VETTORE NORMALE: CALCOLO ED ESEMPIO - FISICO - 2026

Il vettore normale è quello che definisce la direzione perpendicolare a qualche entità geometrica presa in considerazione, che può essere una curva, un piano o una superficie, per esempio.

È un concetto molto utile nel posizionamento di una particella in movimento o di una superficie nello spazio. Nel grafico seguente è possibile vedere com'è il vettore normale di una curva arbitraria C:

Figura 1. Una curva C con il vettore normale alla curva nel punto P. Fonte: Svjo

Considera un punto P sulla curva C. Il punto può rappresentare una particella in movimento che si muove lungo un percorso a forma di C. La linea tangente alla curva nel punto P è disegnata in rosso.

Si noti che il vettore T è tangente a C in ogni punto, mentre il vettore N è perpendicolare a T e punta al centro di un cerchio immaginario il cui arco è un segmento di C.I vettori sono indicati in grassetto nel testo stampato, per distinguerli da altre quantità non vettoriali.

Il vettore T indica sempre dove si muove la particella, quindi indica la velocità della particella. D'altra parte, il vettore N punta sempre nella direzione in cui sta ruotando la particella, in questo modo indica la concavità della curva C.

Come portare il vettore normale su un aereo?

Il vettore normale non è necessariamente un vettore unitario, cioè un vettore il cui modulo è 1, ma in tal caso viene chiamato vettore unitario normale.

Figura 2. A sinistra un piano P ed i due vettori normali a detto piano. A destra i vettori unitari nelle tre direzioni che determinano lo spazio. Fonte: Wikimedia Commons. Vedere la pagina per l'autore

In molte applicazioni è necessario conoscere il vettore normale a un piano piuttosto che a una curva. Questo vettore rivela l'orientamento di detto piano nello spazio. Si consideri ad esempio il piano P (giallo) della figura:

Ci sono due vettori normali a questo piano: n ₁ e n ₂ . L'uso dell'uno o dell'altro dipenderà dal contesto in cui si trova detto piano. Ottenere il vettore normale a un piano è molto semplice se si conosce l'equazione del piano:

Qui il vettore N è espresso in termini di vettori unità perpendicolari i , j e k , diretti lungo le tre direzioni che determinano lo spazio xyz, vedi figura 2 a destra.

Il vettore normale dal prodotto vettoriale

Una procedura molto semplice per trovare il vettore normale utilizza le proprietà del prodotto vettoriale tra due vettori.

Come è noto, tre punti differenti, non allineati tra loro, determinano un piano P. Ora è possibile ottenere due vettori u e v che appartengono a detto piano avente questi tre punti.

Una volta che i vettori vengono ottenuti, il prodotto vettoriale u x v è un'operazione il cui risultato è a sua volta un vettore, che ha la proprietà di essere perpendicolare al piano determinato da u e v .

Noto questo vettore, viene indicato con N , e da esso sarà possibile determinare l'equazione del piano grazie all'equazione indicata nella sezione precedente:

N = u x v

La figura seguente illustra la procedura descritta:

Figura 3. Con due vettori e il loro prodotto vettoriale o croce, viene determinata l'equazione del piano che contiene i due vettori. Fonte: Wikimedia Commons. Nessun autore leggibile dalla macchina fornito. M.Romero Schmidtke ha assunto (sulla base delle rivendicazioni sul copyright).

Esempio

Trova l'equazione del piano determinata dai punti A (2,1,3); B (0,1,1); C (4.2.1).

Soluzione

Questo esercizio illustra la procedura sopra descritta. Avendo 3 punti, uno di essi viene scelto come origine comune di due vettori che appartengono al piano definito da questi punti. Ad esempio, il punto A viene impostato come origine e vengono costruiti i vettori AB e AC .

Il vettore AB è il vettore la cui origine è il punto A e il cui punto finale è il punto B. Le coordinate del vettore AB sono determinate rispettivamente sottraendo le coordinate di B dalle coordinate di A:

Procediamo allo stesso modo per trovare il vettore AC :

Calcolo del prodotto vettoriale

Esistono diverse procedure per trovare il prodotto incrociato tra due vettori. Questo esempio utilizza una procedura mnemonica che utilizza la figura seguente per trovare i prodotti vettoriali tra i vettori unitari i , j e k:

Figura 4. Grafico per determinare il prodotto vettoriale tra i vettori unitari. Fonte: autocostruito.

Per cominciare è bene ricordare che i prodotti vettoriali tra vettori paralleli sono nulli, quindi:

i x i = 0; j x j = 0; k x k = 0

E poiché il prodotto vettoriale è un altro vettore perpendicolare ai vettori partecipanti, spostandosi nella direzione della freccia rossa abbiamo:

Se devi muoverti nella direzione opposta alla freccia, aggiungi un segno (-):

In totale è possibile realizzare 9 prodotti vettoriali con i vettori unitari i , j e k , di cui 3 saranno nulli.

AB x AC = (-2 i + 0 j -2 k ) x (2 i + j -2 k ) = -4 ( i x i ) -2 ( i x j ) +4 ( i x k ) +0 ( j x i ) + 0 ( j x j ) - 0 ( j x k ) - 4 ( k x i ) -2 ( k x j ) + 4 ( k x k ) = -2 k -4j -4 j +2 i = 2 i -8 j -2 k

Equazione dell'aereo

Il vettore N è stato determinato dal prodotto vettoriale precedentemente calcolato:

N = 2 i -8 j -2 k

Quindi a = 2, b = -8, c = -2, il piano cercato è:

Il valore di d resta da determinare. Questo è facile se i valori di uno qualsiasi dei punti A, B o C disponibili vengono sostituiti nell'equazione del piano. Scegliendo C per esempio:

x = 4; y = 2; z = 1

Resti:

In breve, la mappa ricercata è:

Il lettore curioso potrebbe chiedersi se lo stesso risultato sarebbe stato ottenuto se invece di fare AB x AC fosse stato scelto di fare AC x AB. La risposta è sì, il piano determinato da questi tre punti è unico e ha due vettori normali, come mostrato nella figura 2.

Per quanto riguarda il punto selezionato come origine dei vettori, non ci sono problemi nella scelta degli altri due.

Riferimenti

1. Figueroa, D. (2005). Serie: Fisica per la scienza e l'ingegneria. Volume 1. Cinematica. A cura di Douglas Figueroa (USB). 31- 62.
2. Trovare la normale a un aereo. Recupero da: web.ma.utexas.edu.
3. Larson, R. (1986). Calcolo e geometria analitica. Mc Graw Hill. 616-647.
4. Linee e piani in R 3. Recupero da: math.harvard.edu.
5. Vettore normale. Recupero da mathworld.wolfram.com.