- Da dove viene la regola empirica?
- Teorema di Tchebyshev
- Distribuzione normale
- Come applicare la regola empirica?
- 1- Costruisci gli intervalli della regola
- 2- Calcola il numero di studenti in ogni intervallo in base alle percentuali
- 3- Gli intervalli di età sono associati al numero di studenti e interpreti
- A cosa serve la regola pratica?
- Esercizi risolti
- Conigli nella riserva
- Peso medio dei bambini in un paese
- Riferimenti
Una regola pratica è il risultato dell'esperienza pratica e dell'osservazione della vita reale. Ad esempio, è possibile sapere quali specie di uccelli possono essere osservate in determinati luoghi in ogni periodo dell'anno e da tale osservazione si può stabilire una "regola" che descrive i cicli di vita di questi uccelli.
In statistica, la regola empirica si riferisce al raggruppamento di osservazioni attorno a un valore centrale, la media o la media, in unità di deviazione standard.
Supponiamo di avere un gruppo di persone con un'altezza media di 1,62 metri e una deviazione standard di 0,25 metri, allora la regola empirica ci permetterebbe di definire, ad esempio, quante persone sarebbero in un intervallo della media più o meno una deviazione standard?
Secondo la regola, il 68% dei dati è più o meno una deviazione standard dalla media, ovvero il 68% delle persone nel gruppo avrà un'altezza compresa tra 1,37 (1,62-0,25) e 1,87 (1,62 + 0,25 ) metri.
Da dove viene la regola empirica?
La regola empirica è una generalizzazione del teorema di Tchebyshev e della distribuzione normale.
Teorema di Tchebyshev
Il teorema di Tchebyshev dice che: per un valore di k> 1, la probabilità che una variabile casuale si trovi tra la media meno k volte la deviazione standard e la media più k volte, la deviazione standard è maggiore o uguale a ( 1-1 / k 2 ).
Il vantaggio di questo teorema è che viene applicato a variabili aleatorie discrete o continue con qualsiasi distribuzione di probabilità, ma la regola da esso definita non è sempre molto precisa, in quanto dipende dalla simmetria della distribuzione. Più asimmetrica è la distribuzione della variabile casuale, meno adattata alla regola sarà il suo comportamento.
La regola empirica definita da questo teorema è:
Se k = √2, si dice che il 50% dei dati si trova nell'intervallo:
Se k = 2, si dice che il 75% dei dati si trova nell'intervallo:
Se k = 3, si dice che l'89% dei dati si trova nell'intervallo:
Distribuzione normale
La distribuzione normale, o campana gaussiana, permette di stabilire la Regola Empirica o Regola 68 - 95 - 99,7.
La regola si basa sulle probabilità di occorrenza di una variabile casuale in intervalli tra la media meno una, due o tre deviazioni standard e la media più una, due o tre deviazioni standard.
La regola empirica definisce i seguenti intervalli:
Il 68,27% dei dati si trova nell'intervallo:
Il 95,45% dei dati si trova nell'intervallo:
Il 99,73% dei dati si trova nell'intervallo:
Nella figura puoi vedere come vengono presentati questi intervalli e la relazione tra loro quando si aumenta la larghezza della base del grafico.
Regola empirica. Melikamp La standardizzazione della variabile casuale, ovvero l'espressione della variabile casuale in termini di z o variabile normale standard, semplifica l'uso della regola empirica, poiché la variabile z ha media uguale a zero e deviazione standard uguale a uno .
Pertanto, l'applicazione della regola empirica in scala di una variabile normale standard, z, definisce i seguenti intervalli:
Il 68,27% dei dati si trova nell'intervallo:
Il 95,45% dei dati si trova nell'intervallo:
Il 99,73% dei dati si trova nell'intervallo:
Come applicare la regola empirica?
La regola empirica consente calcoli abbreviati quando si lavora con una distribuzione normale.
Supponiamo che un gruppo di 100 studenti universitari abbia un'età media di 23 anni, con una deviazione standard di 2 anni. Quali informazioni consente di ottenere la regola empirica?
L'applicazione della regola empirica comporta i seguenti passaggi:
1- Costruisci gli intervalli della regola
Poiché la media è 23 e la deviazione standard è 2, gli intervalli sono:
= =
= =
= =
2- Calcola il numero di studenti in ogni intervallo in base alle percentuali
(100) * 68,27% = 68 studenti circa
(100) * 95,45% = 95 studenti circa
(100) * 99,73% = 100 studenti circa
3- Gli intervalli di età sono associati al numero di studenti e interpreti
Almeno 68 studenti hanno un'età compresa tra 21 e 25 anni.
Almeno 95 studenti hanno un'età compresa tra 19 e 27 anni.
Quasi 100 studenti hanno tra i 17 ei 29 anni.
A cosa serve la regola pratica?
La regola empirica è un modo rapido e pratico per analizzare i dati statistici, diventando sempre più affidabile man mano che la distribuzione si avvicina alla simmetria.
La sua utilità dipende dal campo in cui viene utilizzato e dalle domande che vengono presentate. È molto utile sapere che il verificarsi di valori di tre deviazioni standard al di sotto o al di sopra della media è quasi improbabile, anche per variabili di distribuzione non normali, almeno l'88,8% dei casi si trova nell'intervallo dei tre sigma.
Nelle scienze sociali, un risultato generalmente conclusivo è l'intervallo della media più o meno due sigma (95%), mentre nella fisica delle particelle, un nuovo effetto richiede un intervallo di cinque sigma (99,99994%) per essere considerato una scoperta.
Esercizi risolti
Conigli nella riserva
In una riserva naturale si stima che ci siano una media di 16.000 conigli con una deviazione standard di 500 conigli. Se la distribuzione della variabile "numero di conigli nella riserva" è sconosciuta, è possibile stimare la probabilità che la popolazione di conigli sia compresa tra 15.000 e 17.000 conigli?
L'intervallo può essere presentato in questi termini:
15000 = 16000 - 1000 = 16000 - 2 (500) = µ - 2 s
17000 = 16000 + 1000 = 16000 + 2 (500) = µ + 2 s
Quindi: =
Applicando il teorema di Tchebyshev, abbiamo una probabilità di almeno 0,75 che la popolazione di conigli nella riserva naturale sia compresa tra 15.000 e 17.000 conigli.
Peso medio dei bambini in un paese
Il peso medio dei bambini di un anno in un paese è normalmente distribuito con una media di 10 chilogrammi e una deviazione standard di circa 1 chilogrammo.
a) Stimare la percentuale di bambini di un anno nel paese che hanno un peso medio compreso tra 8 e 12 chilogrammi.
8 = 10 - 2 = 10 - 2 (1) = µ - 2 s
12 = 10 + 2 = 10 + 2 (1) = µ + 2 s
Quindi: =
Secondo la regola empirica, si può affermare che il 68,27% dei bambini di un anno nel paese pesa tra gli 8 ei 12 chilogrammi.
b) Qual è la probabilità di trovare un bambino di un anno di peso pari o inferiore a 7 chilogrammi?
7 = 10 - 3 = 10 - 3 (1) = µ - 3 s
È noto che 7 chilogrammi di peso rappresenta il valore µ - 3s, così come è noto che il 99,73% dei bambini ha un peso compreso tra 7 e 13 chilogrammi. Ciò lascia solo lo 0,27% del totale dei bambini agli estremi. La metà di essi, lo 0,135%, pesa 7 chilogrammi o meno e l'altra metà, lo 0,135%, pesa 11 chilogrammi o più.
Quindi, si può concludere che esiste una probabilità di 0,00135 che un bambino pesa 7 chilogrammi o meno.
c) Se la popolazione del paese raggiunge i 50 milioni di abitanti ei bambini di 1 anno rappresentano l'1% della popolazione del paese, quanti bambini di un anno peseranno tra i 9 e gli 11 chilogrammi?
9 = 10 - 1 = µ - s
11 = 10 + 1 = µ + s
Quindi: =
Secondo la regola empirica, il 68,27% dei bambini di un anno nel paese si trova nell'intervallo
Ci sono 500.000 bambini di un anno nel paese (l'1% di 50 milioni), quindi 341.350 bambini (il 68,27% di 500.000) pesano tra i 9 e gli 11 chilogrammi.
Riferimenti
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