MOMENTO DI INERZIA: FORMULE, EQUAZIONI ED ESEMPI DI CALCOLO - FISICO - 2025

Il momento d'inerzia di un corpo rigido rispetto ad un certo asse di rotazione rappresenta la sua resistenza al variare della sua velocità angolare attorno a detto asse. È proporzionale alla massa e anche alla posizione dell'asse di rotazione, poiché il corpo, a seconda della sua geometria, può ruotare più facilmente attorno a determinati assi che in altri.

Supponiamo che un oggetto di grandi dimensioni (composto da molte particelle) possa ruotare attorno a un asse. Supponiamo che agisca una forza F , applicata tangenzialmente sull'elemento di massa Δm _i , che produce una coppia o momento, dato da τ _net = ∑ r _i x F _i . Il vettore r _i è la posizione di Δm _i (vedi figura 2).

Figura 1. Momenti di inerzia di varie figure. Fonte: Wikimedia Commons.

Questo momento è perpendicolare al piano di rotazione (direzione + k = uscita dalla carta). Poiché la forza e il vettore di posizione radiale sono sempre perpendicolari, il prodotto incrociato rimane:

τ _net = ∑ F _i r _i k = ∑ (Δm _i a _i ) r _i k = ∑ Δm _i (a _i r _i ) k

Figura 2. Particella appartenente a un solido rigido in rotazione. Fonte: Serway, R. 2018. Physics for Science and Engineering. Volume 1. Cengage Learning.

L'accelerazione a _i rappresenta la componente tangenziale dell'accelerazione, poiché l'accelerazione radiale non contribuisce alla coppia. In funzione dell'accelerazione angolare α, possiamo indicare che:

Pertanto la coppia netta si presenta così:

τ _netto = ∑ Δm _io (α r _io ² ) k = ( ∑ r _io ² Δm _i ) α k

L'accelerazione angolare α è la stessa per tutto l'oggetto, quindi non è influenzata dal pedice “i” e può lasciare la sommatoria, che è appunto il momento d'inerzia dell'oggetto simboleggiato dalla lettera I:

Questo è il momento di inerzia di una distribuzione di massa discreta. Quando la distribuzione è continua, la somma viene sostituita con un integrale e Δm diventa un differenziale di massa dm. L'integrale viene eseguito sull'intero oggetto:

Le unità per il momento di inerzia nel Sistema Internazionale SI sono kg xm ² . È una quantità scalare e positiva, poiché è il prodotto di una massa per il quadrato di una distanza.

Esempi di calcolo

Un oggetto esteso, come una barra, un disco, una sfera o altro, la cui densità ρ è costante e sapendo che la densità è il rapporto massa-volume, il differenziale di massa dm viene scritto come:

Sostituendo nell'integrale il momento d'inerzia, abbiamo:

Questa è un'espressione generale, valida per un oggetto tridimensionale, il cui volume V e posizione r sono funzioni delle coordinate spaziali x, yez. Nota che essendo costante, la densità è al di fuori dell'integrale.

La densità ρ è anche nota come densità apparente, ma se l'oggetto è molto piatto, come un foglio o molto sottile e stretto come un'asta, si possono usare altre forme di densità, vediamo:

- Per un foglio molto sottile, la densità da utilizzare è σ, la densità superficiale (massa per unità di area) e dA è il differenziale dell'area.

- E se si tratta di una barra sottile, dove è rilevante solo la lunghezza, vengono utilizzate la densità di massa lineare λ e un differenziale di lunghezza, in base all'asse utilizzato come riferimento.

Negli esempi che seguono, tutti gli oggetti sono considerati rigidi (non deformabili) e hanno densità uniforme.

Momento d'inerzia di una barra sottile rispetto ad un asse passante per il suo centro

Qui andiamo a calcolare il momento d'inerzia di una barra sottile, rigida, omogenea di lunghezza L e massa M, rispetto ad un asse passante per il mezzo.

Innanzitutto, è necessario stabilire un sistema di coordinate e costruire una figura con la geometria appropriata, in questo modo:

Figura 3. Geometria per calcolare il momento d'inerzia di un'asta sottile rispetto ad un asse verticale che passa per il suo centro. Fonte: F. Zapata.

L'asse x lungo la barra e l'asse y sono stati scelti come asse di rotazione. La procedura per stabilire l'integrale prevede anche la scelta di un differenziale di massa sulla barra, chiamato dm, che ha lunghezza differenziale dx e si trova nella posizione arbitraria x, rispetto al centro x = 0.

Secondo la definizione di densità di massa lineare λ:

Poiché la densità è uniforme, che è valida per M e L, è valida anche per dm e dx:

D'altra parte, l'elemento massa è in posizione x, quindi sostituendo questa geometria nella definizione, abbiamo un integrale definito, i cui limiti sono le estremità della barra secondo il sistema di coordinate:

Sostituendo la densità lineare λ = M / L:

Per trovare il momento di inerzia della barra rispetto ad un altro asse di rotazione, ad esempio quello che passa per una delle sue estremità, puoi utilizzare il teorema di Steiner (vedi esercizio risolto alla fine) oppure eseguire un calcolo diretto simile a quello mostrato qui, ma modificando la geometria in modo appropriato.

Momento d'inerzia di un disco rispetto ad un asse passante per il suo centro

Un disco molto sottile di spessore trascurabile è una figura piatta. Se la massa è distribuita uniformemente su tutta la superficie dell'area A, la densità di massa σ è:

Sia dm che dA corrispondono alla massa e all'area dell'anello differenziale mostrate in figura. Assumeremo che l'intero assieme ruoti attorno all'asse y.

Potete immaginare che il disco sia composto da tanti anelli concentrici di raggio r, ciascuno con il suo rispettivo momento d'inerzia. Sommando i contributi di tutti gli anelli fino a raggiungere il raggio R, avremo il momento d'inerzia totale del disco.

Figura 4. Geometria per calcolare il momento d'inerzia di un disco, rispetto all'asse assiale. Fonte: F. Zapata.

Dove M rappresenta l'intera massa del disco. L'area di un disco dipende dal suo raggio r come:

Derivando rispetto a r:

Sostituendo quanto sopra nella definizione di I:

Sostituendo σ = M / (π.R ² ) otteniamo:

Momento di inerzia di una sfera solida di circa un diametro

Una sfera di raggio R può essere considerata come una serie di dischi impilati uno sull'altro, dove ogni disco di massa infinitesimale dm, raggio re spessore dz, ha un momento di inerzia dato da:

Per trovare questo differenziale, abbiamo semplicemente preso la formula della sezione precedente e sostituito M e R rispettivamente con dm e r. Un disco come questo può essere visto nella geometria della figura 5.

Figura 5. Geometria per calcolare il momento d'inerzia di una sfera solida di raggio R rispetto ad un asse passante per un diametro. Fonte: F. Zapata.

Sommando tutti i momenti di inerzia infinitesimi dei dischi impilati si ottiene il momento di inerzia totale della sfera:

Che è equivalente a:

Per risolvere l'integrale è necessario esprimere adeguatamente dm. Come sempre, si ottiene dalla densità:

Il volume di un disco differenziale è:

L'altezza del disco è lo spessore dz, mentre l'area della base è πr ² , quindi:

E sostituendo nell'integrale proposto sarebbe simile a questo:

Ma prima dell'integrazione, dobbiamo osservare che r - il raggio del disco - dipende da ze R - il raggio della sfera -, come si può vedere dalla figura 5. Usando il teorema di Pitagora:

Il che ci porta a:

Per integrare l'intera sfera, notiamo che z varia tra –R e R, quindi:

Sapendo che ρ = M / V = ​​M / si ottiene finalmente, dopo aver semplificato:

Momento d'inerzia di un cilindro pieno rispetto all'asse assiale

Per questo oggetto viene utilizzato un metodo simile a quello utilizzato per la sfera, solo che questa volta è più facile se si immagina che il cilindro sia formato da gusci cilindrici di raggio r, spessore dr e altezza H, come se fossero gli strati di una cipolla. .

Figura 6. Geometria per calcolare il momento d'inerzia di un cilindro solido di raggio R rispetto all'asse assiale. Fonte: Serway, R. 2018. Physics for Science and Engineering. Volume 1. Cengage.

Il volume dV di uno strato cilindrico è:

Pertanto la massa del guscio è:

Questa espressione è sostituita nella definizione di momento di inerzia:

L'equazione precedente indica che il momento di inerzia del cilindro non dipende dalla sua lunghezza, ma solo dalla sua massa e dal suo raggio. Se L dovesse cambiare, il momento di inerzia attorno all'asse assiale rimarrebbe lo stesso. Per questo motivo, I del cilindro coincide con quello del disco sottile precedentemente calcolato.

Momento d'inerzia di una lastra rettangolare rispetto ad un asse passante per il suo centro

L'asse y orizzontale è stato scelto come asse di rotazione. La figura seguente mostra la geometria richiesta per eseguire l'integrazione:

Figura 7. Geometria per il calcolo del momento d'inerzia di una piastra rettangolare rispetto ad un asse parallelo al foglio e passante per il suo centro. Fonte: F. Zapata.

L'elemento dell'area contrassegnato in rosso è rettangolare. La sua area è base x altezza, quindi:

Pertanto il differenziale di massa è:

Per quanto riguarda la distanza dall'elemento area all'asse di rotazione, è sempre z. Sostituiamo tutto questo nell'integrale del momento d'inerzia:

Ora la densità di massa superficiale σ è sostituita da:

E sembra decisamente così:

Nota che è come la barra sottile.

Momento d'inerzia di una lamiera quadrata rispetto ad un asse passante per il suo centro

Per un quadrato di lato L, nell'espressione precedente valida per un rettangolo, è sufficiente sostituire il valore di b con quello di L:

Teoremi del momento di inerzia

Esistono due teoremi particolarmente utili per semplificare il calcolo dei momenti di inerzia rispetto ad altri assi, che altrimenti potrebbero essere difficili da trovare per mancanza di simmetria. Questi teoremi sono:

Teorema di Steiner

Chiamato anche teorema degli assi paralleli, mette in relazione il momento di inerzia rispetto ad un asse con un altro che passa per il centro di massa dell'oggetto, purché gli assi siano paralleli. Per applicarlo è necessario conoscere la distanza D tra i due assi e ovviamente la massa M dell'oggetto.

Sia I _z il momento di inerzia di un oggetto esteso rispetto all'asse z, I _CM il momento di inerzia rispetto ad un asse che passa per il centro di massa (CM) di detto oggetto, allora si verifica che:

O nella notazione della figura seguente: I _{z '} = I _z + Md ²

Figura 8. Teorema di Steiner o assi paralleli. Fonte: Wikimedia Commons. Jack See

Teorema degli assi perpendicolari

Questo teorema è applicato alle superfici piane e funziona così: il momento di inerzia di un oggetto piano attorno a un asse perpendicolare ad esso è la somma dei momenti di inerzia attorno a due assi perpendicolari al primo asse:

Figura 9. Teorema degli assi perpendicolari. Fonte: F. Zapata.

Se l'oggetto ha una simmetria tale che I _x e I _y sono uguali, allora è vero che:

Esercizio risolto

Trova il momento di inerzia della barra rispetto ad un asse che passa per una delle sue estremità, come mostrato in figura 1 (sotto ea destra) e figura 10.

Figura 10. Momento di inerzia di una barra omogenea attorno a un asse che passa per un'estremità. Fonte: F. Zapata.

Soluzione:

Abbiamo già il momento di inerzia della barra attorno ad un asse che passa per il suo centro geometrico. Poiché la barra è omogenea, il suo centro di massa è in quel punto, quindi questo sarà il nostro I _CM per applicare il teorema di Steiner.

Se la lunghezza della barra è L, l'asse z è a una distanza D = L / 2, quindi:

Riferimenti

1. Bauer, W. 2011. Fisica per l'ingegneria e le scienze. Volume 1. Mc Graw Hill. 313-340
2. Rex, A. 2011. Fondamenti di fisica. Pearson. 190-200.
3. Teorema dell'asse parallelo. Estratto da: hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
4. Serway, R. 2018. Physics for Science and Engineering. Volume 1. Cengage.
5. Università di Siviglia. Momento d'inerzia dei solidi sferici. Recupero da: laplace.us.es.
6. Università di Siviglia. Momento di inerzia di un sistema particellare. Recupero da: laplace.us.es.
7. Wikipedia. Teorema dell'asse parallelo. Estratto da: en.wikipedia.org