VETTORI NON COMPLANARI: DEFINIZIONE, CONDIZIONI, ESERCIZI - FISICO - 2025

I vettori non complanari sono quelli che non condividono lo stesso piano. Due vettori liberi e un punto definiscono un unico piano. Un terzo vettore può condividere o meno quel piano e, se non lo fa, sono vettori non complanari.

I vettori non complanari non possono essere rappresentati in spazi bidimensionali come una lavagna o un foglio di carta, perché alcuni di essi sono contenuti nella terza dimensione. Per rappresentarli correttamente devi usare la prospettiva.

Figura 1. Vettori complanari e non complanari. (Elaborazione propria)

Se guardiamo la figura 1, tutti gli oggetti mostrati sono rigorosamente nel piano dello schermo, tuttavia, grazie alla prospettiva, il nostro cervello è in grado di immaginare un piano (P) che ne esce.

Su tale piano (P) sono i vettori r , s , u , mentre i vettori v e w non sono in quel piano.

Pertanto i vettori r , s , u sono complanari o complanari tra loro poiché condividono lo stesso piano (P). I vettori v e w non condividono un piano con nessuno degli altri vettori mostrati, quindi non sono complanari.

Vettori complanari ed equazione del piano

Un piano è definito in modo univoco se ci sono tre punti nello spazio tridimensionale.

Supponiamo che quei tre punti siano il punto A, il punto B e il punto C che definiscono il piano (P). Con questi punti è possibile costruire due vettori AB = u e AC = v che sono da costruzione complanare rispetto al piano (P).

Il prodotto vettoriale (o prodotto incrociato) di questi due vettori risulta in un terzo vettore perpendicolare (o normale) ad entrambi e quindi perpendicolare al piano (P):

n = u X v => n ⊥ u e n ⊥ v => n ⊥ (P)

Ogni altro punto che appartiene al piano (P) deve soddisfare che il vettore AQ sia perpendicolare al vettore n ; Ciò equivale a dire che il prodotto scalare (o prodotto scalare) di n con AQ deve essere zero:

n • QA = 0 (*)

La condizione precedente equivale a dire che:

AQ • ( u X v ) = 0

Questa equazione assicura che il punto Q appartenga al piano (P).

Equazione cartesiana del piano

L'equazione sopra può essere scritta in forma cartesiana. Per fare ciò, scriviamo le coordinate dei punti A, Q e le componenti del vettore normale n :

Quindi i componenti di AQ sono:

La condizione perché il vettore AQ sia contenuto nel piano (P) è la condizione (*) che ora si scrive così:

Il calcolo del prodotto scalare rimane:

Se viene sviluppato e riorganizzato rimane:

L'espressione precedente è l'equazione cartesiana di un piano (P), in funzione delle componenti di un vettore normale a (P) e delle coordinate di un punto A che appartiene a (P).

Condizioni per tre vettori non complanari

Come visto nella sezione precedente, la condizione AQ • ( u X v ) = 0 garantisce che il vettore AQ è complanare ad u e v .

Se chiamiamo il vettore AQ w allora possiamo affermare che:

w , u e v sono complanari, se e solo se w • ( u X v ) = 0.

Condizione di non complanarità

Se il triplo prodotto (o prodotto misto) di tre vettori è diverso da zero, allora quei tre vettori non sono complanari.

Se w • ( u X v ) ≠ 0 allora i vettori u, v e w sono non complanari.

Se vengono introdotte le componenti cartesiane dei vettori u, v e w, la condizione di non complanarità può essere scritta in questo modo:

Il prodotto triplo ha un'interpretazione geometrica e rappresenta il volume del parallelepipedo generato dai tre vettori non complanari.

Figura 2. Tre vettori non complanari definiscono un parallelepipedo il cui volume è il modulo del triplo prodotto. (Elaborazione propria)

Il motivo è il seguente; Quando due dei vettori non complanari vengono moltiplicati vettorialmente, si ottiene un vettore la cui grandezza è l'area del parallelogramma che generano.

Quindi, quando questo vettore viene moltiplicato scalare per il terzo vettore non complanare, ciò che abbiamo è la proiezione su un vettore perpendicolare al piano che i primi due determinano moltiplicata per l'area che determinano.

In altre parole, abbiamo l'area del parallelogramma generata dai primi due moltiplicata per l'altezza del terzo vettore.

Condizione alternativa di non complanarità

Se si hanno tre vettori e nessuno di essi può essere scritto come una combinazione lineare degli altri due, i tre vettori non sono complanari. Cioè, tre vettori u , v e w sono non complanari se la condizione:

α u + β v + γ w = 0

È soddisfatto solo quando α = 0, β = 0 e γ = 0.

Esercizi risolti

-Esercizio 1

Ci sono tre vettori

u = (-3, -6, 2); v = (4, 1, 0) ew = (-1, 2, z)

Si noti che la componente z del vettore w è sconosciuta.

Trova l'intervallo di valori che z può assumere in modo che sia garantito che i tre vettori non condividano lo stesso piano.

Soluzione

w • ( u X v ) = -3 (z - 0) + 6 (4 z - 0) + 2 (8 + 1) = -3z + 24z + 18 = 21z + 18

Impostiamo questa espressione uguale al valore zero

21 z + 18 = 0

e risolviamo per z

z = -18 / 21 = -6/7

Se la variabile z assumesse il valore -6/7, i tre vettori sarebbero complanari.

Quindi i valori di z che garantiscono che i vettori non siano complanari sono quelli nel seguente intervallo:

z ∈ (-∞, -6 / 7) U (-6/7, ∞)

-Esercizio 2

Trova il volume del parallelepipedo mostrato nella figura seguente:

Soluzione

Per trovare il volume del parallelepipedo mostrato in figura, verranno determinate le componenti cartesiane di tre vettori non complanari concorrenti all'origine del sistema di coordinate. Il primo è il vettore u di 4m e parallelo all'asse X:

u = (4, 0, 0) m

Il secondo è il vettore v nel piano XY di dimensione 3m che forma 60º con l'asse X:

v = (3 * cos 60º, 3 * sin 60º, 0) = (1.5, 2.6, 0.0) m

E il terzo è il vettore w di 5 me la cui proiezione nel piano XY forma 60º con l'asse X, inoltre w forma 30º con l'asse Z.

w = (5 * sin 30º * cos 60º, 5 * sin 30º * sin 60º, 5 * sin 30º)

Una volta effettuati i calcoli, abbiamo: w = (1.25, 2.17, 2.5) m.

Riferimenti

1. Figueroa, D. Series: Physics for Sciences and Engineering. Volume 1. Cinematica. 31-68.
2. Fisico. Modulo 8: vettori. Estratto da: frtl.utn.edu.ar
3. Hibbeler, R. 2006. Meccanica per ingegneri. Statico 6a edizione. Continental Publishing Company. 28-66.
4. McLean, W. Schaum Series. Meccanica per ingegneri: statica e dinamica. 3a edizione. McGraw Hill. 1-15.
5. Wikipedia. Vettore. Estratto da: es.wikipedia.org