- Regola di Sarrus
- Tipi di determinanti
- Determinante della dimensione 1
- Determinante della dimensione 2
- Determinante della dimensione 3
- Riferimenti
La regola Sarrus viene utilizzata per calcolare il risultato dei determinanti 3 × 3. Questi sono usati per risolvere equazioni lineari e scoprire se sono compatibili.
I sistemi compatibili rendono più facile ottenere la soluzione. Sono anche usati per determinare se insiemi di vettori sono linearmente indipendenti e per formare la base dello spazio vettoriale.
Queste applicazioni si basano sull'invertibilità delle matrici. Se una matrice è regolare, il suo determinante è diverso da 0. Se è singolare, il suo determinante è uguale a 0. I determinanti possono essere calcolati solo in matrici quadrate.
Per calcolare matrici di qualsiasi ordine, può essere utilizzato il teorema di Laplace. Questo teorema ci permette di semplificare matrici di dimensioni elevate, in somme di piccoli determinanti che scomponiamo dalla matrice principale.
Afferma che il determinante di una matrice è uguale alla somma dei prodotti di ciascuna riga o colonna, moltiplicata per il determinante della sua matrice aggiunta.
Ciò riduce i determinanti in modo che un determinante di grado n diventi n determinanti di n-1. Se applichiamo successivamente questa regola, possiamo ottenere determinanti di dimensione 2 (2 × 2) o 3 (3 × 3), dove il suo calcolo è molto più semplice.
Regola di Sarrus
Pierre Frederic Sarrus era un matematico francese del XIX secolo. La maggior parte dei suoi trattati matematici si basano su metodi per risolvere equazioni e calcolo delle variazioni, all'interno di equazioni numeriche.
In uno dei suoi trattati ha risolto uno degli enigmi più complessi della meccanica. Per risolvere i problemi dei pezzi articolati, Sarrus ha introdotto la trasformazione di movimenti rettilinei alternativi, in movimenti circolari uniformi. Questo nuovo sistema è noto come meccanismo Sarrus.
La ricerca che ha dato maggiore fama a questo matematico è stata quella di introdurre un nuovo metodo di calcolo dei determinanti, nell'articolo "Nouvelles méthodes pour la résolution des équations" (Nuovo metodo per la risoluzione delle equazioni), che è stato pubblicato nel anno 1833. Questo modo di risolvere le equazioni lineari è noto come regola di Sarrus.
La regola di Sarrus ci permette di calcolare il determinante di una matrice 3 × 3, senza la necessità di utilizzare il teorema di Laplace, introducendo un metodo molto più semplice ed intuitivo. Per verificare il valore della regola di Sarrus, prendiamo qualsiasi matrice di dimensione 3:
Il calcolo della sua determinante verrebbe effettuato utilizzando il prodotto delle sue diagonali principali, sottraendo il prodotto delle diagonali inverse. Questo sarebbe il seguente:
La regola di Sarrus ci permette di ottenere una visione molto più facile nel calcolare le diagonali del determinante. Sarebbe semplificato aggiungendo le prime due colonne sul retro della matrice. In questo modo si vede più chiaramente quali sono le sue diagonali principali e quali sono quelle inverse, per il calcolo del prodotto.
Attraverso questa immagine possiamo vedere l'applicazione della regola di Sarrus, includiamo le righe 1 e 2, sotto la rappresentazione grafica della matrice iniziale. In questo modo, le diagonali principali sono le tre diagonali che appaiono per prime.
Le tre diagonali inverse, a loro volta, sono quelle che compaiono per prime sul retro.
In questo modo, le diagonali appaiono in modo più visivo, senza complicare la risoluzione del determinante, cercando di scoprire quali elementi della matrice appartengono a ciascuna diagonale.
Come appare nell'immagine, scegliamo le diagonali e calcoliamo il prodotto risultante di ciascuna funzione. Le diagonali che appaiono in blu sono quelle che si sommano. Alla somma di questi sottraiamo il valore delle diagonali che appaiono in rosso.
Per rendere più semplice la compressione, possiamo usare un esempio numerico, invece di usare termini algebrici e sottotermini.
Se prendiamo una qualsiasi matrice 3 × 3, ad esempio:
Per applicare la regola di Sarrus e risolverla in modo più visivo, dovremmo includere le righe 1 e 2, rispettivamente come le righe 4 e 5. È importante mantenere la riga 1 in 4a posizione e la riga 2 in 5a posizione. Dal momento che se li scambiamo, la regola di Sarrus non sarà efficace.
Per calcolare il determinante, la nostra matrice sarebbe la seguente:
Per continuare con il calcolo, moltiplicheremo gli elementi delle diagonali principali. I discendenti partendo da sinistra avranno segno positivo; mentre le diagonali inverse, che partono da destra, hanno segno negativo.
In questo esempio, quelli blu avrebbero un segno positivo e quelli rossi con un segno negativo. Il calcolo finale della regola di Sarrus sarebbe simile a questo:
Tipi di determinanti
Determinante della dimensione 1
Se la dimensione della matrice è 1, la matrice ha questo aspetto: A = (a)
Pertanto, il suo determinante sarebbe il seguente: det (A) = -A- = a
In sintesi, il determinante della matrice A è uguale al valore assoluto della matrice A, che in questo caso è a.
Determinante della dimensione 2
Se passiamo a matrici di dimensione 2, otteniamo matrici del tipo:
Dove il suo determinante è definito come:
La risoluzione di questo determinante si basa sulla moltiplicazione della sua diagonale principale, sottraendo il prodotto della sua diagonale inversa.
Come mnemonico, possiamo usare il seguente diagramma per ricordare il suo determinante:
Determinante della dimensione 3
Se la dimensione della matrice è 3, la matrice risultante sarebbe di questo tipo:
Il determinante di questa matrice sarebbe risolto attraverso la regola di Sarrus in questo modo:
Riferimenti
- Jenny Olive (1998) Maths: A Student's Survival Guide. Cambridge University Press.
- Richard J. Brown (2012) 30-Second Maths: The 50 Most-Expanding Theories in Mathematics. Ivy Press Limited.
- Dave Kirkby (2004) Maths Connect. Heinemann.
- Awol Assen (2013) A Study on the Computation of the Determinants of a 3 × 3 Matrix. Pubblicazione accademica di Lap Lambert.
- Anthony Nicolaides (1994) Determinants & Matrices. Passa la pubblicazione.
- Jesse Russell (2012) Regola di Sarrus.
- M. Casteleiro Villalba (2004) Introduzione all'algebra lineare. Editoriale ESIC.