INDUZIONE MAGNETICA: FORMULE, COME SI CALCOLA ED ESEMPI - FISICO - 2025

L' induzione magnetica o la densità del flusso magnetico viene alterata nell'ambiente a causa della presenza di correnti elettriche. Modificano la natura dello spazio che li circonda, creando un campo vettoriale.

L'induzione magnetica vettoriale, densità di flusso magnetico o semplicemente campo magnetico B, ha tre caratteristiche distintive: un'intensità espressa da un valore numerico, una direzione e anche un senso dato in ogni punto nello spazio. È evidenziato in grassetto per distinguerlo da quantità puramente numeriche o scalari.

Regola del pollice destro per determinare la direzione e il senso del vettore di induzione magnetica. Fonte: Jfmelero

La regola del pollice destro viene utilizzata per trovare la direzione e la direzione del campo magnetico causato da un filo che trasporta corrente, come mostrato nella figura sopra.

Il pollice della mano destra dovrebbe puntare nella direzione della corrente. Quindi la rotazione delle quattro dita rimanenti indica la forma di B , che in figura è rappresentata dai cerchi concentrici rossi.

In tal caso, la direzione di B è tangenziale alla circonferenza concentrica con il filo e la direzione è antioraria.

L'induzione magnetica B nel Sistema Internazionale è misurata Tesla (T), tuttavia è più frequente misurarla in un'altra unità chiamata Gauss (G). Entrambe le unità furono chiamate rispettivamente in onore di Nikola Tesla (1856-1943) e Carl Friedrich Gauss (1777-1855) per i loro straordinari contributi alla scienza dell'elettricità e del magnetismo.

Quali sono le proprietà dell'induzione magnetica o della densità del flusso magnetico?

Una bussola posizionata vicino a un cavo sotto tensione si allineerà sempre con B. Il fisico danese Hans Christian Oersted (1777-1851) fu il primo a notare questo fenomeno all'inizio del XIX secolo.

E quando la corrente si ferma, la bussola punta di nuovo al nord geografico, come sempre. Modificando attentamente la posizione della bussola, si ottiene una mappa della forma del campo magnetico.

Questa mappa ha sempre la forma di cerchi concentrici al filo, come descritto all'inizio. In questo modo B.

Anche se il filo non è dritto, il vettore B formerà cerchi concentrici attorno ad esso. Per determinare la forma del campo, basta immaginare dei segmenti di filo molto piccoli, così piccoli da apparire rettilinei e circondati da cerchi concentrici.

Linee di campo magnetico prodotte da un anello di filo che trasporta corrente. Fonte: Pixabay.com

Ciò indica un'importante proprietà delle linee di campo magnetico B : non hanno inizio né fine, sono sempre curve chiuse.

Legge di Biot-Savart

Il 19 ° secolo ha segnato l'inizio dell'era dell'elettricità e del magnetismo nella scienza. 1820 in prossimità dei fisici francesi Jean Marie Biot (1774-1862) e Felix Savart (1791-1841) ha scoperto la legge che porta il suo nome e che calcola il vettore B .

Hanno fatto le seguenti osservazioni sul contributo al campo magnetico prodotto da un segmento di filo di lunghezza differenziale dl che trasporta una corrente elettrica I:

• La grandezza di B diminuisce con l'inverso del quadrato della distanza dal filo (questo ha senso: lontano dal filo l'intensità di B deve essere minore che nei punti vicini).
• L'ampiezza di B è proporzionale all'intensità della corrente I che passa attraverso il filo.
• La direzione di B è tangenziale al cerchio di raggio r centrato sul filo e la direzione di B è data, come abbiamo detto, dalla regola del pollice destro.

Il prodotto incrociato o prodotto incrociato è lo strumento matematico appropriato per esprimere l'ultimo punto. Per stabilire un prodotto vettoriale, sono necessari due vettori, definiti come segue:

• d l è il vettore la cui grandezza è la lunghezza del segmento differenziale dl
• r è il vettore che va dal filo al punto in cui vuoi trovare il campo

formule

Tutto questo può essere combinato in un'espressione matematica:

La costante di proporzionalità necessaria per stabilire l'uguaglianza è la permeabilità magnetica dello spazio libero μ _o = 4π.10 ^-7 Tm / A

Questa espressione è la legge di Biot e Savart, che ci permette di calcolare il campo magnetico di un segmento di corrente.

Tale segmento a sua volta deve far parte di un circuito più ampio e più chiuso: una distribuzione di corrente.

La condizione che il circuito sia chiuso è necessaria per il flusso di corrente elettrica. La corrente elettrica non può fluire in circuiti aperti.

Infine, per trovare il campo magnetico totale di detta distribuzione di corrente, vengono sommati tutti i contributi di ciascun segmento differenziale d 1 . Ciò equivale a integrare sull'intera distribuzione:

Per applicare la legge di Biot-Savart e calcolare il vettore di induzione magnetica, è necessario considerare alcuni punti molto importanti:

• Il prodotto incrociato tra due vettori risulta sempre in un altro vettore.

• 

• È conveniente trovare il prodotto vettoriale prima di procedere alla risoluzione dell'integrale, quindi viene risolto l'integrale di ciascuno dei componenti ottenuti separatamente.
• È necessario tracciare un'immagine della situazione e stabilire un sistema di coordinate adatto.
• Ogni volta che si osserva l'esistenza di una certa simmetria, dovrebbe essere utilizzata per risparmiare tempo di calcolo.
• Quando ci sono triangoli, il teorema di Pitagora e il teorema del coseno sono utili per stabilire la relazione geometrica tra le variabili.

Come viene calcolato?

Con un esempio pratico del calcolo di B per un filo diritto, si applicano queste raccomandazioni.

Esempio

Calcola il vettore del campo magnetico che un filo rettilineo molto lungo produce in un punto P nello spazio, secondo la figura mostrata.

Geometria necessaria per calcolare il campo magnetico nel punto P, di un filo di corrente infinitamente lungo. Fonte: autocostruito.

Dalla figura devi:

• Il filo è diretto in direzione verticale, con la corrente che scorre verso l'alto. Questa direzione è + y nel sistema di coordinate, la cui origine è nel punto O.

• 

• In tal caso, secondo la regola del pollice destro, B nel punto P è rivolto verso l'interno del foglio, per questo è indicato da un piccolo cerchio e da una "x" nella figura. Questo indirizzo verrà considerato come -z.
• Il triangolo rettangolo le cui gambe sono y e R, mette in relazione entrambe le variabili secondo il teorema di Pitagora: r ² = R ² + y ²

Tutto questo è sostituito nell'integrale. Il prodotto incrociato o croce è indicato dalla sua grandezza più la sua direzione e il suo senso:

L'integrale proposto si trova in una tabella di integrali oppure si risolve con una opportuna sostituzione trigonometrica (il lettore può verificare il risultato utilizzando y = Rtg θ):

Il risultato concorda con quanto previsto: l'ampiezza del campo diminuisce con la distanza R e aumenta proporzionalmente con l'intensità della corrente I.

Sebbene un filo infinitamente lungo sia un'idealizzazione, l'espressione ottenuta è un'ottima approssimazione per il campo di un filo lungo.

Con la legge di Biot e Savart è possibile trovare il campo magnetico di altre distribuzioni altamente simmetriche, come un anello circolare che trasporta corrente, o fili piegati che combinano segmenti rettilinei e curvilinei.

Naturalmente, per risolvere analiticamente l'integrale proposto, il problema deve avere un alto grado di simmetria. Altrimenti l'alternativa è risolvere numericamente l'integrale.

Riferimenti

1. Serway, R., Jewett, J. (2008). Fisica per la scienza e l'ingegneria. Volume 2. Messico. Cengage Learning Editors. 367-372.