- Seconda regola della mano destra
- Regola alternativa della mano destra
- applicazioni
- Velocità e accelerazione angolare
- Momento angolare
- esercizi
- - Esercizio 1
- Soluzione
- - Esercizio 2
- Soluzione
- Riferimenti
La regola della mano destra è un mnemonico per stabilire la direzione e il senso del vettore risultante da un prodotto incrociato o prodotto incrociato. È ampiamente utilizzato in fisica, poiché esistono importanti quantità vettoriali che sono il risultato di un prodotto vettoriale. Questo è il caso della coppia, della forza magnetica, del momento angolare e del momento magnetico, per esempio.
Figura 1. Righello della mano destra. Fonte: Wikimedia Commons. Acdx.
Lasciato essere due vettori generici una e B il cui prodotto vettoriale è una x b . Il modulo di un tale vettore è:
a x b = assente α
Dove α è l'angolo minimo tra una e b , mentre A e B rappresentano i loro moduli. Per distinguere i vettori dei loro moduli, vengono utilizzate lettere in grassetto.
Ora abbiamo bisogno di conoscere la direzione e il senso di questo vettore, quindi è conveniente avere un sistema di riferimento con le tre direzioni dello spazio (figura 1 a destra). I vettori unitari i , j e k puntano rispettivamente verso il lettore (fuori pagina), a destra e verso l'alto.
Nell'esempio della Figura 1 a sinistra, il vettore a è diretto a sinistra (direzione y negativa e dito indice della mano destra) e il vettore b va verso il lettore (direzione x positiva, dito medio destro).
Il vettore risultante a x b ha la direzione del pollice, verso l'alto nella direzione z positiva.
Seconda regola della mano destra
Questa regola, chiamata anche regola del pollice destro, è ampiamente utilizzata quando ci sono grandezze la cui direzione e direzione stanno ruotando, come il campo magnetico B prodotto da un filo sottile e rettilineo che trasporta una corrente.
In questo caso, le linee del campo magnetico sono cerchi concentrici con il filo, e il senso di rotazione si ottiene con questa regola nel modo seguente: il pollice destro indica la direzione della corrente e le restanti quattro dita si curvano nella direzione del campagna. Illustriamo il concetto nella Figura 2.
Figura 2. Regola del pollice destro per determinare la direzione della circolazione del campo magnetico. Fonte: Wikimedia Commons. https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c0/V-1_right_hand_thumb_rule.gif.
Regola alternativa della mano destra
La figura seguente mostra una forma alternativa della regola della mano destra. I vettori che compaiono nell'illustrazione sono:
-La velocità v di una carica puntiforme q.
-Il campo magnetico B entro il quale si muove la carica.
- F B la forza che il campo magnetico esercita sulla carica.
Figura 3. Regola alternativa della mano destra. Fonte: Wikimedia Commons. Experticuis
L'equazione per la forza magnetica è F B = q v x B e la regola della mano destra per conoscere la direzione e il senso di F B viene applicata in questo modo: il pollice punta secondo v, le restanti quattro dita sono posizionate secondo il campo B. Quindi F B è un vettore che lascia il palmo della mano, perpendicolare ad esso, come se stesse spingendo il carico.
Si noti che F B punterebbe nella direzione opposta se la carica q fosse negativa, poiché il prodotto vettoriale non è commutativo. Infatti:
a x b = - b x a
applicazioni
La regola della mano destra può essere applicata per varie grandezze fisiche, conosciamo alcune di esse:
Velocità e accelerazione angolare
Sia la velocità angolare ω che l'accelerazione angolare α sono vettori. Se un oggetto sta ruotando attorno ad un asse fisso, è possibile assegnare la direzione e il senso di questi vettori usando la regola della mano destra: le quattro dita sono arricciate seguendo la rotazione e il pollice dà immediatamente la direzione e il senso di la velocità angolare ω .
Da parte sua, l'accelerazione angolare α avrà la stessa direzione di ω , ma la sua direzione dipende dal fatto che ω aumenti o diminuisca di grandezza nel tempo. Nel primo caso, entrambi hanno la stessa direzione e senso, ma nel secondo avranno direzioni opposte.
Figura 4. La regola del pollice destro applicata a un oggetto rotante per determinare la direzione e il senso della velocità angolare. Fonte: Serway, R. Physics.
Momento angolare
Il vettore del momento angolare L O di una particella che ruota attorno a un certo asse O è definito come il prodotto vettoriale del suo vettore di posizione istantanea r e del momento lineare p :
L = r x p
La regola della mano destra viene applicata in questo modo: l'indice è posizionato nella stessa direzione e senso di r , il medio in quello di p , entrambi su un piano orizzontale, come in figura. Il pollice viene automaticamente esteso verticalmente verso l'alto indicando la direzione e il senso del momento angolare L O.
Figura 5. Il vettore del momento angolare. Fonte: Wikimedia Commons.
esercizi
- Esercizio 1
La parte superiore nella figura 6 ruota rapidamente con velocità angolare ω e il suo asse di simmetria ruota più lentamente attorno all'asse verticale z. Questo movimento è chiamato precessione. Descrivi le forze che agiscono sulla parte superiore e l'effetto che producono.
Figura 6. Trottola. Fonte: Wikimedia Commons.
Soluzione
Le forze agenti sulla sommità sono le normali N , applicate sul punto di appoggio con il suolo O più il peso M g , applicato al centro di massa CM, con g il vettore dell'accelerazione di gravità, diretto verticalmente verso il basso (vedi figura 7).
Entrambe le forze si bilanciano, quindi la parte superiore non si muove. Tuttavia, il peso produce una coppia netta o coppia τ rispetto al punto O, data da:
τ O = r O x F , con F = M g.
Poiché r e M g sono sempre sullo stesso piano di rotazione della parte superiore, secondo la regola della mano destra la coppia τ O è sempre situata nel piano xy, perpendicolare sia a r che a g .
Si noti che N non produce una coppia intorno a O, perché il suo vettore r rispetto a O è zero. Quella coppia produce una variazione del momento angolare che provoca la precessione della parte superiore attorno all'asse Z.
Figura 7. Forze che agiscono sulla sommità e il suo vettore del momento angolare. Fonte della figura a sinistra: Serway, R. Physics for Science and Engineering.
- Esercizio 2
Indicare la direzione e il senso del vettore del momento angolare L della parte superiore nella figura 6.
Soluzione
Ogni punto in alto ha massa m i , velocità v i e vettore di posizione r i , quando ruota attorno all'asse z. Il momento angolare L i di detta particella è:
L io = r io x p io = r io xm io v io
Poiché r i e v i sono perpendicolari, la grandezza di L è:
L io = m io r io v io
La velocità lineare v è correlata a quella della velocità angolare ω da:
v io = r io ω
Così:
L io = m io r io (r io ω) = m io r io 2 ω
Il momento angolare totale della trottola L è la somma del momento angolare di ciascuna particella:
L = (∑m io r io 2 ) ω
∑ m i r i 2 è il momento di inerzia I del top, quindi:
L = I ω
Pertanto L e ω hanno la stessa direzione e senso, come mostrato in figura 7.
Riferimenti
- Bauer, W. 2011. Fisica per l'ingegneria e le scienze. Volume 1. Mc Graw Hill.
- Bedford, 2000. A. Engineering Mechanics: Statics. Addison Wesley.
- Kirkpatrick, L. 2007. Fisica: uno sguardo al mondo. 6a edizione ridotta. Cengage Learning.
- Knight, R. 2017. Physics for Scientists and Engineering: a Strategy Approach. Pearson.
- Serway, R., Jewett, J. (2008). Fisica per la scienza e l'ingegneria. Volume 1 e 2. 7th. Ed. Cengage Learning.