VELOCITÀ ANGOLARE MEDIA: DEFINIZIONE E FORMULE, ESERCIZI RISOLTI - FISICO - 2026

La velocità angolare media di rotazione è definita come l'angolo ruotato per unità di tempo del vettore di posizione di un punto che descrive il movimento circolare. Le pale di un ventilatore da soffitto (come quello mostrato in figura 1), seguono un moto circolare e la loro velocità angolare media di rotazione viene calcolata prendendo il quoziente tra l'angolo ruotato e il tempo in cui tale angolo è stato percorso.

Le regole seguite dal movimento rotatorio sono in qualche modo simili a quelle familiari per il movimento traslatorio. Le distanze percorse possono essere misurate anche in metri, tuttavia le grandezze angolari sono particolarmente rilevanti perché facilitano notevolmente la descrizione del movimento.

Figura 1. Le pale della ventola hanno velocità angolare. Fonte: Pixabay

In generale, le lettere greche vengono utilizzate per le quantità angolari e le lettere latine per le quantità lineari corrispondenti.

Definizione e formule

Nella figura 2 è rappresentato il movimento di un punto su un percorso circolare c. La posizione P del punto corrisponde all'istante te la posizione angolare corrispondente a quell'istante è ϕ.

Dall'istante t trascorre un periodo di tempo Δt. In quel periodo la nuova posizione del punto è P 'e la posizione angolare è aumentata di un angolo Δϕ.

Figura 2. Moto circolare di un punto. Fonte: autocostruito

La velocità angolare media ω è l'angolo percorso per unità di tempo, quindi il quoziente Δϕ / Δt rappresenterà la velocità angolare media tra i tempi t e t + Δt:

Poiché l'angolo è misurato in radianti e il tempo in secondi, l'unità per la velocità angolare media è rad / s. Se vogliamo calcolare la velocità angolare proprio nell'istante t, dovremo calcolare il rapporto Δϕ / Δt quando Δt ➡0.

Rotazione uniforme

Un movimento rotatorio è uniforme se in qualsiasi istante osservato, l'angolo percorso è lo stesso nello stesso periodo di tempo. Se la rotazione è uniforme, la velocità angolare in qualsiasi istante coincide con la velocità angolare media.

In un moto rotatorio uniforme il tempo in cui viene compiuta una rivoluzione completa è chiamato periodo ed è indicato con T.

Inoltre, quando si effettua un giro completo, l'angolo percorso è 2π, quindi in una rotazione uniforme la velocità angolare ω è correlata al periodo T, dalla seguente formula:

La frequenza f di una rotazione uniforme è definita come il quoziente tra il numero di giri e il tempo impiegato per percorrerli, cioè se N giri vengono effettuati nel tempo Δt allora la frequenza sarà:

f = N / Δt

Poiché si percorre un giro (N = 1) nel tempo T (il periodo), si ottiene la seguente relazione:

f = 1 / T

Cioè, in una rotazione uniforme la velocità angolare è correlata alla frequenza attraverso la relazione:

ω = 2π ・ f

Relazione tra velocità angolare e velocità lineare

La velocità lineare v, è il quoziente tra la distanza percorsa e il tempo impiegato per percorrerla. Nella figura 2 la distanza percorsa è la lunghezza dell'arco Δs.

L'arco Δs è proporzionale all'angolo percorso Δϕ e al raggio r, essendo soddisfatta la seguente relazione:

Δs = r ・ Δϕ

A condizione che Δϕ sia misurato in radianti.

Se dividiamo l'espressione precedente per il lasso di tempo Δt otterremo:

(Δs / Δt) = r ・ (Δϕ / Δt)

Il quoziente del primo elemento è la velocità lineare e il quoziente del secondo elemento è la velocità angolare media:

v = r ・ ω

Esercizi risolti

-Esercizio 1

Le punte delle pale del ventilatore da soffitto mostrate in figura 1 si muovono con una velocità di 5 m / se le pale hanno un raggio di 40 cm.

Con questi dati, calcola: i) la velocità angolare media della ruota, ii) il numero di giri che la ruota fa in un secondo, iii) il periodo in secondi.

Soluzione

i) La velocità lineare è v = 5 m / s.

Il raggio è r = 0,40 m.

Dal rapporto tra velocità lineare e velocità angolare risolviamo quest'ultima:

v = r ・ ω => ω = v / r = (5 m / s) / (0,40 m) = 12,57 rad / s

ii) ω = 2π ・ f => f = ω / 2π = (12,57 rad / s) / (2π rad) = 2 giri / s

iii) T = 1 / f = 1 / (2 giri / s) = 0,5 s per ogni turno.

-Esercizio 2

Un passeggino giocattolo si muove su una pista circolare con un raggio di 2 m. A 0s la sua posizione angolare è 0 rad, ma dopo il tempo t la sua posizione angolare è

φ (t) = 2 ・ t.

Con questi dati

i) Calcolare la velocità angolare media nei seguenti intervalli di tempo; ; e infine nel lasso di tempo.

ii) Sulla base dei risultati della parte i) Cosa si può dire del movimento?

iii) Determinare la velocità lineare media nello stesso periodo di tempo dalla parte i)

iv) Trova la velocità angolare e la velocità lineare per ogni istante.

Soluzione

i) La velocità angolare media è data dalla seguente formula:

Si procede al calcolo dell'angolo percorso e del tempo trascorso in ogni intervallo.

Intervallo 1: Δϕ = ϕ (0,5 s) - ϕ (0,0 s) = 2 (rad / s) * 0,5 s - 2 (rad / s) * 0,0 s = 1,0 rad

Δt = 0,5 s - 0,0 s = 0,5 s

ω = Δϕ / Δt = 1.0rad / 0.5s = 2.0 rad / s

Intervallo 2: Δϕ = ϕ (1.0s) - ϕ (0.5s) = 2 (rad / s) * 1.0s - 2 (rad / s) * 0.5s = 1.0 rad

Δt = 1,0 s - 0,5 s = 0,5 s

ω = Δϕ / Δt = 1.0rad / 0.5s = 2.0 rad / s

Intervallo 3: Δϕ = ϕ (1.5s) - ϕ (1.0s) = 2 (rad / s) * 1.5s - 2 (rad / s) * 1.0s = 1.0 rad

Δt = 1,5 s - 1,0 s = 0,5 s

ω = Δϕ / Δt = 1.0rad / 0.5s = 2.0 rad / s

Intervallo 4: Δϕ = ϕ (1,5 s) - ϕ (0,0 s) = 2 (rad / s) * 1,5 s - 2 (rad / s) * 0,0 s = 3,0 rad

Δt = 1,5 s - 0,0 s = 1,5 s

ω = Δϕ / Δt = 3.0rad / 1.5s = 2.0 rad / s

ii) In considerazione dei risultati precedenti, in cui la velocità angolare media è stata calcolata in diversi intervalli di tempo, ottenendo sempre lo stesso risultato, sembra indicare che si tratta di un moto circolare uniforme. Tuttavia, questi risultati non sono conclusivi.

Il modo per garantire la conclusione è calcolare la velocità angolare media per un intervallo arbitrario: Δϕ = ϕ (t ') - ϕ (t) = 2 * t' - 2 * t = 2 * (t'-t)

Δt = t '- t

ω = Δϕ / Δt = 2 * (t'-t) / (t'-t) = 2,0 rad / s

Ciò significa che il passeggino giocattolo ha una velocità angolare media costante di 2 rad / s in qualsiasi periodo di tempo considerato. Ma puoi andare oltre se calcoli la velocità angolare istantanea:

Questo viene interpretato come se la macchinina abbia sempre una velocità angolare costante = 2 rad / s.

Riferimenti

1. Giancoli, D. Physics. Principi con applicazioni. 6a edizione. Prentice Hall. 30- 45.
2. Kirkpatrick, L. 2007. Fisica: uno sguardo al mondo. 6 ^ta Modifica abbreviata. Cengage Learning. 117.
3. Resnick, R. (1999). Fisico. Volume 1. Terza edizione in spagnolo. Messico. Compañía Editorial Continental SA de CV 33-52.
4. Serway, R., Jewett, J. (2008). Fisica per la scienza e l'ingegneria. Volume 1. 7th. Edizione. Messico. Cengage Learning Editors. 32-55.
5. Wikipedia. Velocità angolare. Estratto da: wikipedia.com