ANALISI DIMENSIONALE: TECNICHE, PRINCIPI ED ESERCIZI - FISICO - 2024

L' analisi dimensionale è uno strumento ampiamente utilizzato in vari rami della scienza e dell'ingegneria per meglio comprendere i fenomeni che comportano la presenza di diverse grandezze fisiche. Le grandezze hanno dimensioni e da queste si ricavano le diverse unità di misura.

L'origine del concetto di dimensione si trova nel matematico francese Joseph Fourier, che è stato colui che l'ha coniato. Fourier capì anche che, affinché due equazioni siano confrontabili, devono essere omogenee rispetto alle loro dimensioni. In altre parole, i metri non possono essere aggiunti ai chilogrammi.

Pertanto, l'analisi dimensionale è responsabile dello studio delle grandezze, dimensioni e omogeneità delle equazioni fisiche. Per questo motivo, è spesso utilizzato per verificare relazioni e calcoli o per costruire ipotesi su domande complicate che possono essere successivamente verificate sperimentalmente.

In questo modo, l'analisi dimensionale è uno strumento perfetto per rilevare errori nei calcoli controllando la congruenza o l'inconsistenza delle unità utilizzate in essi, ponendo particolare attenzione alle unità dei risultati finali.

Inoltre, l'analisi dimensionale viene utilizzata per progettare esperimenti sistematici. Permette di ridurre il numero di esperimenti necessari, nonché di facilitare l'interpretazione dei risultati ottenuti.

Una delle basi fondamentali dell'analisi dimensionale è che è possibile rappresentare qualsiasi grandezza fisica come prodotto delle potenze di una quantità minore, note come grandezze fondamentali da cui derivano le altre.

Grandezze fondamentali e formula dimensionale

In fisica si considerano quantità fondamentali quelle che permettono agli altri di esprimersi in funzione di queste. Per convenzione sono stati scelti: lunghezza (L), tempo (T), massa (M), intensità di corrente elettrica (I), temperatura (θ), intensità luminosa (J) e quantità di sostanza (N).

Al contrario, le altre sono considerate quantità derivate. Alcuni di questi sono: area, volume, densità, velocità, accelerazione, tra gli altri.

Una formula dimensionale è definita come l'uguaglianza matematica che presenta la relazione tra una quantità derivata e quelle fondamentali.

Tecniche di analisi dimensionale

Esistono varie tecniche o metodi di analisi dimensionale. Due dei più importanti sono i seguenti:

Metodo Rayleigh

Rayleigh, che è stato insieme a Fourier uno dei precursori dell'analisi dimensionale, ha sviluppato un metodo diretto e molto semplice che consente di ottenere elementi adimensionali. In questo metodo vengono seguiti i seguenti passaggi:

1- Viene definita la funzione carattere potenziale della variabile dipendente.

2- Ogni variabile viene modificata dalle dimensioni corrispondenti.

3- Vengono stabilite le equazioni di condizione di omogeneità.

4- Le incognite np sono impostate.

5- Gli esponenti che sono stati calcolati e fissati nell'equazione del potenziale vengono sostituiti.

6- I gruppi di variabili vengono spostati per definire i numeri adimensionali.

Metodo Buckingham

Questo metodo è basato sul teorema di Buckingham o teorema pi, che afferma quanto segue:

Se esiste una relazione dimensionale omogenea tra un numero “n” di quantità fisiche o variabili dove sono incluse “p” diverse dimensioni fondamentali, esiste anche una relazione dimensionalmente omogenea tra n - p, gruppi adimensionali indipendenti.

Principio di omogeneità dimensionale

Il principio di Fourier, noto anche come principio di omogeneità dimensionale, influisce sulla corretta strutturazione delle espressioni che legano algebricamente grandezze fisiche.

È un principio che ha consistenza matematica e afferma che l'unica opzione è sottrarre o aggiungere quantità fisiche che sono della stessa natura. Pertanto, non è possibile aggiungere una massa con una lunghezza, né un tempo con una superficie, ecc.

Allo stesso modo, il principio afferma che affinché le equazioni fisiche siano dimensionalmente corrette, il totale dei termini dei membri dei due lati dell'uguaglianza deve avere la stessa dimensione. Questo principio consente di garantire la coerenza delle equazioni fisiche.

Principio di somiglianza

Il principio di somiglianza è un'estensione del carattere di omogeneità dimensionale delle equazioni fisiche. Si afferma come segue:

Le leggi fisiche rimangono invariate di fronte a cambiamenti nelle dimensioni (dimensioni) di un evento fisico nello stesso sistema di unità, sia che si tratti di cambiamenti di natura reale o immaginaria.

La più chiara applicazione del principio di similarità si ha nell'analisi delle proprietà fisiche di un modello realizzato su scala minore, per poi utilizzare i risultati nell'oggetto a grandezza reale.

Questa pratica è essenziale in campi come la progettazione e la fabbricazione di aeroplani e navi e in grandi opere idrauliche.

applicazioni

Le numerose applicazioni dell'analisi dimensionale includono quelle elencate di seguito.

- Individuare possibili errori nelle operazioni effettuate

- Risolvi problemi la cui risoluzione presenta una difficoltà matematica insormontabile.

- Progettare e analizzare modelli su piccola scala.

- Fare osservazioni su come le possibili modifiche influenzano un modello.

Inoltre, l'analisi dimensionale è usata abbastanza frequentemente nello studio della meccanica dei fluidi.

La rilevanza dell'analisi dimensionale nella meccanica dei fluidi è dovuta alla difficoltà di stabilire equazioni in certi flussi e alla difficoltà di risolverle, quindi è impossibile ottenere relazioni empiriche. Per questo motivo è necessario ricorrere al metodo sperimentale.

Esercizi risolti

Primo esercizio

Trova l'equazione dimensionale per velocità e accelerazione.

Soluzione

Poiché v = s / t, è vero che: = L / T = L ∙ T ^-1

Allo stesso modo:

a = v / t

= L / T ² = L ∙ T ^-2

Secondo esercizio

Determina l'equazione dimensionale per la quantità di moto.

Soluzione

Poiché la quantità di moto è il prodotto di massa e velocità, è vero che p = m ∙ v

Così:

= M ∙ L / T = M ∙ L ∙ T ^-2

Riferimenti

1. Analisi dimensionale (nd). Su Wikipedia. Estratto il 19 maggio 2018 da es.wikipedia.org.
2. Analisi dimensionale (nd). Su Wikipedia. Estratto il 19 maggio 2018 da en.wikipedia.org.
3. Langhaar, HL (1951), Analisi dimensionale e teoria dei modelli, Wiley.
4. Fidalgo Sánchez, José Antonio (2005). Fisica e chimica. Everest
5. David C. Cassidy, Gerald James Holton, Floyd James Rutherford (2002). Capire la fisica. Birkhäuser.