esercizio 4

Trova le soluzioni della seguente equazione quadratica:

(-2x) ² + 2 = 0

Soluzione

L'equazione viene riorganizzata come segue:

(-2x) ² = -2

Quindi viene presa la radice quadrata di entrambi i membri

√ ((- 2x) ² ) = √ (-2)

± (-2x) = √ (-1 x 2) = √ (-1) √ (2) = i √ (2) = √2 io

Quindi risolviamo per x per ottenere finalmente:

x = ± √2 / 2 i

Cioè, ci sono due possibili soluzioni:

x = (√2 / 2) i

O quest'altro:

x = - (√2 / 2) i

- Esercizio 5

Trova il valore di Z definito da:

Z = √ (-9) √ (-4) + 7

Soluzione

Sappiamo che la radice quadrata di un numero reale negativo è un numero immaginario, ad esempio √ (-9) è uguale a √ (9) x √ (-1) = 3i.

D'altra parte, √ (-4) è uguale a √ (4) x √ (-1) = 2i.

Quindi l'equazione originale può essere sostituita da:

3i x 2i - 7 = 6 i ² - 7 = 6 (-1) - 7 = -6 - 7 = -13

- Esercizio 6

Trova il valore di Z risultante dalla seguente divisione di due numeri complessi:

Z = (9 - i ² ) / (3 + i)

Soluzione

Il numeratore dell'espressione può essere scomposto utilizzando la seguente proprietà:

Così:

Z = / (3 + i)

L'espressione risultante è semplificata di seguito, lasciando

Z = (3 - i)

Riferimenti

1. Earl, R. Numeri complessi. Estratto da: maths.ox.ac.uk.
2. Figuera, J. 2000. Matematica 1st. Diversificato. Edizioni CO-BO.
3. Hoffmann, J. 2005. Selezione di argomenti di matematica. Pubblicazioni Monfort.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
5. Wikipedia. Numero immaginario. Estratto da: en.wikipedia.org