ERRORE DI CAMPIONAMENTO: FORMULE ED EQUAZIONI, CALCOLO, ESEMPI - DUDAS - 2026

L' errore di campionamento o errore di campionamento nelle statistiche è la differenza tra il valore medio di un campione e il valore medio della popolazione totale. Per illustrare l'idea, immaginiamo che la popolazione totale di una città sia un milione di persone, di cui si desidera la misura media delle scarpe, per la quale viene preso un campione casuale di mille persone.

La dimensione media che emerge dal campione non coinciderà necessariamente con quella della popolazione totale, anche se se il campione non è sbilanciato, il valore deve essere vicino. Questa differenza tra il valore medio del campione e quello della popolazione totale è l'errore di campionamento.

Figura 1. Poiché il campione è un sottoinsieme della popolazione totale, la media campionaria ha un margine di errore. Fonte: F. Zapata.

Il valore medio della popolazione totale è generalmente sconosciuto, ma esistono tecniche per ridurre questo errore e formule per stimare il margine di errore di campionamento che verranno discusse in questo articolo.

Formule ed equazioni

Diciamo di voler conoscere il valore medio di una certa caratteristica misurabile x in una popolazione di dimensione N, ma poiché N è un numero elevato non è possibile effettuare lo studio sulla popolazione totale, quindi procediamo a prelevare un campione casuale di dimensione n <

Il valore medio del campione è indicato da e il valore medio della popolazione totale è indicato dalla lettera greca μ (leggi mu o miu).

Supponiamo che m campioni siano presi dalla popolazione totale N, tutti di uguale dimensione n con valori medi 1>, 2>, 3>, ….m>.

Questi valori medi non saranno identici tra loro e saranno tutti intorno al valore medio della popolazione μ. Il margine di errore di campionamento E indica la separazione attesa dei valori medi relativo al valore medio della popolazione μ entro una percentuale specificata chiamata livello di confidenza γ (gamma).

Il margine di errore standard ε del campione di dimensione n è:

ε = σ / √n

dove σ è la deviazione standard (la radice quadrata della varianza), che viene calcolata utilizzando la seguente formula:

σ = √

Il significato del margine di errore standard ε è il seguente:

Valore medio ottenuto dal campione di dimensione n è compreso nell'intervallo ( - ε, + ε) con un livello di confidenza del 68,3%.

Come calcolare l'errore di campionamento

Nella sezione precedente, è stata fornita la formula per trovare il margine di errore standard di un campione di dimensione n, dove la parola standard indica che si tratta di un margine di errore con una confidenza del 68%.

Ciò indica che se sono stati prelevati molti campioni della stessa dimensione n, il 68% di essi fornirà valori medi nell'intervallo .

Esiste una regola semplice, chiamata regola 68-95-99,7 che ci consente di trovare facilmente il margine di errore di campionamento E per livelli di confidenza del 68%, 95% e 99,7%, poiché questo margine è 1⋅ ε, 2 ⋅ ε e 3⋅ ε rispettivamente.

Per un livello di fiducia

Se il livello di confidenza γ non è uno dei precedenti, l'errore di campionamento è la deviazione standard σ moltiplicata per il fattore Zγ, che si ottiene con la seguente procedura:

1.- Innanzitutto, viene determinato il livello di significatività α, che viene calcolato dal livello di confidenza γ attraverso la seguente relazione: α = 1 - γ

2.- Quindi dobbiamo calcolare il valore 1 - α / 2 = (1 + γ) / 2, che corrisponde alla frequenza normale accumulata tra -∞ e Zγ, in una distribuzione normale o gaussiana tipizzata F (z), la cui definizione può essere visto in figura 2.

3.- L'equazione F (Zγ) = 1 - α / 2 viene risolta mediante le tabelle della distribuzione normale (cumulativa) F, oppure mediante un'applicazione informatica che ha la funzione gaussiana standardizzata inversa F ^-1 .

In quest'ultimo caso abbiamo:

Zγ = G ^-1 (1 - α / 2).

4.- Infine, questa formula viene applicata per l'errore di campionamento con un livello di affidabilità γ:

E = Zγ ⋅ (σ / √n)

Figura 2. Tabella di distribuzione normale. Fonte: Wikimedia Commons.

Esempi

- Esempio 1

Calcola il margine di errore standard nel peso medio di un campione di 100 neonati. Il calcolo del peso medio è stato= 3.100 kg con una deviazione standard σ = 1.500 kg.

Soluzione

Il margine di errore standard è ε = σ / √n = (1.500 kg) / √100 = 0,15 kg. Ciò significa che con questi dati si può desumere che il peso del 68% dei neonati è compreso tra 2.950 kg e 3,25 kg.

- Esempio 2

Determinare il margine di errore di campionamento E e l'intervallo di peso di 100 neonati con un livello di confidenza del 95% se il peso medio è di 3.100 kg con deviazione standard σ = 1.500 kg.

Soluzione

Se si applica la regola 68; 95; 99,7 → 1⋅ ε; 2⋅ ε; 3⋅ ε, abbiamo:

E = 2⋅ε = 2⋅0,15 kg = 0,30 kg

In altre parole, il 95% dei neonati avrà un peso compreso tra 2.800 kg e 3.400 kg.

- Esempio 3

Determina l'intervallo di peso dei neonati nell'esempio 1 con un margine di confidenza del 99,7%.

Soluzione

L'errore di campionamento con una confidenza del 99,7% è 3 σ / √n, che per il nostro esempio è E = 3 * 0,15 kg = 0,45 kg. Da qui ne consegue che il 99,7% dei neonati avrà un peso compreso tra 2.650 kg e 3.550 kg.

- Esempio 4

Determina il fattore Zγ per un livello di confidenza del 75%. Determina il margine di errore di campionamento con questo livello di affidabilità per il caso presentato nell'esempio 1.

Soluzione

Il livello di confidenza è γ = 75% = 0,75, che è correlato al livello di significatività α attraverso la relazione γ = (1 - α), così che il livello di significatività è α = 1 - 0,75 = 0 , 25.

Ciò significa che la probabilità normale cumulativa tra -∞ e Zγ è:

P (Z ≤ Zγ) = 1 - 0,125 = 0,875

Che corrisponde a un valore Zγ di 1,1503, come mostrato nella Figura 3.

Figura 3. Determinazione del fattore Zγ corrispondente a un livello di confidenza del 75%. Fonte: F. Zapata tramite Geogebra.

In altre parole, l'errore di campionamento è E = Zγ ⋅ (σ / √n) = 1,15 ⋅ (σ / √n).

Quando applicato ai dati dell'esempio 1, dà un errore di:

E = 1,15 * 0,15 kg = 0,17 kg

Con un livello di confidenza del 75%.

- Esercizio 5

Qual è il livello di confidenza se Z _{α / 2} = 2.4?

Soluzione

P (Z ≤ Z _{α / 2} ) = 1 - α / 2

P (Z ≤ 2,4) = 1 - α / 2 = 0,9918 → α / 2 = 1 - 0,9918 = 0,0082 → α = 0,0164

Il livello di significatività è:

α = 0,0164 = 1,64%

E infine, il livello di fiducia rimane:

1- α = 1 - 0,0164 = 100% - 1,64% = 98,36%

Riferimenti

1. Canavos, G. 1988. Probabilità e statistica: applicazioni e metodi. McGraw Hill.
2. Devore, J. 2012. Probabilità e statistica per l'ingegneria e la scienza. 8 °. Edizione. Cengage.
3. Levin, R. 1988. Statistics for Administrators. 2 °. Edizione. Prentice Hall.
4. Sudman, S. 1982. Fare domande: una guida pratica alla progettazione del questionario. San Francisco. Jossey Bass.
5. Walpole, R. 2007. Probabilità e statistica per l'ingegneria e le scienze. Pearson.
6. Wonnacott, TH e RJ Wonnacott. 1990. Statistiche introduttive. 5a Ed. Wiley
7. Wikipedia. Errore di campionamento. Estratto da: en.wikipedia.com
8. Wikipedia. Margine di errore. Estratto da: en.wikipedia.com