RIG FATTORIALE: DEFINIZIONE, FORMULE ED ESERCIZI - FISICO - 2024

L'apparecchiatura fattoriale è una macchina semplice che consiste in una disposizione di pulegge con effetto moltiplicatore della forza. In questo modo è possibile sollevare un carico applicando solo l'equivalente di una frazione del peso all'estremità libera della fune.

Consiste di due serie di pulegge: una fissata a un supporto e un'altra che esercita la forza risultante sul carico. Le pulegge sono montate su un telaio generalmente metallico che le sostiene.

Figura 1. Schema di un impianto fattoriale. Fonte: Pixabay

La figura 1 mostra un impianto fattoriale costituito da due gruppi di due pulegge ciascuno. Questi tipi di disposizione delle pulegge sono anche chiamati paranchi o paranchi in serie.

Formule per manovre fattoriali

Caso 1: una puleggia mobile e una fissa

Per capire perché questa disposizione moltiplica la forza esercitata, partiremo dal caso più semplice, che consiste in una puleggia fissa e una puleggia mobile.

Figura 2. Impianto a due pulegge.

In figura 2 abbiamo una puleggia A fissata al soffitto tramite un supporto. La puleggia A può ruotare liberamente attorno al proprio asse. Abbiamo anche una puleggia B che ha una staffa attaccata all'albero della puleggia, su cui è posto il carico. La puleggia B, oltre a poter ruotare liberamente attorno al proprio asse, ha la possibilità di muoversi verticalmente.

Supponiamo di essere in una situazione di equilibrio. Considerare le forze che agiscono sulla puleggia B. L'asse della puleggia B supporta un peso totale P diretto verso il basso. Se questa fosse l'unica forza sulla puleggia B allora cadrebbe, ma sappiamo che la fune che passa attraverso questa puleggia esercita anche due forze, che sono T1 e T2 che sono dirette verso l'alto.

Affinché ci sia equilibrio traslazionale, le due forze verso l'alto devono essere uguali al peso supportato dall'asse della puleggia B.

T1 + T2 = P

Ma poiché anche la puleggia B è in equilibrio rotazionale, allora T1 = T2. Le forze T1 e T2 derivano dalla tensione applicata alla corda, chiamata T.

Quindi T1 = T2 = T. Sostituendo nell'equazione precedente resta:

T + T = P

2T = P

Il che indica che la tensione applicata alla corda è solo la metà del peso:

T = P / 2

Ad esempio, se il carico fosse di 100 kg, sarebbe sufficiente applicare una forza di 50 kg all'estremità libera della fune per sollevare il carico a velocità costante.

Caso 2: due pulegge mobili e due fisse

Consideriamo ora le sollecitazioni e le forze agenti su un assieme costituito da due disposizioni di supporti A e B con due pulegge ciascuno.

Figura 3. Forze su un rig con 2 pulegge fisse e 2 pulegge mobili.

Il supporto B ha la possibilità di muoversi verticalmente e le forze che agiscono su di esso sono:

- Il peso P del carico, rivolto verticalmente verso il basso.

- Due tensioni sulla puleggia grande e due tensioni sulla puleggia piccola. In totale, quattro tensioni, tutte rivolte verso l'alto.

Affinché ci sia equilibrio traslazionale, le forze che puntano verticalmente verso l'alto devono essere uguali al carico rivolto verso il basso in valore. Cioè, deve essere soddisfatto:

T + T + T + T = P

Cioè, 4 T = P

Da cui ne consegue che la forza applicata T all'estremità libera della fune è solo un quarto del peso dovuto al carico che si vuole sollevare., T = P / 4.

Con questo valore per la tensione T, il carico può essere mantenuto statico o aumentare con velocità costante. Se fosse applicata una tensione maggiore di questo valore il carico accelererebbe verso l'alto, condizione necessaria per portarlo fuori riposo.

Caso generale: n pulegge mobili en pulegge fisse

Secondo quanto visto nei casi precedenti, per ciascuna puleggia del gruppo mobile sono presenti una coppia di forze verso l'alto esercitate dalla fune che passa attraverso la puleggia. Ma questa forza non può essere altro che la tensione applicata alla fune all'estremità libera.

In modo che per ogni puleggia del gruppo mobile ci sarà una forza verticale verso l'alto che vale 2T. Ma poiché ci sono n pulegge nel gruppo mobile, ne consegue che la forza totale che punta verticalmente verso l'alto è:

2 n T

Perché ci sia equilibrio verticale è necessario che:

2 n T = P

quindi la forza applicata all'estremità libera è:

T = P / (2 n)

In questo caso si può dire che la forza T esercitata viene moltiplicata 2 n volte sul carico.

Ad esempio, se avessimo un impianto fattoriale con 3 pulegge fisse e 3 mobili, il numero n sarebbe uguale a 3. Se invece il carico fosse P = 120 kg, la forza applicata all'estremità libera sarebbe T = 120 kg / (2 * 3) = 20 kg.

Esercizi risolti

Esercizio 1

Si consideri un impianto fattoriale composto da due pulegge fisse e due carrucole mobili. La tensione massima che la fune può sopportare è di 60 kg. Determina qual è il carico massimo che può essere posizionato.

Soluzione

Quando il carico è fermo o si muove a velocità costante, il suo peso P è correlato alla tensione T applicata alla fune mediante la seguente relazione:

P = 2 n T

Trattandosi di un impianto con due carrucole mobili e due fisse, allora n = 2.

Il carico massimo posizionabile si ottiene quando T ha il valore massimo possibile, che in questo caso è di 60 kg.

Carico massimo = 2 * 2 * 60 kg = 240 kg

Esercizio 2

Trova la relazione tra la tensione della fune e il peso del carico, in un impianto fattoriale di due pulegge in cui il carico viene accelerato con l'accelerazione a.

Soluzione

La differenza di questo esempio rispetto a quanto visto finora è che va considerata la dinamica del sistema. Quindi proponiamo la seconda legge di Newton per trovare la relazione richiesta.

Figura 4. Dinamica dell'impianto fattoriale.

Nella figura 4 disegniamo in giallo le forze dovute alla tensione T della fune. La parte mobile del paranco ha massa totale M. Prendiamo come sistema di riferimento quella a livello della prima carrucola fissa e positiva verso il basso.

Y1 è la posizione dell'albero della puleggia più basso.

Applichiamo la seconda legge di Newton per determinare l'accelerazione a1 della parte mobile del rig:

-4 T + Mg = M a1

Poiché il peso del carico è P = Mg, dove g è l'accelerazione di gravità, la relazione sopra può essere scritta:

-4T + P = P (a1 / g)

Se volessimo determinare la tensione applicata alla fune quando un certo carico di peso P viene accelerato con l'accelerazione a1, la relazione precedente sarebbe simile a questa:

T = P (1 - a1 / g) / 4

Nota che se il sistema fosse a riposo o si muovesse a velocità costante, allora a1 = 0, e recupereremmo la stessa espressione che abbiamo ottenuto nel caso 2.

Esercizio 3

In questo esempio, viene utilizzata la stessa attrezzatura dell'esercizio 1, con la stessa corda che supporta un massimo di 60 kg di tensione. Un certo carico sale, accelerandolo da fermo a 1 m / s in 0,5 s, utilizzando la massima tensione della fune. Trova il peso massimo del carico.

Soluzione

Useremo le espressioni ottenute nell'esercizio 2 e il sistema di riferimento in Figura 4 in cui la direzione positiva è verticale verso il basso.

L'accelerazione del carico è a1 = (-1 m / s - 0 m / s) / 0,5 s = -2 m / s ^ 2.

Il peso del carico in chilogrammo forza è dato da

P = 4 T / (1 - a1 / g)

P = 4 * 60 kg / (1 + 2 / 9,8) = 199,3 kg

Questo è il peso massimo possibile del carico senza la rottura della fune. Si noti che il valore ottenuto è inferiore a quello ottenuto nell'esempio 1, in cui si supponeva che il carico avesse accelerazione nulla, cioè a riposo oa velocità costante.

Riferimenti

1. Sears, Zemansky. 2016. Fisica universitaria con fisica moderna. 14. Ed. Volume 1. 101-120.
2. Resnick, R. (1999). Fisico. Vol. 1. 3a Ed. In spagnolo. Compañía Editorial Continental SA de CV 87-103.
3. Giancoli, D. 2006. Fisica: principi con applicazioni. 6 °. Ed. Prentice Hall. 72 - 96.
4. Hewitt, Paul. 2012. Scienze fisiche concettuali. 5 °. Ed. Pearson, 38-61.
5. Serway, R., Jewett, J. (2008). Fisica per la scienza e l'ingegneria. Volume 1. 7th. Ed. Cengage Learning. 100-119.