L' errore standard di stima misura la deviazione in un valore di popolazione campione. Cioè, l'errore standard di stima misura le possibili variazioni della media campionaria rispetto al valore reale della media della popolazione.
Ad esempio, se vuoi conoscere l'età media della popolazione di un paese (popolazione media), prendi un piccolo gruppo di abitanti, che chiameremo "campione". Da essa si estrae l'età media (media campionaria) e si assume che la popolazione abbia quell'età media con un errore standard di stima che varia più o meno.
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Va notato che è importante non confondere la deviazione standard con l'errore standard e con l'errore standard di stima:
1- La deviazione standard è una misura della dispersione dei dati; cioè, è una misura della variabilità della popolazione.
2- L'errore standard è una misura della variabilità del campione, calcolata sulla base della deviazione standard della popolazione.
3- L'errore standard di stima è una misura dell'errore che viene commesso quando si prende la media campionaria come stima della media della popolazione.
Come viene calcolato?
L'errore standard di stima può essere calcolato per tutte le misurazioni ottenute nei campioni (ad esempio, errore standard di stima della media o errore standard di stima della deviazione standard) e misura l'errore che viene fatto durante la stima del vero misura della popolazione dal suo valore campione
L'intervallo di confidenza della misura corrispondente è costruito dall'errore standard di stima.
La struttura generale di una formula per l'errore standard di stima è la seguente:
Errore standard di stima = ± Coefficiente di confidenza * Errore standard
Coefficiente di confidenza = valore limite di una statistica campione o distribuzione campionaria (campana normale o gaussiana, t di Student, tra gli altri) per un dato intervallo di probabilità.
Errore standard = deviazione standard della popolazione divisa per la radice quadrata della dimensione del campione.
Il coefficiente di confidenza indica il numero di errori standard che sei disposto ad aggiungere e sottrarre alla misura per avere un certo livello di fiducia nei risultati.
Esempi di calcolo
Supponiamo che tu stia cercando di stimare la percentuale di persone nella popolazione che hanno un comportamento A e che tu voglia avere il 95% di fiducia nei tuoi risultati.
Viene preso un campione di n persone e viene determinata la proporzione campionaria p e il suo complemento q.
Errore standard di stima (SEE) = ± Coefficiente di confidenza * Errore standard
Coefficiente di fiducia = z = 1,96.
Errore standard = la radice quadrata del rapporto tra il prodotto della proporzione del campione e il suo complemento e la dimensione del campione n.
Dall'errore standard di stima, viene stabilito l'intervallo in cui si prevede di trovare la proporzione della popolazione o la proporzione del campione di altri campioni che possono essere formati da quella popolazione, con un livello di confidenza del 95%:
p - EEE ≤ Proporzione popolazione ≤ p + EEE
Esercizi risolti
Esercizio 1
1- Supponiamo che tu stia cercando di stimare la percentuale di persone nella popolazione che hanno una preferenza per il latte artificiale e che tu voglia avere il 95% di fiducia nei tuoi risultati.
Viene prelevato un campione di 800 persone e si determina che 560 persone nel campione hanno una preferenza per la formula del latte fortificato. Determinare un intervallo in cui ci si può aspettare di trovare la proporzione della popolazione e la proporzione di altri campioni che possono essere prelevati dalla popolazione, con una confidenza del 95%
a) Calcoliamo la proporzione campionaria p e il suo complemento:
p = 560/800 = 0,70
q = 1 - p = 1 - 0,70 = 0,30
b) È noto che la proporzione si avvicina a una distribuzione normale a campioni di grandi dimensioni (maggiore di 30). Quindi, viene applicata la cosiddetta regola 68-95-99.7 e dobbiamo:
Coefficiente di fiducia = z = 1,96
Errore standard = √ (p * q / n)
Errore standard di stima (SEE) = ± (1,96) * √ (0,70) * (0,30) / 800) = ± 0,0318
c) Dall'errore standard di stima, viene stabilito l'intervallo in cui si prevede di trovare la proporzione della popolazione con un livello di confidenza del 95%:
0,70 - 0,0318 ≤ Proporzione popolazione ≤ 0,70 + 0,0318
0,6682 ≤ Proporzione popolazione ≤ 0,7318
Puoi aspettarti che la proporzione del campione del 70% cambi fino a 3,18 punti percentuali se prendi un campione diverso di 800 individui o che la proporzione effettiva della popolazione sia compresa tra 70 - 3,18 = 66,82% e 70 + 3,18 = 73,18%.
Esercizio 2
2- Prenderemo da Spiegel e Stephens, 2008, il seguente caso di studio:
Un campione casuale di 50 voti è stato preso dal totale dei voti in matematica degli studenti del primo anno di un'università, in cui la media trovata era di 75 punti e la deviazione standard di 10 punti. Quali sono i limiti di confidenza del 95% per la stima dei voti medi di matematica del college?
a) Calcoliamo l'errore standard di stima:
Coefficiente di confidenza del 95% = z = 1,96
Errore standard = s / √n
Errore standard di stima (SEE) = ± (1,96) * (10√50) = ± 2,7718
b) Dall'errore standard di stima si stabilisce l'intervallo in cui si prevede di trovare la media della popolazione o la media di un altro campione di dimensione 50, con un livello di confidenza del 95%:
50 - 2,7718 ≤ Media della popolazione ≤ 50 + 2,7718
47.2282 ≤ Media della popolazione ≤ 52,7718
c) La media campionaria può variare fino a 2,7718 punti se viene preso un campione diverso di 50 voti o se la media effettiva dei voti in matematica della popolazione universitaria è compresa tra 47.2282 punti e 52.7718 punti.
Riferimenti
- Abraira, V. (2002). Deviazione standard ed errore standard. Semergen Magazine. Recuperato da web.archive.org.
- Rumsey, D. (2007). Statistiche intermedie per i manichini. Wiley Publishing, Inc.
- Salinas, H. (2010). Statistiche e probabilità. Recuperato da mat.uda.cl.
- Sokal, R .; Rohlf, F. (2000). Biometria. I principi e la pratica della statistica nella ricerca biologica. Terza ed. Edizioni Blume.
- Spiegel, M.; Stephens, L. (2008). Statistiche. Quarta ed. McGraw-Hill / Interamericana de México SA
- Wikipedia. (2019). Regola 68-95-99,7. Estratto da en.wikipedia.org.
- Wikipedia. (2019). Errore standard. Estratto da en.wikipedia.org.