- Elementi di un vettore
- Componenti rettangolari di un vettore
- Forma polare di un vettore
- tipi
- Vettori di unità ortogonali
- Aggiunta di vettore
- Proprietà dell'addizione di vettori
- Esempi vettoriali
- Altre operazioni tra vettori
- Prodotto di uno scalare e di un vettore
- Prodotto a punti o prodotto a punti tra vettori
- Prodotto incrociato o prodotto vettoriale tra vettori
- Prodotti incrociati tra vettori unitari
- Esercizi risolti
- - Esercizio 1
- Soluzione
- - Esercizio 2
- Soluzione
- Riferimenti
I vettori sono entità matematiche che hanno generalmente una unità di misura -positiva- magnitudine e direzione ben accompagnate. Tali caratteristiche sono molto appropriate per descrivere quantità fisiche come velocità, forza, accelerazione e molte altre.
Con i vettori è possibile eseguire operazioni come addizioni, sottrazioni e prodotti. La divisione non è definita per i vettori e per quanto riguarda il prodotto, ci sono tre classi che descriveremo in seguito: prodotto scalare o punto, prodotto vettoriale o croce e prodotto di uno scalare per un vettore.
Figura 1. Gli elementi di un vettore. Fonte: Wikimedia Commons.
Per descrivere completamente un vettore, devono essere indicate tutte le sue caratteristiche. La grandezza o modulo è un valore numerico accompagnato da un'unità, mentre la direzione e il senso sono stabiliti con l'aiuto di un sistema di coordinate.
Facciamo un esempio: supponiamo che un aereo voli da una città all'altra a una velocità di 850 km / h in direzione NE. Qui abbiamo un vettore completamente specificato, poiché la magnitudine è disponibile: 850 km / h, mentre la direzione e il senso sono NE.
I vettori sono solitamente rappresentati graficamente da segmenti di linea orientati, la cui lunghezza è proporzionale alla grandezza.
Mentre per specificare la direzione e il senso è necessaria una linea di riferimento, che di solito è l'asse orizzontale, sebbene si possa prendere come riferimento anche il nord, tale è il caso della velocità del piano:
Figura 2. Un vettore di velocità. Fonte: F. Zapata.
La figura mostra il vettore velocità dell'aereo, indicato con v in grassetto , per distinguerlo da una quantità scalare, che richiede solo un valore numerico e qualche unità da specificare.
Elementi di un vettore
Come abbiamo detto, gli elementi del vettore sono:
-Magnitudine o modulo, a volte chiamato anche valore assoluto o norma del vettore.
-Indirizzo
-Senso
Nell'esempio in Figura 2, il modulo di v è 850 km / h. Il modulo è indicato come v senza grassetto, o come - v -, dove le barre rappresentano il valore assoluto.
La direzione di v è specificata rispetto al Nord. In questo caso è 45º Nord Est (45º NE). Infine la punta della freccia informa sul senso di v .
In questo esempio, l'origine del vettore è stata disegnata in coincidenza con l'origine O del sistema di coordinate, questo è noto come vettore collegato. D'altra parte, se l'origine del vettore non coincide con quella del sistema di riferimento, si dice che sia un vettore libero.
Va notato che per specificare completamente il vettore, questi tre elementi devono essere annotati, altrimenti la descrizione del vettore sarebbe incompleta.
Componenti rettangolari di un vettore
Figura 3. Componenti rettangolari di un vettore nel piano. Fonte: Wikimedia Commons. uranther
Nell'immagine abbiamo il nostro vettore di esempio v , che è nel piano xy.
È facile vedere che le proiezioni di v sugli assi delle coordinate xey determinano un triangolo rettangolo. Queste proiezioni sono v y e v x e sono chiamate componenti rettangolari di v .
Un modo per denotare v con le sue componenti rettangolari è come questo: v =
Se il vettore è nello spazio tridimensionale, è necessario un altro componente, in modo che:
v =
Conoscendo i componenti rettangolari la grandezza del vettore è calcolato, equivalente a trovare l'ipotenusa del triangolo rettangolo le cui gambe sono v x e v e ,. Per mezzo del teorema di Pitagora segue che:
Forma polare di un vettore
Quando l'ampiezza del vettore - v - e l'angolo θ che forma con l'asse di riferimento, generalmente l'asse orizzontale, sono noti, viene specificato anche il vettore. Si dice quindi che il vettore sia espresso in forma polare.
I componenti rettangolari in questo caso sono facilmente calcolabili:
Secondo quanto sopra, le componenti rettangolari del vettore velocità v del piano sarebbero:
tipi
Esistono diversi tipi di vettori. Esistono vettori di velocità, posizione, spostamento, forza, campo elettrico, quantità di moto e molti altri. Come abbiamo già detto, in fisica ci sono un gran numero di quantità vettoriali.
Per quanto riguarda i vettori che hanno determinate caratteristiche, possiamo menzionare i seguenti tipi di vettori:
-Nullo : sono vettori la cui grandezza è 0 e che sono indicati come 0. Ricorda che la lettera in grassetto simboleggia le tre caratteristiche fondamentali di un vettore, mentre la lettera normale rappresenta solo il modulo.
Ad esempio, su un corpo in equilibrio statico, la somma delle forze deve essere un vettore nullo.
- Liberi e collegati : i vettori liberi sono quelli i cui punti di origine e di arrivo sono una qualsiasi coppia di punti nel piano o nello spazio, a differenza dei vettori collegati, la cui origine coincide con quella del sistema di riferimento utilizzato per descriverli.
La coppia o il momento prodotto da una coppia di forze è un buon esempio di vettore libero, poiché la coppia non si applica a nessun punto particolare.
- Equipolentes : sono due vettori liberi che condividono caratteristiche identiche. Pertanto hanno uguale grandezza, direzione e senso.
- Complanare o complanare : vettori che appartengono allo stesso piano.
- Opposti : vettori con la stessa grandezza e direzione, ma direzioni opposte. Il vettore opposto a un vettore v è il vettore - v e la somma di entrambi è il vettore nullo: v + (- v ) = 0 .
- Concorrente : vettori le cui linee di azione passano tutte per lo stesso punto.
- Sliders : sono quei vettori il cui punto di applicazione può scorrere lungo una linea particolare.
- Collineare : vettori che si trovano sulla stessa linea.
- Unitario : quei vettori il cui modulo è 1.
Vettori di unità ortogonali
Esiste un tipo di vettore molto utile in fisica chiamato vettore unità ortogonale. Il vettore unità ortogonale ha un modulo uguale a 1 e le unità possono essere qualsiasi, ad esempio quelle di velocità, posizione, forza o altre.
Esiste un insieme di vettori speciali che aiutano a rappresentare facilmente altri vettori e ad eseguire operazioni con essi: sono i vettori unità ortogonali i , j e k , unità e perpendicolari tra loro.
In due dimensioni, questi vettori sono diretti lungo la direzione positiva sia dell'asse x che dell'asse y. E in tre dimensioni viene aggiunto un vettore unitario nella direzione dell'asse z positivo. Sono rappresentati come segue:
i = <1, 0,0>
j = <0,1,0>
k = <0,0,1>
Un vettore può essere rappresentato dai vettori unitari i , j e k come segue:
v = v x io + v y j + v z k
Ad esempio, il vettore di velocità v negli esempi precedenti può essere scritto come:
v = 601,04 i + 601,04 j km / h
La componente in k non è necessaria, poiché questo vettore è nel piano.
Aggiunta di vettore
La somma dei vettori appare molto frequentemente in varie situazioni, ad esempio quando si desidera trovare la forza risultante su un oggetto che è influenzato da varie forze. Per cominciare, supponiamo di avere due vettori liberi u e v sul piano, come illustrato nella seguente figura a sinistra:
Figura 4. Somma grafica di due vettori. Fonte: Wikimedia Commons. Lluc cabanach.
Viene immediatamente trasferito con attenzione al vettore v , senza modificarne l'ampiezza, la direzione o il senso, in modo che la sua origine coincida con la fine di u .
La somma vettoriale si chiama w ed è disegnata a partire da u terminante in v , secondo la figura a destra. E 'importante notare che il modulo del vettore w è non necessariamente la somma delle grandezze di v ed u .
Se ci pensi attentamente, l'unica volta in cui la grandezza del vettore risultante è la somma delle grandezze degli addendi è quando entrambi gli addendi sono nella stessa direzione e hanno lo stesso senso.
E cosa succede se i vettori non sono liberi? È anche molto facile aggiungerli. Il modo per farlo è aggiungendo componente a componente o metodo analitico.
A titolo di esempio, consideriamo i vettori nella figura seguente, la prima cosa è esprimerli in uno dei modi cartesiani precedentemente spiegati:
Figura 5. Somma di due vettori collegati. Fonte: Wikimedia Commons.
v = <5.1>
u = <2,3>
Per ottenere il componente x del vettore somma w , aggiungere i rispettivi x-component di v ed u : w x = 5 + 2 = 7. E per ottenere w y si segue una procedura analoga: w y = 1 + 3. Quindi:
u = <7,4>
Proprietà dell'addizione di vettori
-La somma di due o più vettori produce un altro vettore.
-È commutativo, l'ordine degli addendi non altera la somma, in modo tale che:
u + v = v + u
- L'elemento neutro della somma dei vettori è il vettore nullo: v + 0 = v
- La sottrazione di due vettori è definita come la somma del contrario: v - u = v + (-u)
Esempi vettoriali
Come abbiamo detto, esistono numerose quantità di vettori in fisica. Tra i più noti ci sono:
-Posizione
-Dislocamento
-Velocità media e velocità istantanea
-Accelerazione
-Vigore
-Quantità di movimento
-Torco o momento di una forza
-Impulso
-Campo elettrico
-Campo magnetico
-Momento magnetico
D'altra parte, non sono vettori ma scalari:
-Tempo metereologico
-Massa
-Temperatura
-Volume
-Densità
-Lavoro meccanico
-Energia
-Caldo
-Energia
-Voltaggio
-Corrente elettrica
Altre operazioni tra vettori
Oltre all'addizione e alla sottrazione di vettori, ci sono altre tre operazioni molto importanti tra i vettori, perché danno origine a nuove quantità fisiche molto importanti:
-Prodotto di uno scalare da un vettore.
-Il prodotto scalare o il prodotto scalare tra vettori
-E il prodotto incrociato o vettoriale tra due vettori.
Prodotto di uno scalare e di un vettore
Considera la seconda legge di Newton, che afferma che la forza F e l'accelerazione a sono proporzionali. La costante di proporzionalità è la massa m dell'oggetto, quindi:
F = m. per
La massa è uno scalare; da parte loro, la forza e l'accelerazione sono vettori. Poiché la forza si ottiene moltiplicando la massa per accelerazione, è il risultato del prodotto di uno scalare e di un vettore.
Questo tipo di prodotto risulta sempre in un vettore. Ecco un altro esempio: la quantità di movimento. Sia P il vettore della quantità di moto, v il vettore della velocità e, come sempre, m è la massa:
P = m. v
Prodotto a punti o prodotto a punti tra vettori
Abbiamo inserito il lavoro meccanico nell'elenco delle quantità che non sono vettori. Tuttavia, il lavoro in fisica è il risultato di un'operazione tra vettori chiamata prodotto scalare, prodotto interno o prodotto scalare.
Lascia che i vettori v e u definiscano il punto o il prodotto scalare tra di loro come:
v ∙ u = - v - ∙ - u -.cos θ
Dove θ è l'angolo tra i due. Dall'equazione mostrata segue immediatamente che il risultato del prodotto scalare è uno scalare e anche che se entrambi i vettori sono perpendicolari, il loro prodotto scalare è 0.
Tornando al lavoro meccanico W, questo è il prodotto scalare tra il vettore di forza F e il vettore di spostamento ℓ .
Quando i vettori sono disponibili in termini di componenti, anche il prodotto scalare è molto facile da calcolare. Se v =
v ∙ u = v x u x + v y u y + v z u z
Il prodotto scalare tra i vettori è commutativo, quindi:
v ∙ u = u ∙ v
Prodotto incrociato o prodotto vettoriale tra vettori
Se v e u sono i nostri due vettori di esempio, definiamo il prodotto vettoriale come:
v x u = w
Ne consegue immediatamente che il prodotto incrociato risulta in un vettore, il cui modulo è definito come:
Dove θ è l'angolo tra i vettori.
Il prodotto incrociato non è commutativo, quindi v x u ≠ u x v. Infatti v x u = - (u x v).
Se i due vettori di esempio sono espressi in termini di vettori unitari, il calcolo del prodotto vettoriale è facilitato:
v = v x io + v y j + v z k
u = u x io + u y j + u z k
Prodotti incrociati tra vettori unitari
Il prodotto incrociato tra vettori unitari identici è zero, poiché l'angolo tra loro è 0º. Ma tra diversi vettori unitari, l'angolo tra di loro è 90º e sin 90º = 1.
Il diagramma seguente aiuta a trovare questi prodotti. Nella direzione della freccia ha una direzione positiva e nella direzione opposta negativa:
io x j = k, j x k = i; k x i = j; j x i = -k; k x j = -i; io x k = -j
Applicando la proprietà distributiva, che è ancora valida per i prodotti tra vettori più le proprietà dei vettori unitari, abbiamo:
v x u = (v x io + v y j + v z k ) x (u x io + u y j + u z k ) =
Esercizi risolti
- Esercizio 1
Dati i vettori:
v = -5 io + 4 j + 1 k
u = 2 io -3 j + 7 k
Quale deve essere il vettore w perché la somma v + u + w sia 6 i +8 j -10 k ?
Soluzione
Pertanto, è necessario soddisfare che:
La risposta è: w = 9 i +7 j - 18 k
- Esercizio 2
Qual è l'angolo tra i vettori v ed u nell'esercizio 1?
Soluzione
Useremo il prodotto dot. Dalla definizione abbiamo:
v ∙ u = -10-12 + 7 = -15
Sostituendo questi valori:
Riferimenti
- Figueroa, D. (2005). Serie: Fisica per la scienza e l'ingegneria. Volume 1. Cinematica. A cura di Douglas Figueroa (USB).
- Giancoli, D. 2006. Fisica: principi con applicazioni. 6 °. Ed Prentice Hall.
- Rex, A. 2011. Fondamenti di fisica. Pearson.
- Sears, Zemansky. 2016. Fisica universitaria con fisica moderna. 14th. Ed. Volume 1.
- Serway, R., Jewett, J. 2008. Fisica per la scienza e l'ingegneria. Volume 1. 7th. Ed. Cengage Learning.