TRIANGOLI: STORIA, ELEMENTI, CLASSIFICAZIONE, PROPRIETÀ - SCIENZA - 2026

I triangoli sono figure geometriche piatte e chiuse, costituite da tre lati. Un triangolo è determinato da tre linee che si intersecano a due a due, formando tre angoli tra loro. La forma triangolare, ricca di simbolismo, è presente in innumerevoli oggetti e come elemento di costruzione.

L'origine del triangolo si perde nella storia. Dalle testimonianze archeologiche si sa che l'umanità primitiva lo conosceva bene, poiché i resti archeologici confermano che fosse utilizzato in strumenti e armi.

Figura 1. Triangoli. Fonte: publicdomainpictures.

È anche evidente che gli antichi egizi possedevano una solida conoscenza della geometria e in particolare della forma triangolare. Si riflettevano negli elementi architettonici dei suoi edifici monumentali.

Nel papiro Rhind troverai formule per il calcolo delle aree di triangoli e trapezi, oltre ad alcuni volumi e altri concetti di trigonometria rudimentale.

Da parte loro, è noto che i babilonesi erano in grado di calcolare l'area del triangolo e altre figure geometriche, che usavano per scopi pratici, come le divisioni del terreno. Erano anche ben informati su molte proprietà dei triangoli.

Tuttavia, furono gli antichi greci a sistematizzare molti dei concetti geometrici prevalenti oggi, sebbene gran parte di questa conoscenza non fosse esclusiva, poiché era sicuramente condivisa con queste altre antiche civiltà.

Elementi del triangolo

Gli elementi di qualsiasi triangolo sono indicati nella figura seguente. Ce ne sono tre: vertici, lati e angoli.

Figura 2. Notazione dei triangoli e dei loro elementi. Fonte: Wikimedia Commons, modificato da F. Zapata

-Vertices : sono i punti di intersezione delle linee i cui segmenti determinano il triangolo. Nella figura sopra, ad esempio, la linea L _AC che contiene il segmento AC, interseca la linea L _AB che contiene il segmento AB precisamente nel punto A.

- Lati : tra ogni coppia di vertici viene disegnato un segmento di linea che costituisce un lato del triangolo. Questo segmento può essere indicato con le lettere finali o utilizzando una lettera specifica per chiamarlo. Nell'esempio di figura 2, il lato AB è anche chiamato "c".

- Angoli : Tra ogni lato con un vertice comune ha origine un angolo il cui vertice coincide con quello del triangolo. Generalmente l'angolo è indicato da una lettera greca, come affermato all'inizio.

Per costruire un particolare triangolo, con una data forma e dimensione, basta avere uno dei seguenti set di dati:

-I tre lati, abbastanza evidenti nel caso di un triangolo.

-Due lati e l'angolo tra di loro, e immediatamente viene disegnato il lato rimanente.

-Due angoli (interni) e il lato tra di loro. Per estensione vengono disegnati i due lati mancanti e il triangolo è pronto.

Notazione

Generalmente, nella notazione triangolare vengono utilizzate le seguenti convenzioni: i vertici sono indicati da lettere latine maiuscole, i lati da lettere latine minuscole e gli angoli da lettere greche (vedi figura 2).

In questo modo il triangolo viene chiamato in base ai suoi vertici. Ad esempio, il triangolo a sinistra nella figura 2 è il triangolo ABC e quello a destra è il triangolo A'B'C '.

È anche possibile utilizzare altre notazioni; per esempio, l'angolo α nella Figura 2 è indicato come BAC. Nota che la lettera del vertice va nel mezzo e le lettere sono scritte in senso antiorario.

Altre volte viene utilizzato un accento circonflesso per indicare l'angolo:

α = ∠A

Tipi di triangoli

Esistono diversi criteri per classificare i triangoli. La cosa più comune è classificarli in base alla misura dei loro lati o in base alla misura dei loro angoli. A seconda della misura dei loro lati, i triangoli possono essere: scaleni, isosceli o equilateri:

-Scaleno : i suoi tre lati sono diversi.

-Isósceles : ha due lati uguali e un lato diverso.

-Equilátero : i tre lati sono uguali.

Figura 3. Classificazione dei triangoli in base ai lati. Fonte: F. Zapata

Secondo la misura dei loro angoli, i triangoli hanno questo nome:

- Ostruzione , se uno degli angoli interni è maggiore di 90º.

- Angolo acuto , quando i tre angoli interni del triangolo sono acuti, cioè meno di 90º

- Rettangolo , nel caso in cui uno dei suoi angoli interni valga 90º. I lati che formano 90º sono chiamati gambe e il lato opposto all'angolo retto è l'ipotenusa.

Figura 4. Classificazione dei triangoli in base ai loro angoli interni. Fonte: F. Zapata.

Congruenza dei triangoli

Quando due triangoli hanno la stessa forma e le stesse dimensioni, si dice che siano congruenti. Ovviamente la congruenza è legata all'uguaglianza, quindi perché in geometria si parla di "due triangoli congruenti" invece di "due triangoli uguali"?

Ebbene, è preferibile utilizzare il termine "congruenza" per attenersi alla verità, poiché due triangoli possono avere la stessa forma e dimensione, ma essere orientati in modo diverso nel piano (vedi figura 3). Dal punto di vista della geometria, non sarebbero più strettamente gli stessi.

Figura 5. Triangoli congruenti, ma non necessariamente uguali, poiché il loro orientamento nel piano è diverso. Fonte: F. Zapata.

Criteri di congruenza

Due triangoli sono congruenti se si verifica una delle seguenti condizioni:

-I tre lati misurano lo stesso (di nuovo questo è il più ovvio).

-Hanno due lati identici e con lo stesso angolo tra di loro.

-Entrambi hanno due angoli interni identici e il lato tra questi angoli misura lo stesso.

Come si può vedere, si tratta di due triangoli che soddisfano le condizioni necessarie in modo che quando vengono costruiti, la loro forma e dimensione siano esattamente le stesse.

I criteri di congruenza sono molto utili, poiché in pratica innumerevoli pezzi e parti meccaniche devono essere fabbricati in serie, in modo tale che le dimensioni e la forma siano esattamente le stesse.

Somiglianza dei triangoli

Un triangolo è simile a un altro se hanno la stessa forma, anche se di dimensioni diverse. Per garantire che la forma sia la stessa, è necessario che gli angoli interni abbiano lo stesso valore e che i lati siano proporzionali.

Figura 6. Due triangoli simili: le loro dimensioni differiscono ma le loro proporzioni sono le stesse. Fonte: F. Zapata.

Anche i triangoli nella figura 2 sono simili, come quelli nella figura 6. In questo modo:

Per quanto riguarda i lati, valgono i seguenti rapporti di somiglianza:

Proprietà

Le proprietà fondamentali dei triangoli sono le seguenti:

-La somma degli angoli interni di qualsiasi triangolo è sempre 180º.

-Per ogni triangolo, la somma dei suoi angoli esterni è pari a 360 °.

- Un angolo esterno di un triangolo è uguale alla somma dei due angoli interni non adiacenti a detto angolo.

Teoremi

Primo teorema di Talete

Sono attribuiti al filosofo e matematico greco Talete di Mileto, che ha sviluppato diversi teoremi relativi alla geometria. Il primo di loro afferma quanto segue:

Figura 7. Teorema di Talete. Fonte: F. Zapata.

In altre parole:

a / a´ = b / b´ = c / c´

Il primo teorema di Talete è applicabile a un triangolo, ad esempio abbiamo il triangolo blu ABC a sinistra, che è tagliato dai paralleli rossi a destra:

Figura 8. Teorema di Talete e triangoli simili.

Il triangolo viola AB'C 'è simile al triangolo blu ABC, quindi, secondo il teorema di Talete, si può scrivere quanto segue:

AB´ / AC´ = AB / AC

Ed è in accordo con quanto spiegato in precedenza nel segmento della somiglianza dei triangoli. A proposito, le linee parallele possono anche essere verticali o parallele all'ipotenusa e triangoli simili si ottengono allo stesso modo.

Secondo teorema di Talete

Questo teorema si riferisce anche a un triangolo e un cerchio con centro O, come quelli mostrati di seguito. In questa figura, AC è un diametro della circonferenza e B è un punto su di essa, essendo B diverso da A e B.

Il secondo teorema di Talete afferma che:

Figura 9. Secondo teorema di Talete. Fonte: Wikimedia Commons. Carico induttivo.

Il teorema di Pitagora

Questo è uno dei teoremi più famosi della storia. È dovuto al matematico greco Pitagora di Samo (569 - 475 a.C.) ed è applicabile a un triangolo rettangolo. Dice così:

Se prendiamo come esempio il triangolo blu nella figura 8, o il triangolo viola, poiché entrambi sono rettangoli, si può affermare che:

AC ² = AB ² + BC ² (triangolo blu)

AC´ ² = AB´ ² + BC´ ² (triangolo viola)

L'area di un triangolo

L'area del triangolo è data dal prodotto della sua base a e della sua altezza h, diviso per 2. E per trigonometria, questa altezza può essere scritta come h = b sinθ.

Figura 10. Area del triangolo. Fonte: Wikimedia Commons.

Esempi di triangoli

Esempio 1

Si racconta che attraverso il suo primo teorema, Talete riuscì a misurare l'altezza della Grande Piramide d'Egitto, una delle 7 meraviglie del mondo antico, misurando l'ombra che proiettava sul terreno e l'ombra proiettata da un paletto conficcato nel terreno.

Questo è lo schema della procedura seguita da Tales:

Figura 11. Schema per misurare l'altezza della Grande Piramide mediante la somiglianza dei triangoli. Fonte: Wikimedia Commons. Dake

Talete presumeva correttamente che i raggi del sole colpissero parallelamente. Con questo in mente, ha immaginato il grande triangolo rettangolo sulla destra.

D è l'altezza della piramide e C è la distanza dal suolo misurata dal centro all'ombra proiettata dalla piramide sul pavimento del deserto. Misurare C può essere laborioso, ma è certamente più facile che misurare l'altezza della piramide.

A sinistra c'è il piccolo triangolo, con le gambe A e B, dove A è l'altezza del paletto conficcato verticalmente nel terreno e B è l'ombra che proietta. Entrambe le lunghezze sono misurabili, così come C (C è uguale alla lunghezza dell'ombra + metà della lunghezza della piramide).

Quindi, per somiglianza dei triangoli:

A / B = D / C

E l'altezza della Grande Piramide risulta essere: D = C. (A / B)

Esempio 2

Le capriate nell'edilizia civile sono strutture costituite da sottili barre diritte di legno o metallo incrociate, che vengono utilizzate come supporto in molti edifici. Sono anche conosciuti come capriate, capriate o capriate.

In essi i triangoli sono sempre presenti, poiché le barre sono interconnesse in punti chiamati nodi, che possono essere fissi o articolati.

Figura 12. Il triangolo è presente nella cornice di questo ponte. Fonte: PxHere.

Esempio 3

Il metodo noto come triangolazione permette di ottenere la posizione di punti inaccessibili conoscendo altre distanze che sono più facili da misurare, a condizione che si formi un triangolo che includa la posizione desiderata tra i suoi vertici.

Ad esempio, nella figura seguente vogliamo sapere dove si trova la nave in mare, indicata come B.

Figura 13. Schema di triangolazione per localizzare la nave. Fonte: Wikimedia Commons. Colette

Per prima cosa si misura la distanza tra due punti della costa, che in figura sono A e C. Successivamente, si devono determinare gli angoli α e β, utilizzando un teodolite, un dispositivo utilizzato per misurare gli angoli verticali e orizzontali.

Con tutte queste informazioni, viene costruito un triangolo nel cui vertice superiore è la nave. Resta da calcolare l'angolo γ, usando le proprietà dei triangoli e le distanze AB e CB usando la trigonometria, per determinare la posizione della nave in mare.

esercizi

Esercizio 1

Nella figura mostrata, i raggi del sole sono paralleli. In questo modo l'albero alto 5 metri proietta sul terreno un'ombra di 6 metri. Allo stesso tempo, l'ombra dell'edificio è di 40 metri. Seguendo il primo teorema di Talete, trova l'altezza dell'edificio.

Figura 14. Schema dell'esercizio risolto 1. Fonte: F. Zapata.

Soluzione

Il triangolo rosso ha i lati rispettivamente di 5 e 6 metri, mentre quello blu ha altezza H - l'altezza dell'edificio - e base 40 metri. Entrambi i triangoli sono simili, quindi:

Esercizio 2

È necessario conoscere la distanza orizzontale tra due punti A e B, ma si trovano su un terreno molto irregolare.

Approssimativamente nel punto medio (P _m ) di detto terreno spicca una protuberanza alta 1,75 metri. Se il metro a nastro indica 26 metri di lunghezza misurati da A alla prominenza e 27 metri da B allo stesso punto, trovare la distanza AB.

Figura 15. Schema per l'esercizio risolto 2. Fonte: Jiménez, R. Mathematics II. Geometria e trigonometria.

Soluzione

Il teorema di Pitagora è applicato a uno dei due triangoli rettangoli nella figura. A partire da quello a sinistra:

Ipotenusa = c = 26 metri

Altezza = a = 1,75 metri

AP _m = (26 ² - 1,75 ² ) ^1/2 = 25,94 m

Ora applica Pitagora nel triangolo a destra, questa volta c = 27 metri, a = 1,75 metri. Con questi valori:

BP _m = (27 ² - 1,75 ² ) ^1/2 = 26,94 m

La distanza AB si trova sommando questi risultati:

AB = 25,94 m + 26,94 m = 52,88 m.

Riferimenti

1. Baldor, JA 1973. Plane and Space Geometry. Centro culturale americano.
2. Barredo, D. La geometria del triangolo. Recupero da: ficus.pntic.mec.es.
3. Jiménez, R. 2010. Matematica II. Geometria e trigonometria. Seconda edizione. Pearson.
4. Wentworth, G. Plane Geometry. Estratto da: gutenberg.org.
5. Wikipedia. Triangolo. Estratto da: es. wikipedia.org.