TRINOMIALE DELLA FORMA X ^ 2 + BX + C (CON ESEMPI) - MATEMATICA - 2025

Prima di imparare a risolvere il trinomio della forma x ^ 2 + bx + c , e anche prima di conoscere il concetto di trinomio, è importante conoscere due nozioni essenziali; vale a dire, i concetti di monomio e polinomio. Un monomio è un'espressione del tipo a * x ⁿ , dove a è un numero razionale, n è un numero naturale e x è una variabile.

Un polinomio è una combinazione lineare di monomi della forma a _n * x ⁿ + a _n-1 * x ^n-1 +… + a ₂ * x ² + a ₁ * x + a ₀ , dove ciascuno a _i , con i = 0,…, n, è un numero razionale, n è un numero naturale e a_n è diverso da zero. In questo caso si dice che il grado del polinomio è n.

Un polinomio formato dalla somma di due soli termini (due monomi) di gradi diversi è noto come binomio.

Trinomi

Un polinomio formato dalla somma di soli tre termini (tre monomi) di gradi diversi è noto come trinomio. I seguenti sono esempi di trinomi:

• x ³ + x ² + 5x
• 2x ⁴ -x ³ +5
• x ² + 6x + 3

Esistono diversi tipi di trinomi. Tra questi spicca il trinomio quadrato perfetto.

Trinomio quadrato perfetto

Un trinomio quadrato perfetto è il risultato della quadratura di un binomio. Per esempio:

• (3x-2) ² = 9x ² -12x + 4
• (2x ³ + y) ² = 4x ⁶ + 4x ³ y + y ²
• (4x ² -2y ⁴ ) ² = 16x ⁴ -16x ² y ⁴ + 4y ⁸
• 1 / 16x ² y ⁸ -1 / 2xy ⁴ z + z ² = (1 / 4xy ⁴ ) ² -2 (1 / 4xy ⁴ ) z + z ² = (1 / 4xy ⁴ -z) ²

Caratteristiche dei trinomi di grado 2

Quadrato perfetto

In generale, un trinomio della forma ax ² + bx + c è un quadrato perfetto se il suo discriminante è uguale a zero; cioè se b ² -4ac = 0, poiché in questo caso avrà un'unica radice e può essere espresso nella forma a (xd) ² = (√a (xd)) ² , dove d è la radice già citata.

Una radice di un polinomio è un numero in cui il polinomio diventa zero; in altre parole, un numero che, sostituendo x nell'espressione polinomiale, risulta zero.

Formula risolutiva

Una formula generale per calcolare le radici di un polinomio di secondo grado della forma ax ² + bx + c è la formula risolvente, che afferma che queste radici sono date da (–b ± √ (b ² -4ac)) / 2a, dove b ² -4ac è noto come discriminante ed è solitamente indicato con ∆. Da questa formula segue che ax ² + bx + c ha:

- Due differenti radici reali se ∆> 0.

- Una singola radice reale se ∆ = 0.

- Non ha radice reale se ∆ <0.

Di seguito verranno considerati solo trinomi della forma x ² + bx + c, dove chiaramente c deve essere un numero diverso da zero (altrimenti sarebbe un binomio). Questi tipi di trinomi presentano alcuni vantaggi quando si prendono in considerazione e operano con essi.

Interpretazione geometrica

Geometricamente, il trinomio x ² + bx + c è una parabola che si apre verso l'alto e ha il vertice nel punto (-b / 2, -b ² /4 + c) del piano cartesiano che x ² + bx + c = ( x + b / 2) ² -b ² /4 + c.

Questa parabola taglia l'asse Y nel punto (0, c) e l'asse X nei punti (d ₁ , 0) e (d ₂ , 0); quindi d ₁ e d ₂ sono le radici del trinomio. Può accadere che il trinomio abbia un'unica radice d, nel qual caso l'unico taglio con l'asse X sarebbe (d, 0).

Potrebbe anche accadere che il trinomio non abbia una vera radice, nel qual caso non taglierebbe l'asse X in nessun punto.

Ad esempio, x ² + 6x + 9 = (x + 3) ² -9 + 9 = (x + 3) ² è la parabola con vertice in (-3,0), che interseca l'asse y (0, 9) e all'asse X a (-3,0).

Factoring trinomiale

Uno strumento molto utile quando si lavora con i polinomi è il factoring, che consiste nell'esprimere un polinomio come prodotto di fattori. In generale, dato un trinomio della forma x ² + bx + c, se ha due radici diverse d ₁ e d ₂ , può essere scomposto come (xd ₁ ) (xd ₂ ).

Se ha una singola radice d, può essere scomposto come (xd) (xd) = (xd) ² , e se non ha una radice reale, rimane lo stesso; in questo caso non ammette una fattorizzazione come prodotto di fattori diversi da se stesso.

Ciò significa che, conoscendo le radici di un trinomio nella forma già stabilita, la sua fattorizzazione può essere facilmente espressa e, come già accennato in precedenza, queste radici possono sempre essere determinate utilizzando il risolvente.

Tuttavia, esiste una quantità significativa di questo tipo di trinomi che può essere scomposta senza prima conoscere le loro radici, il che semplifica il lavoro.

Le radici possono essere determinate direttamente dalla fattorizzazione senza utilizzare la formula risolvente; questi sono i polinomi della forma x ² + (a + b) x + ab. In questo caso abbiamo:

x ² + (a + b) x + ab = x ² + ax + bx + ab = x (x + a) + b (x + a) = (x + b) (x + a).

Da ciò si vede facilmente che le radici sono –a e –b.

In altre parole, dato un trinomio x ² + bx + c, se ci sono due numeri u e v tali che c = uv eb = u + v, allora x ² + bx + c = (x + u) (x + v).

Cioè, dato un trinomio x ² + bx + c, viene prima verificato se ci sono due numeri tali che moltiplicati danno il termine indipendente (c) e sommati (o sottratti, a seconda dei casi), danno il termine che accompagna la x ( b).

Non con tutti i trinomi in questo modo questo metodo può essere applicato; in cui non è possibile, si applica la delibera e si applica quanto sopra.

Esempi

Esempio 1

Per fattorizzare il seguente trinomio x ² + 3x + 2, procedere come segue:

Devi trovare due numeri tali che quando li aggiungi il risultato sia 3 e che quando li moltiplichi il risultato sia 2.

Dopo aver effettuato un'ispezione si può concludere che i numeri cercati sono: 2 e 1. Pertanto, x ² + 3x + 2 = (x + 2) (x + 1).

Esempio 2

Per fattorizzare il trinomio x ² -5x + 6, cerchiamo due numeri la cui somma è -5 e il loro prodotto è 6. I numeri che soddisfano queste due condizioni sono -3 e -2. Pertanto, la fattorizzazione del trinomio dato è x ² -5x + 6 = (x-3) (x-2).

Riferimenti

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