MOVIMENTO PENDOLARE: PENDOLO SEMPLICE, ARMONICO SEMPLICE - FISICO - 2025

Un pendolo è un oggetto (idealmente una massa puntiforme) appeso a un filo (idealmente senza massa) da un punto fisso e che oscilla grazie alla forza di gravità, quella misteriosa forza invisibile che, tra le altre cose, tiene incollato l'universo.

Il movimento pendolare è quello che avviene in un oggetto da una parte all'altra, appeso a una fibra, cavo o filo. Le forze che intervengono in questo movimento sono la combinazione della forza di gravità (verticale, verso il centro della Terra) e la tensione del filo (direzione del filo).

Pendolo oscillante, che mostra velocità e accelerazione (wikipedia.org)

Questo è ciò che fanno gli orologi a pendolo (da cui il nome) o le altalene del parco giochi. In un pendolo ideale il movimento oscillatorio continuerebbe perennemente. In un vero pendolo, invece, il movimento finisce per fermarsi nel tempo per attrito con l'aria.

Pensare a un pendolo rende inevitabile rievocare l'immagine dell'orologio a pendolo, il ricordo di quell'antico e imponente orologio della casa di campagna dei nonni. O forse il racconto dell'orrore di Edgar Allan Poe, Il pozzo e il pendolo, la cui narrazione è ispirata a uno dei tanti metodi di tortura usati dall'Inquisizione spagnola.

La verità è che i diversi tipi di pendoli hanno svariate applicazioni oltre la misurazione del tempo, come, ad esempio, la determinazione dell'accelerazione di gravità in un determinato luogo e persino la dimostrazione della rotazione della Terra come ha fatto il fisico francese Jean Bernard Léon. Foucault.

Pendolo di Foucault. Autore: Veit Froer (wikipedia.org).

Il semplice pendolo e il semplice movimento vibratorio armonico

Pendolo semplice

Il pendolo semplice, sebbene sia un sistema ideale, consente di effettuare un approccio teorico al movimento di un pendolo.

Sebbene le equazioni del movimento di un semplice pendolo possano essere alquanto complesse, la verità è che quando l'ampiezza (A), o lo spostamento dalla posizione di equilibrio, del movimento è piccola, può essere approssimata con le equazioni di un moto armonico semplici che non siano eccessivamente complicati.

Moto armonico semplice

Il semplice movimento armonico è un movimento periodico, cioè si ripete nel tempo. Inoltre, è un movimento oscillatorio la cui oscillazione avviene attorno ad un punto di equilibrio, cioè un punto in cui il risultato netto della somma delle forze applicate al corpo è zero.

In questo modo, una caratteristica fondamentale del movimento del pendolo è il suo periodo (T), che determina il tempo necessario per compiere un ciclo completo (o oscillazione completa). Il periodo di un pendolo è determinato dalla seguente espressione:

dove, l = la lunghezza del pendolo; e, g = il valore dell'accelerazione dovuta alla gravità.

Una quantità correlata al periodo è la frequenza (f), che determina il numero di cicli che il pendolo attraversa in un secondo. In questo modo, la frequenza può essere determinata dal periodo con la seguente espressione:

Dinamica del movimento del pendolo

Le forze che intervengono nel movimento sono il peso, o ciò che è lo stesso, la forza di gravità (P) e la tensione del filo (T). La combinazione di queste due forze è ciò che causa il movimento.

Mentre la tensione è sempre diretta nella direzione del filo o fune che unisce la massa al punto fisso e, quindi, non è necessario scomporla; il peso è sempre diretto verticalmente verso il centro di massa della Terra, quindi è necessario scomporlo nelle sue componenti tangenziali e normali o radiali.

La componente tangenziale del peso P _t = mg sin θ, mentre la componente normale del peso è P _N = mg cos θ. Questa seconda viene compensata con la tensione del filo; La componente tangenziale del peso, che funge da forza di ripristino, è quindi in ultima analisi responsabile del movimento.

Spostamento, velocità e accelerazione

Lo spostamento di un movimento armonico semplice, e quindi del pendolo, è determinato dalla seguente equazione:

x = A ω cos (ω t + θ ₀ )

dove ω = è la velocità angolare di rotazione; t = è il tempo; e, θ ₀ = è la fase iniziale.

In questo modo, questa equazione ci permette di determinare la posizione del pendolo in qualsiasi momento. A questo proposito, è interessante evidenziare alcune relazioni tra alcune delle grandezze del moto armonico semplice.

ω = 2 ∏ / T = 2 ∏ / f

D'altra parte, la formula che regola la velocità del pendolo in funzione del tempo si ottiene derivando lo spostamento in funzione del tempo, in questo modo:

v = dx / dt = -A ω sin (ω t + θ ₀ )

Procedendo allo stesso modo si ottiene l'espressione dell'accelerazione rispetto al tempo:

a = dv / dt = - LA ω ² cos (ω t + θ ₀ )

Massima velocità e accelerazione

Osservando sia l'espressione della velocità che dell'accelerazione si possono apprezzare alcuni aspetti interessanti del moto del pendolo.

La velocità assume il suo valore massimo nella posizione di equilibrio, momento in cui l'accelerazione è nulla, poiché, come detto in precedenza, in quell'istante la forza netta è zero.

Al contrario, agli estremi dello spostamento avviene il contrario, lì l'accelerazione assume il valore massimo, e la velocità assume valore nullo.

Dalle equazioni di velocità e accelerazione è facile dedurre sia il modulo di massima velocità che il modulo di massima accelerazione. È sufficiente prendere il valore massimo possibile sia per sin (ω t + θ ₀ ) che per cos (ω t + θ ₀ ), che in entrambi i casi è 1.

│ v _max │ = A ω

│ a _max │ = LA ω ²

Il momento in cui il pendolo raggiunge la sua velocità massima è quando attraversa il punto di equilibrio delle forze da allora sin (ω t + θ ₀ ) = 1. Al contrario, l'accelerazione massima si raggiunge ad entrambi i capi del moto poiché allora cos (ω t + θ ₀ ) = 1

conclusione

Un pendolo è un oggetto facile da progettare e apparentemente con un semplice movimento anche se la verità è che in fondo è molto più complesso di quanto sembri.

Tuttavia, quando l'ampiezza iniziale è piccola, il suo movimento può essere spiegato con equazioni non eccessivamente complicate, poiché può essere approssimato con le equazioni del moto vibratorio armonico semplice.

I diversi tipi di pendoli esistenti hanno diverse applicazioni sia per la vita quotidiana che in campo scientifico.

Riferimenti

1. Van Baak, Tom (novembre 2013). "Una nuova e meravigliosa equazione del periodo del pendolo". Newsletter di scienza dell'orologeria. 2013 (5): 22-30.
2. Pendolo. (Nd). In Wikipedia. Estratto il 7 marzo 2018 da en.wikipedia.org.
3. Pendolo (matematica). (Nd). In Wikipedia. Estratto il 7 marzo 2018 da en.wikipedia.org.
4. Llorente, Juan Antonio (1826). La storia dell'Inquisizione di Spagna. Ridotto e tradotto da George B. Whittaker. Università di Oxford. pp. XX, prefazione.
5. Poe, Edgar Allan (1842). La fossa e il pendolo. Booklassic. ISBN 9635271905.