- Velocità lineare in movimento circolare
- Velocità lineare, velocità angolare e accelerazione centripeta
- Accelerazione centripeta
- -Esercizio risolto 1
- Soluzione
- -Esercizio risolto 2
- Soluzione
- Riferimenti
La velocità lineare è definita come quella che è sempre tangenziale al percorso seguito dalla particella, indipendentemente dalla forma è questa. Se la particella si muove sempre in un percorso rettilineo, non c'è problema a immaginare come il vettore velocità segua questa linea retta.
Tuttavia, in generale, il movimento viene eseguito su una curva di forma arbitraria. Ogni porzione di curva può essere modellata come se facesse parte di un cerchio di raggio a, che in ogni punto è tangente al percorso seguito.
Figura 1. Velocità lineare in un mobile che descrive un percorso curvilineo. Fonte: autocostruito.
In questo caso, la velocità lineare accompagna la curva tangenzialmente e sempre in ogni punto di essa.
Matematicamente la velocità lineare istantanea è la derivata della posizione rispetto al tempo. Sia r il vettore di posizione della particella all'istante t, quindi la velocità lineare è data dall'espressione:
v = r '(t) = d r / dt
Ciò significa che la velocità lineare o tangenziale, come viene spesso chiamata anche, altro non è che il cambio di posizione rispetto al tempo.
Velocità lineare in movimento circolare
Quando il movimento è su una circonferenza, possiamo andare accanto alla particella in ogni punto e vedere cosa succede in due direzioni molto speciali: una di queste è quella che punta sempre verso il centro. Questa è la direzione radiale.
L'altra direzione importante è quella che passa sulla circonferenza, questa è la direzione tangenziale e la velocità lineare ce l'ha sempre.
Figura 2. Moto circolare uniforme: il vettore velocità cambia direzione e senso mentre la particella ruota, ma la sua grandezza è la stessa. Fonte: originale dell'utente: Brews_ohare, SVGed dell'utente: Sjlegg.
Nel caso di moto circolare uniforme, è importante rendersi conto che la velocità non è costante, poiché il vettore cambia direzione mentre la particella ruota, ma il suo modulo (la dimensione del vettore), che è la velocità, sì, rimane invariato.
Per questo movimento, la posizione in funzione del tempo è data da s (t), dove s è l'arco percorso et è il tempo. In questo caso la velocità istantanea è data dall'espressione v = ds / dt ed è costante.
Se varia anche l'entità della velocità (sappiamo già che la direzione fa sempre, altrimenti il mobile non potrebbe girare), siamo di fronte a un movimento circolare vario, durante il quale il mobile, oltre a girare, può frenare o accelerare.
Velocità lineare, velocità angolare e accelerazione centripeta
Il movimento della particella può anche essere visto dal punto di vista dell'angolo di sweep, piuttosto che dall'arco percorso. In questo caso parliamo della velocità angolare. Per un movimento intorno a un cerchio di raggio R, esiste una relazione tra l'arco (in radianti) e l'angolo:
Derivando rispetto al tempo da entrambe le parti:
Chiamando la derivata di θ rispetto at come velocità angolare e denotandola con la lettera greca ω "omega", abbiamo questa relazione:
Accelerazione centripeta
Tutti i movimenti circolari hanno un'accelerazione centripeta, che è sempre diretta verso il centro della circonferenza. Assicura che la velocità cambi per muoversi con la particella mentre ruota.
L'accelerazione centripeta ac o R punta sempre al centro (vedi figura 2) ed è correlata alla velocità lineare in questo modo:
a c = v 2 / R
E con la velocità angolare come:
Per un movimento circolare uniforme, la posizione s (t) è della forma:
Inoltre, il movimento circolare variato deve avere una componente di accelerazione chiamata accelerazione tangenziale in T , che si occupa di cambiare l'ampiezza della velocità lineare. Se una T è costante, la posizione è:
Con v o come la velocità iniziale.
Figura 3. Movimento circolare non uniforme. Fonte: Nonuniform_circular_motion.PNG: Brews o lavoro derivativo: Jonas De Kooning.
Risolti problemi di velocità lineare
Gli esercizi risolti aiutano a chiarire il corretto utilizzo dei concetti e delle equazioni sopra riportati.
-Esercizio risolto 1
Un insetto si muove su un semicerchio di raggio R = 2 m, partendo da fermo nel punto A aumentando la sua velocità lineare, ad una velocità di pm / s 2 . Trova: a) Dopo quanto tempo raggiunge il punto B, b) Il vettore di velocità lineare in quell'istante, c) Il vettore di accelerazione in quell'istante.
Figura 4. Un insetto parte da A e raggiunge B su un percorso semicircolare. Ha una velocità lineare. Fonte: autocostruito.
Soluzione
a) L'affermazione indica che l'accelerazione tangenziale è costante ed è uguale a π m / s 2 , quindi è valido utilizzare l'equazione per moto variato in modo uniforme:
Con s o = 0 ev o = 0:
b) v (t) = v o + per T . t = 2π m / s
Quando si trova nel punto B, il vettore di velocità lineare punta nella direzione verticale verso il basso nella direzione (- y ):
v (t) = 2π m / s (- y )
c) Abbiamo già l'accelerazione tangenziale, manca l'accelerazione centripeta per avere il vettore velocità a :
a = a c (- x ) + a T (- y ) = 2π 2 (- x ) + π (- y ) m / s 2
-Esercizio risolto 2
Una particella ruota in un cerchio di raggio 2,90 m. In un particolare istante, la sua accelerazione è di 1,05 m / s 2 in una direzione tale da formare 32º con la sua direzione di movimento. Trova la sua velocità lineare in: a) Questo momento, b) 2 secondi dopo, assumendo che l'accelerazione tangenziale sia costante.
Soluzione
a) La direzione del movimento è precisamente la direzione tangenziale:
a T = 1,05 m / s 2 . cos 32º = 0,89 m / s 2 ; a C = 1,05 m / s 2 . sin 32º = 0,56 m / s 2
La velocità è risolta da a c = v 2 / R come:
b) La seguente equazione è valida per il movimento variato in modo uniforme: v = v o + a T t = 1,27 + 0,89,2 2 m / s = 4,83 m / s
Riferimenti
- Bauer, W. 2011. Fisica per l'ingegneria e le scienze. Volume 1. Mc Graw Hill. 84-88.
- Figueroa, D. Physics Series for Sciences and Engineering. Volume 3 °. Edizione. Cinematica. 199-232.
- Giancoli, D. 2006. Fisica: principi con applicazioni. 6 ° .. Ed Prentice Hall. 62-64.
- Moto relativo. Estratto da: course.lumenlearning.com
- Wilson, J. 2011. Fisica 10. Pearson Education. 166-168.